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2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛（广东赛区初赛）
暨广东省中学生数学奥林匹克竞赛
一试试题
一、填空题：本题组共10小题，每题8分，满分80分，
1.己知e"-Inx+elny=lny,则x+y=
2.随机选择正八面体的三个面，这三个面的中心构成的三角形是正三角形的概率为
3.己知三角形ABC的外心O满足2OA+3OB+4OC=0,则sinA=_
4.己知三次多项式)满足m侧=，m=山，23,4)，则f5)=
5.设ABCD是一个正方形，点E在正方形内，满足AE⊥DE,且∠EBC=∠EAB+45°.
若AE=1,则BE的长度为
6.已知正实数a,b满足对任意的实数x均有acos2x-bcosx≥-2，则2a+b的最大值为
7.定义在R上的函数f(x),g(x)满足：
/四g0)+g6f0四，g+)=广f0四+g)80):
8为强数，且>0恒院立，已知 +g2-治，则/图-8=
8.平面上有三个同心圆T,Γ2，「3，半径分别为1,2,3.任取三个点A,A,A,满足点4
在圆『，上(=1,2,3)，则44，+A4+44的最大值为
9已知双曲线G:号-片-a>06>0,斜率为-的直线1与G的左右两支分别交于
A,B两点，点2(-1,2)不在1上，直线Ag、BQ分别交G于另一点C、D.若CD∥1，则
G的离心率为
10.从集合S={1,2,3,,30}中选出个位数字互不相同的10个数x,x2,,x0,其中任意
两个数相差不为3或27.这样的10元子集T={伍，5，xo}共有一
种不同的取法.
二、解答题：本题组共2小题，每题20分，共40分，解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤
11.已知数列满足：a=l,a2=1,a+2=an1+a.(n≥).定义：
bn =ant2an -anm Cn=an+(-1)"
(1)求bs的值.
(2)是否存在实数，使得乃1K-3 Ck
范围；若不存在，请说明理由.
12.已知双曲线C:女
=1,其左、右焦点分别为F、F,过F的直线1与双曲线
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右支交于A、B两点，P、Q分别为△AFF,和△BFF的内心，设直线AP、BQ分别与x
轴交于D、E.
(1)求四边形PFOF面积S的取值范围：
(2)求DE的取值范围.
2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛（广东赛区初赛）
暨广东省中学生数学奥林匹克竞赛
加试试题
三、加试题：本题组共2题，每题40分，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
13.如图，△ABC与△DBA是等腰三角形，其中AB=AC,DA=DB,AD∥BC,E
在CA延长线上，满足∠DEB=∠DAE.在AD延长线上取一点F,使得AF=BE,求证：
EFBC四点共圆.
E
C
14.己知非负实数x,X2,,水满足++…+x=4,求下列表达式的最大值：
s=212x
x+1台

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