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北师大版2024—2025学年八年级下学期数学期末复习强化训练
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．不等式组的解集是（　　）
A．x＞1 B．x≤4 C．x＞1或x≤4 D．1＜x≤4
3．在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点的对称点P′的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
4．若a＞b，则下列选项中，一定成立的是（　　）
A．a+2＞b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b
5．如果把分式中的m，n同时扩大为原来的5倍，那么该分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的5倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
6．已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠﹣4 D．a＜2且a≠﹣4
7．在△ABC中，若AC＝b，AB＝c，BC＝a，则下列条件能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝50°，∠C＝45° B．a：b：c＝6：8：10
C．a＝1，，c＝4 D．AB＝1，BC＝2，AC＝3
8．为了激发学生学习数学的积极性，某校举行了主题为“学数学、用数学、爱数学”的知识竞赛活动，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分，大赛规定总分不低于80分获奖，亮亮想获奖，至少答对（　　）道题．
A．15 B．16 C．17 D．18
9．等腰三角形一个角等于50°，则它的底角的度数是（　　）
A．70°或40° B．65°或70° C．50°或65° D．50°
10．已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．分解因式：ma2﹣2ma+m＝　 　．
12．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为　 　．
13．直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 　 　．
14．一商家进了一批商品，进价为每件800元，如果要保持销售利润不低于15%，则该商品的售价应不低于　 　元．
15．已知M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，则a+b＝ 　 　．
16．如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 　 　．
北师大版2024—2025学年八年级下学期数学期末复习强化训练
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
姓名：____________ 学号：_____________座位号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
（1）3x＜5（x+2）；（2）．
18．解分式方程：
（1）； （2）．
19．先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值．
20．如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若OF＝3，求CD的长．
21．如图，点O是等边△ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC，连接OA、OD．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB＝2，OC＝3，求OA的长．
22.某粮食生产基地为了落实总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买A型和B型两种农机具，已知1件A型农机具比1件B型农机具多0.5万元，用18万元购买A型农机具和15万元购买B型农机具的数量相同．
（1）求购买1件A型农机具和1件B型农机具各需多少钱？
（2）若该粮食生产基地计划购买A型和B型两种农机具共24件，且购买的总费用不超过66万元，购买A型农机具最多能购买多少件？
23.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若第一象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　 　 ；
（4）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，那么旋转中心的坐标为 　 　 ．
24．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣≤x＜n+
如＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，……
试解决下列问题
（1）填空：①＜π＞＝　 　，
②如果＜2x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为　 　；
（2）求满足＜x＞＝x的所有非负实数x的值；
（3）若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围．
25.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6．点D，E分别为AC，BC的中点，点P为线段DE上一动点（不与点D重合），将线段CP绕点C逆时针旋转90°得到CM，连接AP，BM，PM，PM交BC于点N．
（1）求证：AP＝BM；
（2）求证；PD2+PE2＝2PC2；
（3）在点P运动过程中，能否使△CMN为等腰三角形？若能，请直接写出PD的长；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1—10：BDAAD CBDCD
二、填空题
11．【解答】解：ma2﹣2ma+m
＝m（a2﹣2a+1）
＝m（a﹣1）2，
故答案为：m（a﹣1）2．
12．【解答】解：∵52+122＝132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为5×12＝30．
13．【解答】解：将点P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
从图中直接看出，当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
14．【解答】解：设售价应x元，则（x﹣800）÷800≥15%，解得x≥920元．
15．【解答】解：∵M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，
∴a＝﹣4，b＝3，
则a+b＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．【解答】解：，
解不等式x﹣1＜3，得x＜8，
解不等式﹣x＜﹣m，得x＞m，
不等式组的解集是m＜x＜8，
∵不等式组有且仅有4个整数解，这3个整数解是4，5，6，7，
∴3≤m＜4，
故答案为：3≤m＜4．
三、解答题
17．【解答】解：（1）去括号得：3x＜5x+10，
移项，合并同类项得：﹣2x＜10，
系数化为1得：x＞﹣5，
将解集表示在数轴上，如图所示：
（2），
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤6，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤6，
如图所示：解集表示在数轴上，
18．【解答】解：（1），
5x＝4x+12，
x＝12，
检验：当x＝12时，x（x+4）≠0，
∴原方程的解为x＝12；
（2）原方程去分母得：
（x﹣5）（x﹣1）﹣x（x﹣5）＝4，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴原方程无解．
19．【解答】解：
，
∵x﹣1≠0，x﹣3≠0，x≠0，
∴x≠1，x≠3，x≠0，
∴当x＝2时，原式．
20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为线段BC、AD的中点，
∴AFAD，CEBC，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AF＝DF，
∴OF为△ACD的中位线，
∴CD＝2OF＝2×3＝6．
21．【解答】解：∵△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝∠BCA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OCD＝∠BCA＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°；
（2）∵△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，AD＝BO＝2，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，
∵△OCD是等边三角形，
∴OD＝OC＝3，
∴OA．
22.【解答】解：（1）设购买一件A型农机具需要x万元，购买一件B型农机具需要（x﹣0.5）万元，
根据题意，得．
解这个方程得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，
x﹣0.5＝2.5（万元），
所以，购买一件A型农机具需要3万元，购买一件B型农机具需要2.5万元；
（2）设购买A型农机具m件，
根据题意，得3m+2.5（24﹣m）≤66，
解这个不等式，得m≤12．
所以，最多可以购买12件A型农机具．
23.【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求．
（2）如图1，△A2B2C2即为所求．
（3）如图2，
故点D的坐标为（5，6）；
（4）如图1，连接AA2，BB2，CC2，交于点M，
则△ABC绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
24．【解答】解：（1）①由题意可得：＜π＞＝3；
故答案为：3，
②∵＜2x﹣1＞＝3，
∴2.5≤2x﹣1＜3.5
∴1.75≤x＜2.25；
故答案为：1.75≤x＜2.25；
（2）∵x≥0，x为整数，
设x＝k，k为整数，则x＝k，
∴＜k＞＝k，
∴k﹣≤k＜k+，k≥0，
∴0≤k＜1.5，
∴k＝0，1，
则x＝0，．
（3）解不等式组得：﹣1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5．
25.【解答】（1）证明：∵线段CP绕点C逆时针旋转90°得到CM，
∴∠PCM＝90°，CP＝CM，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝∠BCM＝90°﹣∠BCP，
∵AC＝BC，
∴△ACP≌△BCM（SAS），
∴AP＝BM．
（2）证明：连接EM，
∵AC＝BC，D和E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝CE，
∵CP＝CM，∠ACP＝∠BCM＝90°﹣∠BCP，
∴△DCP≌△ECM（SAS），
∴DP＝EM，∠CDP＝∠CEM，
∵∠CDP+∠CED＝90°，
∴∠CEM+∠CED＝90°，即∠MEP＝90°，
∴在Rt△PEM中，EM2+PE2＝PM2，
在Rt△PCM中，PC2+MC2＝PM2，
∵PC＝MC，
∴2PC2＝PM2，
∵PD＝PE，
∴PD2+PE2＝PM2，
∴PD2+PE2＝2PC2．
（3）解：∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝6，
∴DE＝3，
①当NC＝NM时，
∵∠M＝45°，
∴∠MCN＝45°，
∴∠PCE＝45°，
此时CP⊥DE，
∴DPDE．
②当CN＝CM时，则E、P、N三点重合，此时DP＝DE＝3．
③当CM＝MN时，
∵∠M＝45°，
∴∠MCN＝67.5°，
∴∠PCN＝22.5°，∠DCP＝67.5°，
∴∠DPC＝∠PCE+∠CEP＝67.5°，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC＝3；
综上，在点P运动过程中，△CMN可以为等腰三角形，此时PD的长为：或3或3．
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