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江西省部分学校2025届高三下学期5月高考适应性测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知全集，，则( )
A. B. C. D.
3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D. 4
5.已知奇函数的定义域为R，且，则( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
6.已知O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，以OA为直径的圆与椭圆C的三个公共点分别为A，M，N，若以O，M，A，N为顶点的四边形是正方形，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
7.设且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.在正方体中，P为线段上的动点，则直线与所成角的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列函数中，以为周期且在上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
10.已知O为坐标原点，若直线l上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是( )
A. B. C. D.
11.某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则当时，最大
C. 若，则当时，最大 D. 若，则当时，最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从正态分布，且，则 .
13.已知边长为6的等边三角形ABC的内心为O，则 .
14.已知函数，若，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量单位：并整理如下表.
亩产量
频数 10 11 22 30 20 7
记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
求，
判断该新型水稻能否推广种植在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在内，则认为该新型水稻能推广种植
16.本小题15分
已知双曲线的离心率为，点在双曲线C上.
求双曲线C的标准方程.
直线与双曲线C交于点M，N，其中点M在第二象限.
①求
②已知双曲线C的左、右顶点分别为A，B，设直线AM，BN的斜率分别为，，求
17.本小题15分
已知数列的前n项和为，且，t为常数，记
若数列为等差数列，求的公差.
设
①求的通项公式;
②记数列的前n项和为，证明：
18.本小题17分
如图，该几何体由两个相同的正四棱台组合而成.
证明：
已知M，N，O分别是棱FG，AB，DC的中点，过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形，求棱BG的长度.
已知，该几何体的体积为，平面ABGF与平面CBGH夹角的余弦值为，求棱AB的长度.
19.本小题17分
证明：在上恒成立.
若，证明：函数在上恰有1个零点.
试讨论函数在上的零点个数.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】，
2.【答案】B
【解析】解：因为全集，，
所以
3.【答案】C
【解析】解：由，，可得，
根据正弦定理，
可得，所以.
4.【答案】C
【解析】解：
=
=
5.【答案】A
【解析】解：因为是定义在R上的奇函数，所以
令，得
6.【答案】B
【解析】不妨设点M在第一象限，则，
代入椭圆，得，
即，解得
7.【答案】B
【解析】若，则，即
令，则
当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，
，所以方程有唯一解，即，所以方程的解为
若，则，解得或，所以或
故“”是“”的必要不充分条件.
8.【答案】D
【解析】解：在正方体中，，
所以为等边三角形.
因为，所以或其补角为直线与所成的角.
当点P与线段的端点重合时，直线与所成的角取得最小值
当点P与线段的中点重合时，直线与所成的角取得最大值
故直线与所成角的取值范围是
9.【答案】BCD
【解析】不是周期函数，A不符合题意.
以为周期且在上单调递增，B符合题意.
，以为周期且在上单调递增，C符合题意.
，以为周期且在上单调递增，D符合题意.
10.【答案】ABC
【解析】解：由题意可得原点O到直线l的距离小于或等于
选项化为，，是"距直线"；
选项化为，，是"距直线"；
选项化为，，是“1距直线”；
选项，，不是"距直线"；
A，B，C符合题意.
故选
11.【答案】ABD
【解析】对于A，，，所以，A正确.
当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”.
当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中至少要赢n局，所以
当事件BC发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局，所以
当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中赢的局数大于n，可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”与事件“在后续的局比赛中恰好赢了n局”的差事件，所以所以，即
对于B，若，则，当时，，即，所以当时，最大，B正确.
对于C，若，则，当时，，即0，所以当时，最小，C错误.
对于D，若，则，当时，，当时，，即当时，，当时，，所以当时，最大，D正确.
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
13.【答案】
【解析】解：记AB的中点为D，
则
14.【答案】2
【解析】为增函数，不妨设，
则，
即，
整理得，
解得舍去，当且仅当，时，等号成立，所以的最大值为
15.【答案】解：由频数分布表可得
因为，
所以，
，
所以
亩产量在内的稻田有10块，
所以亩产量在内的稻田不超过90块，
即亩产量在内的稻田不超过90块.
故该新型水稻不能推广种植.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：因为点在双曲线C上，所以
离心率为，，解得，
故双曲线C的标准方程为
①设，
联立得，
则，，
故
②，
由题意得点M，N都在双曲线C的左支上，且点M在第二象限，所以，
则，
故
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：因为，所以，
则，，
因为数列为等差数列，所以，即，解得，
所以的公差为
①解：当时，，
当时，，
故的通项公式为
②证明：当时，，满足
当时，，
则
综上，
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】证明：如图，分别延长两个正四棱台的侧棱，
得到正四棱锥及正四棱锥，
所以
连接EG，FH，记，连接PR，
在正四棱锥及正四棱锥中，平面EFGH，平面EFGH，
所以直线PR与QR是同一条直线.
因为，所以P，E，G，Q四点共面，
所以四边形PEQG为菱形，所以
解：连接ON，因为过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形，
所以，
故
解：记正方形ABCD的中心为S，连接SB，
以R为坐标原点，RM所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，
所以，
记平面CBGH的法向量为，则即
取，则
同理可得平面ABGF的一个法向量为
，，解得，
所以正四棱锥的体积
因为该几何体的体积为，所以正四棱台的体积，
则正四棱锥的体积
设，则
因为∽，所以，所以，
则，解得
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】证明：令函数，，
则，所以在上单调递增，
则，即在上恒成立.
证明：因为，所以在上单调递增.
由得在上恒成立，
所以
令，解得，
所以存在，使得
因为，所以在上有1个零点，
即在上恰有1个零点.
解：令，即，
等价于
记，
在上的零点个数即在上的零点个数.
是的1个零点.
因为，
所以是奇函数，则在和上的零点个数相同.
，在上单调递增.
当时，，在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，
即在上没有零点，
所以在上只有1个零点.
当时，由可得在上恰有1个零点，记该零点为
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
令，解得
因为，
所以存在，使得，
即，
因为，所以，，所以，
所以在上有1个零点，即在上有1个零点，
所以在上有3个零点.
综上，当时，在上只有1个零点;
当时，在上有3个零点.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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