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2025年初中学业水平模拟卷
数学试题
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6贡，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的倒数是（ ）
A B. 5 C. D.
2. 下列图形分别绕虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知，点E是下方一点，连接，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
6. 若函数（m为常数，且）是正比例函数，且y随x的增大而减小，则一次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，内接于，是的一条弦，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 将抛物线（a为常数，且）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线经过点，则a的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 在实数和中，无理数有__________个．
10. 已知四边形平行四边形，对角线与交于点O，添加一个条件使得四边形是矩形，则这个条件可以是__________．（只写一个）
11. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于点F，点C、A、D在一条直线上，则的度数为__________．
12. 已知点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，若，则k的取值范围是__________．
13. 如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，交边于点F，若，，则正方形的边长为__________．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：
15. 化简：
16. 解方程：
17. 如图，在中，，利用尺规作图法在上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
18. 如图，点E在的边上，点D、F分别在、的延长线上，连接、，，，求证：．
19. 如图，的顶点坐标分别为．将平移后得到，点B的对应点是，点A，C的对应点分别是．
（1）请图中画出；
（2）点、C之间的距离是__________．
20. 小明和小亮玩纸牌游戏，他们从同一副扑克牌中抽出四张（如图所示），牌面数字分别为2、3、4、6，游戏规则如下：将四张牌正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中随机抽出一张并记下牌面上数字，不放回．小亮再从剩余的3张中随机抽出一张也记下牌面上的数字．若抽出的两张牌的牌面数字之和是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜．
（1）小明抽到的牌面数字是__________数的可能性大；（选填“奇”或“偶”）
（2）这个游戏规则对双方是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．
21. 根据以下材料，完成探究任务．
利用数学知识测量某古城墙的高度
测量过程及示意图 周末，某数学兴趣小组进行实践活动，如图，在点F处利用测倾器测得该古城墙的上顶端A处的仰角的度数，再向古城墙方向移动至点E处放置一面平面镜（大小忽略不计），沿方向移动至点D处恰好从平面镜中看到古城墙顶端A的像． 说明：，点B、E、D、F在同一直线上，所有的点均在同一平面内．
测量数据
参考数据 ．
解决问题 请利用以上所得数据，求出该古城墙的高度．
22. 近日，“黄沙”再次肆虐我国多地，引起公众对沙尘天气的关注植树造林是应对沙尘暴的重要措施．某校计划组织学生进行植树活动，现要去育苗基地购买树苗，由于数量较多，需要基地把树苗运送到植树目的地，育苗基地给出了两种方案：
方案一：基地把树苗运送到植树目的地，按6元/棵的价格支付购买树苗的费用，学校无需支付运费；
方案二：基地把树苗运送到植树目的地，按3.5元/棵的价格支付购买树苗的费用，另外学校需一次性支付运费800元．
（1）若学校购买这种树苗x棵，请分别写出按方案一购买树苗所需的总费用（元）和按方案二购买树苗所需的总费用（元）（含运费）与x（棵）之间的函数关系式；
（2）假设你是学校的决策者，你认为应该选择哪种方案更加合算？并说明理由．
23. 睡眠是人体的一种主动过程，可以恢复精神和解除疲劳，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准．某校为了让全校学生认识睡眠的重要性，开展了“健康睡眠，你我同行”活动，随机调查了该校60名学生每天的睡眠时间（单位：），将收集的数据分成五组进行整理，并绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图．
所抽取学生睡眠时间频数分布表
组别 睡眠时间 人数/名 组内睡眠总时间
5 28
10 66
150
15 126
10 92
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，所抽取学生每天的睡眠时间的中位数落在________组；
（2）求所抽取学生每天的睡眠时间的平均数；
（3）由于初中生的身体处于生长阶段，需保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时），若该校共有1500名学生，请你估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数．
24. 如图，内接于，连接并延长交于点D，过点C作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25. 如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标．
26. 【问题提出】
（1）如图1，在中，，点D是边上一点，且，连接，若，则的长为__________；
【问题探究】
（2）如图2，点E是菱形内一动点，，连接，若，求线段的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某游乐园有一块矩形空地，现要将其进行规划，沿对角线修建一条长廊，将区域修建成水上乐园，在区域内修建公共卫生间E和凉亭F（大小均忽略不计），再分别沿铺设三条小路，并沿铺设地下水管，为节省铺设地下水管的成本，要求水管的长度尽可能的小．已知，求水管长度的最小值．

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