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2024-2025学年江西省上饶市六校高二下学期第一次联合考试(5月)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是上的可导函数，且，则( )
A. B. C. D.
2.在某生态系统中，研究人员发现两种生物近期的数量线性相关，且相关系数为，这说明( )
A. 一种生物的数量增长时，另一种生物的数量会减少
B. 一种生物的数量增长时，另一种生物的数量也增长
C. 两种生物的数量增减性有相同的趋势
D. 两种生物的数量增减性有相反的趋势
3.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的极小值为( )
A. B. C. D.
5.记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量单位：万件整理成如下表格：
月份
销量
建立与的线性回归方程为，则第个月和第个月的残差和为( )
A. B. C. D.
7.记为首项为的数列的前项和，且，则( )
A. B. C. D.
8.设函数的两个极值点分别为，则过，两点的直线斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公比为的等比数列的前项和为，已知，，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. 当时，有唯一零点
B. 当时，在上单调递增
C. 可以是的极大值点
D. 当时，在上的值域为
11.设，为两个变量，每一个变量都可以取两个值，即，，且，，，且，随机调查个样本数据后，得到如下列联表，则( )
合计
合计
A. 若，则可以认为与独立
B. 若变量与独立，则
C. 若很大，则变量与不独立
D. 若变量与不独立，则很大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.若数列满足，，则 ．
14.若函数满足：存在整数，实数，使得，则称是“滞后的”已知函数，不是“滞后的”，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某科技公司为调研正在研发的新产品在岁和岁青年群体中的受众面，通过发布问卷的方式展开调查，回收了份问卷并整理数据，得到如下列联表．
感兴趣 不感兴趣 合计
岁
岁
合计
求，；
分别计算岁和岁青年群体对新产品感兴趣的频率；
判断是否有的把握认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关．
附，．
16.本小题分
已知正项数列满足，．
求的通项公式；
求的前项和．
17.本小题分
某地区因其独特的地理位置和生态环境，对气候变化较为敏感地理研究小组为了研究该地区的生态情况，对该地区年平均气温单位：摄氏度与年降水量单位：毫米之间的关系进行了探究小组收集了过去年该地区的相关数据如下表所示．
年平均气温
年降水量
求样本的相关系数精确到；
建立关于的回归方程的计算结果均精确到，预测年平均气温为摄氏度时的年降水量．
附：，，，，相关系数：回归方程：，其中，．
18.本小题分
已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且，，，是公差为的等差数列，，，，是公差为的等差数列，，，，是公差为的等差数列，以此类推．
当，时，求；
求的最小值用含的代数式表示；
记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式用含，，，，的代数式表示．
19.本小题分
已知函数．
若，判断的单调性；
已知有两个零点，．
证明：；
证明：．
参考答案
1.
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14.
15.解：由二阶列联表可得：，；
根据表格中数据可得岁青年群体对新产品感兴趣的频率为，
根据表格中数据可得岁青年群体对新产品感兴趣的频率为；
零假设：对新产品感兴趣与青年的年龄段无关．
由，
根据独立性检验原理，可知零假设不成立，可推断对新产品感兴趣与青年的年龄段有关，该推断犯错误的概率不超过，
即有的把握认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关．
16.解：由题可知是以为首项、为公差的等差数列，
故，
令，有，
即，解得．
代入得，即．
由可得，
故
．
17.解：；
由，
，
，，
所以关于的回归方程为，
将代入，得，
故预测年平均气温为摄氏度时的年降水量为毫米．
18.解：由题可知：，，，为公差为的等差数列，
故，
，，，为公差为的等差数列，故，
解得；
由题可知：，，，为公差为的等差数列，
故；
，，，为公差为的等差数列，
故
，，，为公差的等差数列，
故
，又为正整数，故，
即的最小值为；
由题可知：，
当时，，，，是公差为的等差数列，
而，
依次类推得，，，，
累加得
当时，
当，
也即．
由题，，则，
当时，，仍然满足上式．综上，．
19.解：当时，，易得的定义域为，
且，，
时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
由题设且，则，
当时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，则，
由趋向于或时，都趋向于，由有两个零点，
所以，即，命题得证；
证明：由题意，即
所以，记，则，
要证，即证，即证，
记，，则，
记，则，
同分析得，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
下证，由，由于时，显然成立，
故只需考虑时，是否成立，要证，即证，
由在区间上单调递减，即证，
即证，即证，
记，，，
记，，，所以在上单调递减，
又，所以，所以在区间上单调递减，
又，所以，故．

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