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浙江省杭州市2024-2025学年七年级数学第二学期学期期末常考题精选01
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（20-21七年级下·浙江杭州·期末）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程，故本选项符合题意；
C．是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．
2．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
3．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点C作，根据平行线的性质和判定即可判断．
【详解】过点C作

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
4．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）某校为学生提供了篮球、编程、国潮手工、街舞四种课后服务项目，为了解学生最喜欢哪个项目，随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制了如图的扇形统计图．其中国潮手工的扇形圆心角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，求出国潮手工所占百分比是解题关键．用乘国潮手工所占百分比可得答案
【详解】解：，
，
故选：D．
5．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）分式有意义，x可取（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，，
∴、2、，
∴x可取，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义分母不为零是解题的关键．
6．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．根据因式分解的方法逐项分析即可．
【详解】解：A．，故原分解不正确；
B．，正确；
C．不能分解，故原分解不正确；
D．，故原分解不正确；
故选B．
7．（本题3分）（21-22七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】过点作，利用平行线的性质可证得，可以得到与的关系
【详解】解：过点作，如图：
，
∴CD∥EM ，
∴
∵的平分线与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
整理得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意数形结合思想的运用．
8．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
9．（本题3分）（21-22七年级下·浙江杭州·期末）若，为实数且满足，，设，，有以下个结论：①若，则；②若，则下列判断正确的是( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
【答案】D
【分析】①中只需通过求出M-N=0需要满足的条件，看是否与ab=1相同即可；
②通过计算得到，根据，得到a，b互为相反数，得到ab≤0，从而得出结论．
【详解】解：∵，且，，
∴当时，，即，
故正确；
∵，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故正确．
综上所述，结论都正确，
故选：．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算法则是解答本题的关键．
10．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，
根据题意分3种情况讨论，分别根据平行线的性质和判定，结合角平分线的概念求解即可．
【详解】∵
∴
∵平分，
∴
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴，
∴，故A不符合题意；
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故C不符合题意；D选项符合题意．
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
故选：D．
二、填空题（共24分）
11．（本题4分）（21-22七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式得出答案．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（本题4分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）某班体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下：
距离
频数 3 7 3 5 2
已知跳远距离1.8米以上为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为
【答案】
【分析】本题考查求频数分布表，用表中优秀人数除以总人数求解即可．
【详解】解：由表中知，共有（人），其中跳远距离1.8米以上为优秀的有7人，则则该班女生立定跳远成绩的优秀率为，
故答案为：．
13．（本题4分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的多项式是一个完全平方式，则 ．
【答案】9
【分析】根据完全平方公式求出，再求出即可．
【详解】多项式是一个完全平方式，
是一个完全平方式，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，完全平方式有和．
14．（本题4分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，且，则的度数是 ．
【答案】/72度
【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，．
由平行线的性质推出，，由平角定义求出，即可得到的度数．
【详解】解：，
，，
∴，
，
．
故答案为：．
15．（本题4分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）对于实数，定义运算，如：．则方程的解为 ．
【答案】无解
【分析】根据题目中给出的信息，列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
经检验是原方程的根据，
∴原方程的解为．
∵，
∴方程无解
故答案为：无解．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出方程，准确计算．
16．（本题4分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 元；
（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 个（写出一种即可）．
【答案】 59 4，4，2（答案不唯一）
【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程和不等式，然后求整数解即可．
【详解】（1）购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，
则购买费用为：（元），
故答案为：；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，
根据题意得：，
①当时，，
∵x，y，z都为正整数，
∴时，，（不符合题意舍去），
②当时，，
∵x，y，z都为正整数，
∴时，，
综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为4，4，2．
故答案为：4，4，2．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，分别和两种情况列出方程求出整数解是解题的关键．
三、解答题（共66分）
17．（本题8分）（20-21七年级下·浙江杭州·期末）解下列方程组；
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1），
①+②×2得：，
解得：，代入②中，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2）方程组整理得：，
①×5+②得：，
解得：，代入②中，
解得：，
∴方程组的解为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（本题8分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）某校为了解学生对人工智能相关知识的掌握情况，从全校600名学生中随机抽取部分学生进行“人工智能知识”竞赛，并对此竞赛成绩进行统计，绘制成如下不完整的直方图和扇形统计图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
根据该图所给的信息，解答下列问题：
(1)求扇形统计图中80~90分所对应的圆心角的度数．
(2)若80分及以上为优秀，试估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数．
【答案】(1)扇形统计图中分所对应的圆心角的度数为．
(2)估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数约360人．
【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用条形统计图中成绩为分的人数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数，进而可得成绩为分的人数，用乘以成绩为分的人数所占的百分比即可得出答案．
（2）根据用样本估计总体，用600乘以样本中成绩为分以及分的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人），
成绩为分的人数为（人），
扇形统计图中分所对应的圆心角的度数为．
（2）解：（人）．
估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数约360人．
19．（本题8分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．

(1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？
(2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由．
【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个
(2)是的整数倍，理由见解析
【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍．
【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，
根据题意得：，
解得：．
答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个；
（2）解：是的整数倍，理由如下：
设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
是的整数倍．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．（本题10分）（20-21七年级下·浙江杭州·期末）（1）化简并求值，其中
（2）已知且时，求的值．
【答案】（1），81或9；（2）2000
【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并，将已知等式利用幂的乘方变形，得到a，b的值，代入计算即可；
（2）将原式利用完全平方公式和提公因式法变形，再根据已知a，b关系得到a-b的值，代入计算即可．
【详解】解：（1）
=
=
∵，
∴a=±3，b=3，
∴原式==81，
或原式==9；
（2）
=
=
∵，，
∴，
∴，
∴原式==2000．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式进行整式乘法和因式分解．
21．（本题10分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知在三角形中，点D，E分别在上，．连结，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的度数为
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）先利用平行线的性质可得，从而可得，然后根据内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）利用角平分线的定义可得，从而可得，然后根据已知和平角定义可得，从而可得，进而可得，最后根据平行线的性质可得，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
22．（本题10分）（24-25七年级上·浙江杭州·期末）某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元．
(1)求盲盒和笔记本的单价各为多少？
(2)后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了．
(3)班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为　　　元．
【答案】(1)盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元
(2)见解析
(3)2或8
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用、整数的认识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为元，根据购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设购买y个盲盒，则购买本笔记本，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程判定即可；
（3）设记号笔的单价为m元，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为元，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元；
（2）解：班长算错了，理由如下：
设购买y个盲盒，则购买本笔记本，
由题意得：，
解方程得：，
又∵y需为正整数，
∴不符合题意，舍去，
∴班长算错了；
（3）解：设记号笔的单价为m元，
由题意得：，
解方程得：，
又∵y为正整数，m为不大于10元的整数，
∴或8，
故答案为：2或8．
23．（本题12分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点．
(1)如图1，若，，求的度数．
(2)求证：．
(3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法是解题关键．
（1）过点作直线，根据平行线的性质得、，利用即可求解；
（2）过点作直线，利用平行线的性质可得，通过角平分线的定义得、，结合（1）的即可求解；
（3）过点作直线，根据题意可得，结合（1）（2）可得，利用平行线的性质得即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作直线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作直线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵由（1）得，，
∴．
（3）解：如图，过点作直线，
∵，，
∴，
，
∵由（1）得：，
由（2）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页浙江省杭州市2024-2025学年七年级数学第二学期学期期末常考题精选01
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（20-21七年级下·浙江杭州·期末）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
3．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）某校为学生提供了篮球、编程、国潮手工、街舞四种课后服务项目，为了解学生最喜欢哪个项目，随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制了如图的扇形统计图．其中国潮手工的扇形圆心角是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）分式有意义，x可取（　　）
A． B．1 C． D．2
6．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）（21-22七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则( )
A． B．
C． D．
8．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）

A． B． C． D．
9．（本题3分）（21-22七年级下·浙江杭州·期末）若，为实数且满足，，设，，有以下个结论：①若，则；②若，则下列判断正确的是( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
10．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共24分）
11．（本题4分）（21-22七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： ．
12．（本题4分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）某班体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下：
距离
频数 3 7 3 5 2
已知跳远距离1.8米以上为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为
13．（本题4分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的多项式是一个完全平方式，则 ．
14．（本题4分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，且，则的度数是 ．
15．（本题4分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）对于实数，定义运算，如：．则方程的解为 ．
16．（本题4分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 元；
（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 个（写出一种即可）．
三、解答题（共66分）
17．（本题8分）（20-21七年级下·浙江杭州·期末）解下列方程组；
（1）； （2）．
18．（本题8分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）某校为了解学生对人工智能相关知识的掌握情况，从全校600名学生中随机抽取部分学生进行“人工智能知识”竞赛，并对此竞赛成绩进行统计，绘制成如下不完整的直方图和扇形统计图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
根据该图所给的信息，解答下列问题：
(1)求扇形统计图中80~90分所对应的圆心角的度数．
(2)若80分及以上为优秀，试估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数．
19．（本题8分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．

(1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？
(2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由．
20．（本题10分）（20-21七年级下·浙江杭州·期末）（1）化简并求值，其中
（2）已知且时，求的值．
21．（本题10分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知在三角形中，点D，E分别在上，．连结，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
22．（本题10分）（24-25七年级上·浙江杭州·期末）某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元．
(1)求盲盒和笔记本的单价各为多少？
(2)后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了．
(3)班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为　　　元．
23．（本题12分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点．
(1)如图1，若，，求的度数．
(2)求证：．
(3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页浙江省杭州市2024-2025学年七年级数学第二学期学期期末常考题精选02
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
B、是二元一次方程，符合题意；
C、含有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；
故选：B．
2．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式：进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则，
，
故选：B．
3．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点之间的距离为1，，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移的性质，线段的和差等，解题的关键是掌握平移的性质．
根据平移的性质得出，然后利用线段的和差进行计算即可．
【详解】解：根据平移的性质可得，
，
∴，
故选：B．
4．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图是703班学生最喜欢的一项球类运动的扇形统计图，其中表示最喜欢排球的扇形圆心角是（ ）

A． B．° C． D．
【答案】B
【分析】先求出最喜欢排球的学生所占的百分比，再用乘以最喜欢排球的学生所占的百分比，即可求解．
【详解】最喜欢排球的学生所占的百分比是，
∴最喜欢排球的扇形圆心角是；
故选：B
【点睛】本题考查求扇形的圆形角的度数，解题的关键是掌握求扇形圆心角度数的公式．
5．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，则（ ）
A． B．或0 C．或0 D．
【答案】B
【分析】将分式方程去分母，化为整式方程，分别讨论当和两种情况，求出x的值，检验即可．
【详解】解：去分母得：，
当时，满足题意；
当时，，即或，
当时，，此时分式方程无解，
综上所述，或．
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，利用了分类讨论的思想，主要最后要验根．
6．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）多项式的各项公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．由公因式的定义求解．
【详解】解：多项式的各项公因式是
故选：D．
7．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（　　）度时，与平行．
A．54 B．64 C．74 D．116
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，进而可求出的度数，再根据平行线的判定可得时，，由此可得的度数．
本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】，，
，
，
，
，，
，
∴当时，．
故选：B．
8．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程和方程中，求得，再将、代入，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论．
【详解】解：，
得：，
当这个方程组的解，的值互为相反数时，则，
∴，解得，①结论正确；
当时，方程组为，方程为，
解得：
将代入中，得：，
方程组的解是方程的解，②结论正确；
当时，，
，
解得：，
无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确；
，④结论不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：A．
9．（本题3分）（21-22七年级下·浙江杭州·期中）已知实数，，满足，有下列结论：若，则；若，则；若，则；若，则，其中结论正确的有（　　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式、等式的性质、分式的乘除运算即可求出答案．
【详解】解：若时，则，，
∴ ，故符合题意．
若，则，
，，
，故不符合题意．
若，则，
，故符合题意．
若，则，
，
，故符合题意．
正确的有
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式、等式的性质、分式的加减与约分运算，掌握对完全平方公式与题中等式的变形和整体代换是解题的关键．本题属于中等题型．
10．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图所示，，若，下列各式：① ② ③ ④
其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】过点E作，点F作，根据平行公理得，根据平行线的性质逐一计算解题即可．
【详解】解：如图，过点E作，
∵，
∴，

∴，，
∴，
故①正确；
如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
故②不正确；
又∵，
∴，
即，
故③不正确；

∵，
∴，
∵，
∴，
，
故④正确；
∴正确的为①④，
故选D．
【点睛】本题考查平行线的性质，能作辅助线构造平行线转化角是解题的关键．
二、填空题（共24分）
11．（本题4分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）多项式应提取的公因式是 ．
【答案】/
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【详解】解：∵各项系数3、6的最大公约数是3，各项都含有的字母是x与y，x的最低指数是1，y的最低指数是1，
∴该多项式的公因式为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．
12．（本题4分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）一组数据共有50个，分成5组后其中前三组的频数分别是4、15、16，第四组的频率是，则第5组数据的频数为 ．
【答案】
【分析】求得第四组的频数，即可求解．
【详解】解：第四组的频数为：
则第五组的频数为：
故答案为：
【点睛】此题考查了频数的计算，解题的关键是掌握频数等于总数乘以频率．
13．（本题4分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则代数式 ．
【答案】2023
【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是整体代入求值．由，得到，再将原式变形为，代入数据计算即可．
【详解】解：因为，
所以，
．
故答案为：2023．
14．（本题4分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点在上，点在上，把长方形纸带沿折叠，若，则的度数是 ．
【答案】100
【分析】本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和翻折的性质进行角的转化和计算．
根据折叠的性质可知，再由邻补角求出，再根据平行线的性质即可求．
【详解】解：由题知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：100．
15．（本题4分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置，记图①中的阴影部分面积为．图②中的阴影部分面积为，甲正方形的面积为．

（1）若，则的值是 ；
（2）若，则的值是 ．
【答案】 4
【分析】此题考查了分式的化简求值，数形结合和熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）由题意可知，甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为，得到，，，根据得到，即可求出的值；
（2）根据得到，再整体代入即可得到答案．
【详解】（1）由题意可知，甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为，
∴，，
，
∵
∴，
∴，
∴
∴
故答案为：
（2）∵，
∴
∴，
∴
故答案为：4
16．（本题4分）（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，结合题意，利用整体代入法求解即可．
【详解】令，，
∵关于、的二元一次方程组的解为，
则，
∴关于、的二元一次方程组的解为，
∴关于、的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
三、解答题（共66分）
17．（本题9分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程组：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和整体代入思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
（1）利用代入消元法解此题即可；
（2）利用加减消元法解此题即可；
（3）整理①式，先利用整体代入法，再利用加减消元法解此题．
【详解】（1）解：
将①代入②，得：
，
解得：，
将代入①，得：
，
所以原方程组的解是．
（2）解：
，得：
，
，得：
，
解得：，
将代入①得：
，
解得：，
所以原方程组的解是．
（3）解：
整理①，得：
，
将②代入③，得：
，
解得：，
将④代入③，得：
，
解得：，
，得：
，
解得：，
将代入⑤，得：
，
所以原方程组的解是．
18．（本题9分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）共享单车是一种新型环保交通工具，为市民的出行带来了极大的方便．某市中学生对市民共享单车使用情况进行了调查，主要以下四种用途：A外出游玩，B锻炼身体，C换乘公交，D其他；并将这次调查情况整理、绘制成如下两幅统计图（部分信息未给出）
根据图中的信息，解答下列问题：
(1)这次活动中接受问卷调查的市民共有______________名；
(2)补全条形统计图；
(3)根据统计结果，若该市某区域有20000名市民选择共享单车，请估计其中“外出游玩”的人数．
【答案】(1)100
(2)见解析
(3)1000名
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中找到有用信息是解答的关键．
（1）用“锻炼身体”的人数除以其所占的百分数即可求解；
（2）先分别求得A、C的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用该区域总人数乘以样本中“外出游玩”的人数所占的比例求解即可．
【详解】（1）解：这次活动中接受问卷调查的市民共有（名），
故答案为：100；
（2）解：“换乘公交”的人数为（名），
“外出游玩”的人数为（名），
补全条形统计图如图：
（3）解：（名），
答：估计其中“外出游玩”的人数为1000名．
19．（本题8分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，．
(1)求，的值；
(2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
20．（本题10分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
(1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ；
(2)根据（1）中的结论，解决下列问题：
①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值；
②求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)
(2)①的值为；②图中阴影部分的面积和为
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键．
（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论；
（2）①利用（1）中关系式计算可得结论；
②利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，
∴．
∴．
故答案为：；
（2）①∵，为正方形，边长分别为，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
②．
21．（本题10分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，直线交于点，直线交于点，分别平分和，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的和差计算，掌握平行线的判定和性质是关键．
（1）根据角平分线的定义，等量代换得到，根据内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据题意得到，则，，由角平分线的定义得到，则，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度数为．
22．（本题10分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完．
(1)求，两种笔记本的单价；
(2)由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本．
【答案】(1)种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为2元
(2)A种笔记本购买了本或本或本或本．
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．
（1）设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，根据题意列出二元一次方程，根据整数解求得的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
答：种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元．
（2）解：设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，
依题意，得：，
∴，则，
∵，均为正整数，
∴，或，或，或，，
答：A种笔记本购买了本或本或本或本．
23．（本题10分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1，已知，为与之间一点，点，分别在直线上，且平分，连接．
(1)求与的数量关系．
(2)如图的角平分线分别交直线和线段的延长线于点和．
①已知，求的度数．
②若，且三等分，求的度数．
【答案】(1)
(2)①②或
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键：
（1）过点作，得到，得到，再根据角的和差关系即可得出判断；
（2）①角平分线的定义推出，平行线的性质，得到即可；
②根据平行线的性质，结合角平分线的定义，对顶角，分别得到，，根据，求出的度数，进而求出的度数即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵，平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵三等分，
①当时，
∵，由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
②当时，
∵，由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页浙江省杭州市2024-2025学年七年级数学第二学期学期期末常考题精选02
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点之间的距离为1，，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图是703班学生最喜欢的一项球类运动的扇形统计图，其中表示最喜欢排球的扇形圆心角是（ ）

A． B．° C． D．
5．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，则（ ）
A． B．或0 C．或0 D．
6．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）多项式的各项公因式是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（　　）度时，与平行．
A．54 B．64 C．74 D．116
8．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（本题3分）（21-22七年级下·浙江杭州·期中）已知实数，，满足，有下列结论：若，则；若，则；若，则；若，则，其中结论正确的有（　　　）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图所示，，若，下列各式：① ② ③ ④
其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④
二、填空题（共24分）
11．（本题4分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）多项式应提取的公因式是 ．
12．（本题4分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）一组数据共有50个，分成5组后其中前三组的频数分别是4、15、16，第四组的频率是，则第5组数据的频数为 ．
13．（本题4分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则代数式 ．
14．（本题4分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点在上，点在上，把长方形纸带沿折叠，若，则的度数是 ．
15．（本题4分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置，记图①中的阴影部分面积为．图②中的阴影部分面积为，甲正方形的面积为．

（1）若，则的值是 ；
（2）若，则的值是 ．
16．（本题4分）（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ．
三、解答题（共66分）
17．（本题9分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程组：
(1)； (2)； (3)．
18．（本题9分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）共享单车是一种新型环保交通工具，为市民的出行带来了极大的方便．某市中学生对市民共享单车使用情况进行了调查，主要以下四种用途：A外出游玩，B锻炼身体，C换乘公交，D其他；并将这次调查情况整理、绘制成如下两幅统计图（部分信息未给出）
根据图中的信息，解答下列问题：
(1)这次活动中接受问卷调查的市民共有______________名；
(2)补全条形统计图；
(3)根据统计结果，若该市某区域有20000名市民选择共享单车，请估计其中“外出游玩”的人数．
19．（本题8分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，．
(1)求，的值；
(2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
20．（本题10分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
(1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ；
(2)根据（1）中的结论，解决下列问题：
①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值；
②求图中阴影部分的面积和．
21．（本题10分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，直线交于点，直线交于点，分别平分和，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．（本题10分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完．
(1)求，两种笔记本的单价；
(2)由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本．
23．（本题10分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1，已知，为与之间一点，点，分别在直线上，且平分，连接．
(1)求与的数量关系．
(2)如图的角平分线分别交直线和线段的延长线于点和．
①已知，求的度数．
②若，且三等分，求的度数．
试卷第1页，共3页
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