资源简介

吉林省精准教学联盟2024 2025学年高三下学期第二次联考数学试题
一、单选题
1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部与实部之差为（ ）
A．7 B． C．1 D．
2．设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（ ）
A． B． C． D．
4．设为非零实数，若二项式展开式中含与的项系数相等，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．某班有包括甲、乙、丙在内的10名同学被要求同排合影，要求甲、乙、丙三人任意两人不允许相邻.不同的排列方法有（ ）
A．1693440种 B．1814400种 C．1728000种 D．1612800种
6．某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球，其中有8个粉色球，8个紫色球和4个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．令函数，再定义，函数满足，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
二、多选题
9．已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则为等差数列
B．若，，则为等比数列
C．若，，则的通项公式为
D．若，，则为周期为2的数列
10．已知函数的部分图象如图所示.点为图象与轴的交点，点为图象最低点（图象上未标出），且是面积为的等边三角形．已知，且在区间上单调递增.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在区间内有且仅有3个实根
D．函数的最小正周期为
11．已知两函数曲线和.点、分别为、上的动点，原点坐标为.下列说法正确的是（ ）
A．点、的有3个不同的重合坐标.
B．曲线是偶函数，曲线是奇函数.
C．的最大值为.
D．两曲线与函数有且仅有一个共同交点.
三、填空题
12．某零件的重量服从正态分布，平均重量为50克，检验发现重量在47克到50克之间的零件占总量的32%，则这批零件的标准差 （保留3位有效数字）．
13．设函数，记为的导函数，已知在处取得极大值，且同时满足，则 ．
14．已知平面向量内，，.若存在实数、使得，并且，且．则满足条件的所有的值对集合为 ．
四、解答题
15．在的外接圆上，过点做切线，与的延长线交于点，且、、在同一圆上．
（1）证明：；
（2）若，，，求点到、两点的距离．
16．某校为了激发学生的创新性思维，举办了一场“智能机器人传球大赛”，每班派一名编程代表，操作一台机器人参与比赛．比赛场地分为两个区域：区和区．初始时球放在区，每次操作通过随机生成1至6的某一个数字，依据以下规则控制机器人传球：
①若随机数为1，机器人无法传球，球保持原地不动；
②若随机数为6，若球在区，球不动，若球在区，球被传到另一个区域；
③若随机数为2、3、4、5，球被传到另一个区域．
（1）已知连续两次操作，求事件“第一次操作后球在区或第二次操作后球在区都未发生”的概率；
（2）已知连续三次操作，记随机变量为“机器人实际完成传球的次数”，求随机变量的分布列及数学期望．
17．在一三维平面中，设圆锥顶点为，底面圆心为，．在该圆锥内部，存在两个内切球，球心分别为、，半径分别为、，分别与一个平面相切于、两点，已知平面截圆锥所得截痕是一个平面曲线，动点在上运动，满足，其中为常数，直线过点与曲线相交于、两点．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线交轨迹于两点、，证明：与无关，并求及值；
（3）若一点同时满足，，求的取值范围．
18．设函数．
（1）讨论的单调性并求其极值；
（2）若在内存在极值，求的取值范围；
（3）当取（2）中所求范围内的任意值时，求的最小值．
19．已知为正三角形，动点为平面外一点，为平面内一点，已知，，且．
（1）若平面，求到平面的距离；
（2）在（1）的条件下，求三棱锥的外接球的半径；
（3）求点的运动轨迹．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为复数满足，
则的共轭复数为，
则虚部与实部之差为.
故选B.
2．【答案】A
【详解】若是常数列，不妨设（为常数），则为常数，
即“是常数列”可推出“是常数列”，
取，，显然有，且是常数列，但不是常数列，
所以“是常数列”推不出“是常数列”，即“是常数列”是“是常数列”的充分不必要条件，
故选A.
3．【答案】B
【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，由题知，
又母线长为，则圆台的高为，
若球与圆台的下底面和侧面相切，
设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为，
与圆台侧面的一个切点为，过球心的轴截面如图所示，
连接，易知，则，又，
由，得到，解得，
又，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切，
所以，球的体积为，

故选B.
4．【答案】C
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
根据与的项系数相等，
则，
解得.
故选C
5．【答案】A
【详解】先将剩余7名同学全排列，有种排法，
然后形成8个空，再从8个空中选3个安排甲、乙、丙三人，有种排法，
由分步乘法计数原理可得，一共有种.
故选A
6．【答案】D
【详解】记取出蓝色球为事件,事件取出的不是粉色球为,
,,
,
则．
故选D
7．【答案】D
【详解】设，，且，
由可得，即，
将代入圆方程可得，
即，化简可得，
将代入可得，解得，
则，
所以.
故选D
8．【答案】B
【详解】因为，.
所以.
又.
所以.
故选B
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，，由等差数列的定义可知是以为首项，
以为公差的等差数列，故A正确；
对于B，，，则，即，
，则，
因为，不满足等比数列的定义，故B错误；
对于C，，则，
将以上式子累加可得，且，
则，故C正确；
对于D，，，则，则，
，则，，则，
由此可得，，
则，即，
所以为周期为2的数列，故D正确；
故选ACD
10．【答案】CD
【详解】由是面积为的等边三角形，得，解得，
由为图象与轴的交点，且，
则，解得，
由是等边三角形，则点位置如图1，设，
则点到（即轴）的距离为，由，得，
故，则.
由，则，故，
过作，由为等边三角形可知，为的中点，则，
所以函数图象过点，代入得，
，则，又，则，所以，
当时，，验证知在区间上单调递增，则满足题意，
由上可知，A项错误；D项正确.
对于选项B，由，则，故B错误；
对于选项C，，则，由，得，
在同一坐标系中，作出函数的图象与直线，如图2，
由图可知，在区间内有且仅有3个实根，故C正确；
故选CD.
11．【答案】AD
【详解】选项A:
联立方程和: ，
两式相减得：，
因式分解得：，
解得:，或，
.得，解得或，
当时，或当时，
对应点、 、共3个不同重合点，
选项A正确.
选项B:曲线的偶函数性：将替换为，方程变为，
与原方程相同，故是偶函数.
曲线的奇函数性：
将替换为，替换为，方程变为，
若为奇函数，需满足时方程成立，但实际展开后与原方程不符，
故不是奇函数.
选项错误.
选项C分析：曲线和均为圆心在和，半径为1的圆，
当时，两圆心重合于，
最大距离为两圆上最远点间的距离，即两圆半径之和，
当时，两圆心重合于，
最大距离为两圆上最远点间的距离，即两圆半径之和.
当两圆心的纵坐标相差过大时，两曲线完全没有交点时，远大于才对，
故.
选项C错误.
选项D分析：联立曲线与函数.
代入到的方程，化简得.
当时，，满足和方程；
进一步验证其他可能解，发现仅有满足条件.
选项D正确.
故选.
12．【答案】
【详解】已知零件重量,，
标准化：令，则，
则，
由标准正态分布的性质，，
而，故，
，得.
查标准正态分布表，.
即，解得.
13．【答案】
【详解】，
由在处取得极大值，
则，
解得，
验证：当时，，
当时，则，，
则，所以，
故在单调递增；
当时，则，，
则，所以，
故在单调递减；
故在处取得极大值.
又因为，
所以，
综上可知，当时，满足题意.
14．【答案】
【详解】由题意，，，，且，
所以，
因为，所以，
所以，可得，整理得，
解得或.
当时，；
当时，.
15．【答案】（1）证明过程见解析
（2），
【详解】（1）设的外接圆圆心为，连接并延长，交圆于点，连接，
则，故，
又⊥，即，所以，
故，
又，所以，
又为公共角，所以∽，
所以，
则，证毕；

（2）由（1）得，又，，，
设，则，
所以，解得，故，.
16．【答案】（1）
（2）分布列见解析；
【详解】（1）记事件“第次操作后球在区”，“第次操作后球在区”，.
事件“第次操作后球不在区”，也即事件，故，
则事件“第一次操作后球在区或第二次操作后球在区都未发生”可表示为，
由题意，，，，
故由概率乘法公式可得.
（2）由题意，机器人实际完成传球的次数，
其中，表示事件；表示事件；
表示事件；表示事件，
且，
故由概率乘法公式可得，
；
；
；
；
故随机变量的分布列为
0 1 2 3
故随机变量的期望.
17．【答案】（1）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!
（2）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!
（3）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!
【详解】（1）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698
（2）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698
（3）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698
18．【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）答案见解析
【详解】（1）要使有意义，则.
下面求解该不等式组的解集，即函数的定义域.
设，函数图象开口向上，对称轴为，
令，即，，其中，
①当时，，则在单调递增，
当时，，
故此时定义域为；
②当时，，也恒成立.
故定义域也为；
③当时，，
此时不等式组为，解得，或.
故定义域为；
④当时，，方程有两根，
，且，，
故函数的定义域为；
由，
则
①当时，.
则在单调递减，无极值；
②当时，，，
令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
此时有极小值；
③当时，定义域为，
，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
在处无定义，无极值；
④当时，，，
又，
由，且，
所以；
又，
所以，
且当时，，在单调递减；
时，，在单调递增；
此时无极值.
综上所述，当时，在单调递减，无极值；
当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值；
当时，在上单调递减，在上单调递增，无极值；
当时，在单调递减，在单调递增；无极值.
（2）由（1）可知，要使在内存在极值，则.
所以的取值范围为.
（3）由题意，，的定义域为，
且在上单调递减，在单调递增，
，
所以，的最小值为.
19．【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【详解】（1）由得，即，
则点为上靠近的三等分点，由，则，
由平面，平面，则，
在与中，由，
则有，解得，
故，即点到平面的距离.

（2）设外接球球心为，的外接圆圆心为，半径为；的外接圆圆心为，半径为，
连接，则平面，且平面，
由为正三角形，则；
在中，，
则，则，
由，可得，
取中点，连接，则，且三点共线，，
由平面，平面，则平面平面，
平面平面，平面，
则平面，故，
同理得，，故四边形为平行四边形，所以，
则外接球半径.

（3）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
由得，
坐标代入得，
整理得，又点在平面外，故，
故动点的轨迹为以为球心，为半径的球面（不包含在坐标平面上的圆）.

展开更多......

收起↑