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吉林省松原市2024 2025学年高三下学期4月质量检测数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．5 D．20
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．1
4．已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ）
A．76 B．77 C．78 D．79
6．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知）
A．31 B．32 C．33 D．34
7．已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的零点为，
C．图象的对称轴方程为，
D．的单调递减区间为，
10．如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，侧面积为，四边形为其轴截面，四边形绕逆时针旋转60°到四边形，则（ ）

A．圆台的高为
B．圆台的体积为
C．
D．圆台的外接球的表面积为
11．已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则的最小值可能为0.38
C．若，，A，B相互独立，则
D．若，则
三、填空题
12．已知数列中，，，若，，则前10项的和为 ．
13．已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为 ．
14．已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则 ．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：，．
16．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若的面积为1，，求的值．
17．某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立．
（1）记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望；
（2）记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式．
18．在三棱锥中，，，与平面所成的角为．
（1）若，，如图，过点作平面，分别交，于点，．
①求证：平面；
②设，为平面内的动点，求周长的最小值．
（2）若，，求二面角的取值范围．
19．已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为．
（1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积；
（2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由；
（3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为集合，所以由，可得，
所以.
故选C.
2．【答案】B
【详解】向量，，由，得，则，
所以.
故选B
3．【答案】A
【详解】，所以，
故选A
4．【答案】C
【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
其否定为：，，而函数的值域为，
由“，”为假命题，得“，”为真命题，则，
所以的取值范围是.
故选C
5．【答案】B
【详解】第一组频率为，第二组的频率为，
第三组的频率为，前两组频率为，前三组频率和为，
故50%分位数在第三组内，
，
故选B.
6．【答案】D
【详解】因为衰减学习率模型为，
所以根据已知条件可得：①
②
用②式除以①式可得：
,化简可得：.
将代入①式中可得：.
所以衰减学习率模型为.
当学习率衰减到0.05以下时，即.
化简上述不等式得：，所以.
因为为正数，所以最小值取34.
故选D.
7．【答案】B
【详解】设，由，，得点为的中点，则.
又，，则，，
因此，即，
点在以为圆心，为半径的圆上，
设直线OM（O为原点）斜率为，
由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时，
则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或，
所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为.
故选B
8．【答案】C
【详解】选择作为基底，；
，由已知点在平面内，即与，共面，可得，
又由是的中点，可得，代换可得：
；
与共线，即，可得：，即
，解得.
故选C
9．【答案】BC
【详解】的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到图象，
再将所有的点向左平移个单位长度得到的图象，
对于A，的最小正周期，A错误；
对于B，令，得，解得，则的零点为，B正确；
对于C，令，得，则图象的对称轴方程为，C正确；
对于D，令，得，的单调递减区间为，D错误.
故选BC
10．【答案】ACD
【详解】
对于A，设圆台的母线长为，则圆台的侧面积，所以，即.
过点作于点，则，
在中，，所以圆台的高为，故A正确；
对于B，圆台的体积，故B错误；
对于C，过点作于点，连接，则，
在中，，根据余弦定理，，
在中，，所以，故C正确；
对于D，设圆台的外接球的球心为点，则点在直线上，设外接球半径为，
若球心在线段上，即在圆台内，设到圆台上底面距离为，则到下底面距离为，
则有，整理可得，解得，
所以，则外接球的表面积为.
若球心在线段外，即在圆台外，设到圆台下底面距离为，则到上底面距离为，
则有，整理得，不符合题意，舍去.
所以，圆台的外接球的表面积为，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，因为，所以，由于，则，故A正确；
对于B，因为，，所以，
由于，则，所以的最小值不可能为0.38，故B不正确；
对于C，若，，A，B相互独立，则，则，故C正确；
对于D，若，则，所以，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】10
【详解】若，，则，
则数列为等差数列，设公差为，
由，可得，则，
所以，
则前10项的和为.
13．【答案】/
【详解】取椭圆的左焦点，连结，

在中，由，得，
设，由，得，
由为直角三角形，得，则，
所以椭圆的离心率是.
14．【答案】2
【详解】由②及题设条件，得.
由①，知为增函数，得，即
即.
令，则.
又为增函数，所以，即，所以，
故.
15．【答案】（1）
（2）证明见解析.
【详解】（1）函数，求导得，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）设，求导得，
函数在上单调递减，恒成立，即，因此，
设，求导得，函数在上单调递增，
则，则，即，
所以，即.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
即，则，
由，得，又，
所以.
（2）（2）由（1）求解知，，所以，
由正弦定理得，所以，所以，
又，
∴，
∴.
17．【答案】（1）分布列见解析；数学期望为.
（2）证明见解析，.
【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为，
李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，
当时，两道生活类题目都答错，；
当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对，
即；
当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，，
所以随机变量的分布列为：
0 10 30
所以.
（2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为，
若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为，
所以，
则，而，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，即，所以，
的通项公式是.
18．【答案】（1）①证明见解析；②1；
（2）.
【详解】（1）（i）由⊥平面，平面，得⊥，
由，得⊥平面BCD，而平面，则⊥，
又，，平面，则⊥平面，
又平面，则⊥，而，平面，
所以平面PCD；
（ii）由，得，，则，
过点作，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
由，得，，
则，，，
则平面的一个法向量为，
设点关于平面对称的点为，则，
，要最小，则需三点共线，
此时的最小值为的长，其中，且，
则且，而，解得，
故，；
所以△CGH周长的最小值为.
（2）PB与平面BCD所成的角，
以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，故，
PB与平面BCD所成的角，，则点在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆，
设，，
设平面的法向量为，则，
令，得，平面的法向量为，
设二面角的大小为，由图形知，二面角是锐二面角，，
则，
令，则，
又在上单调递减，因此，
所以二面角的取值范围为.
19．【答案】（1），，（答案不唯一）；
（2）是，理由见解析；
（3）证明过程见解析.
【详解】（1）由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故，
则，且在点处的切线方程为，
不妨取切点为，则切线方程为，此时，
则.
（2）若直线斜率不存在，不妨设，则，
则，得，
此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”，
若直线斜率存在，设，
联立，得，
则，即，
则，
又点到直线的距离，
则，
得，
联立，得，
则，
则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”，
综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”.
（3）若切点为时，直线的方程为，此时，
因，则，即，
利用对称性可知；
若切点不为，可设切点为，则直线，
联立，得，
则由，可得，
联立，得，即，
设点，，则，
则，
，
则
，
（说明：由图知，与始终同号，故成立）
，
则
，
因，则，故为定值.

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