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2024-2025学年福建省部分名校高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
2.下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
3.若函数满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为( )
A. B. C. D.
6.已知函数有最大值，则的值为( )
A. B. C. D.
7.用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有( )
A. B. C. D.
8.将数列和中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列若有相同元素，按重复方式计入排列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数恰有个极值点
B. 函数的单调递增区间为
C. 函数的单调递减区间为
D. 是函数的极小值点
10.下列说法中正确的是( )
A. 若，，则
B. 已知随机变量满足，，则
C. 已知随机变量，满足，，则
D. 从，，，，，，这个数中任取个不同的数，则这个不同的数的中位数为的概率为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若恰有个零点，则
B. 若恰有个零点，则
C. 若恰有个零点，则的取值范围是
D. 若恰有个零点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 用数字作答
13.已知，，，则，，的大小关系为 用“”连接
14.已知是函数的导函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在处的切线方程为．
求，的值；
求的极值．
16.本小题分
若，其中．
求的值；
求．
17.本小题分
设甲盒有个白球，个红球，乙盒有个白球，个红球，现从甲盒中任取个球放入乙盒中，再从乙盒中任取个球．
记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求的分布列和数学期望
求从乙盒取出的个球为红球的概率．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明：是等比数列，并求的通项公式
记，记数列的前项和为．
求
若存在，使得，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，求证：在上单调递减；
若在上恒成立，求的取值范围；
证明：
参考答案
1.
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4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意知，
又函数的图象在处的切线方程为，
所以在处切线斜率为，
所以，解得，又，
所以．
由知，令，解得或，
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极大值，
在处取得极小值．
16.解：因为展开式的通项为，
所以，解得．
因为，令，得，
令，得，
所以
．
17.解：由题意可知：的所有可能取值为，，，
所以，
，
，
的分布列为：
所以
记从甲盒中取出个白球为事件，从甲盒中取出个白球和个红球为事件，
从甲盒中取出个红球为事件，从乙盒取出的个球为红球为事件，
所以
，
即从乙盒取出的个球为红球的概率为．
18.解：因为．
当时，，解得
当时，由，得，
所以，所以，
所以，又，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以
由知，
所以
当为偶数时，，
因为是单调递减的，所以．
当为奇数时，
，
又是单调递增的，
因为，所以，
要使存在，使得，只需，即，
故的取值范围是
19.解：证明：由，则，
故，令，
则，令，则，
故，，在单调递增，
，，在单调递减，
故，
则在单调递减；
由在恒成立，
则在恒成立，
令在恒成立，
，令，
当时，，，，所以
所以，则在单调递减，
所以这与在恒成立矛盾，所以不满足条件，
当时，，对称轴，
若即，
当时，
故，则在单调递增，
所以，故．
若即
当时，，则
故当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以与在恒成立矛盾，
故．
由时，
故时，，
令，则，，
则个不等式相加
故．

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