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【学考模拟】浙江省第二学期高二学考模拟考（三）
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则a的取值集合为( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边经过点，则的值为( )
A. B. 1 C. 2 D. 3
5.一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是( )
A. “恰有2件次品”和“恰有1件次品” B. “恰有1件次品”和“至少1件次品”
C. “至多1件次品”和“恰有1件次品” D. “恰有1件正品”和“恰有1件次品”
6.一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离为3，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知，，若，则( )
A. B. C. D. 3
8.已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是( )
A. 有最大值，无最小值 B. 有最大值，最小值
C. 有最大值，无最小值 D. 无最大值，最小值
9.已知定义在R上的偶函数在上单调递减，则对于实数a，b，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知时，不等式恒成立，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，已知，则( )
A. B. C. D.
12.如图，二面角的平面角的大小为，A，B为半平面内的两个点，C为半平面内一点，且，若直线BC与平面所成角为，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
13.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
14.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面．且，，则
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
15.下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若a，，则
16.四面体ABCD中，，，则有( )
A. 存在m，使得直线CD与平面ABC所成角为
B. 存在m，使得二面角的平面角大小为
C. 若，则四面体ABCD的内切球的体积是
D. 若，则四面体ABCD的外接球的表面积是
三、填空题：本题共4小题，共15分。
17.已知函数，那么__________，若存在实数a，使得，则a的个数是__________.
18.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为设酒杯上部分圆柱的体积为，下部分半球的体积为，则的值是__________.
19.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，，若有两解，则的取值范围是__________.
20.设G为的重心，若，则__________.
四、解答题：本题共3小题，共33分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题11分
第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.
求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，中位数；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到
乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.
22.本小题11分
已知向量，，，函数
若，求在上的单调递减区间;
若关于x的方程在上有3个解，求的取值范围.
23.本小题11分
已知定义在R上的函数，其中 a为实数.
Ⅰ当时，解不等式
Ⅱ若函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围;
Ⅲ对于，若存在实数，，满足，求的取值范围结果用a表示
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】A
12.【答案】A
13.【答案】BC
14.【答案】AC
15.【答案】AC
16.【答案】BCD
17.【答案】1 5
18.【答案】2
19.【答案】
20.【答案】
21.【答案】解：由频率分布直方图可知，
解得，
，
众数为70，
因为前2组的频率和为，
前3组的频率和为，
所以中位数在第3组，设中位数为m，
则，解得，
所以中位数为
记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，
则所有抽签的情况有：
未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；
未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；
未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；
未中签ab，中签ABC，共有10种情况，
其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；
未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；
未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7种，
所以中签者中男生比女生多的概率为
22.【答案】解依题意，
，
当时，
令，
得，
当时，，
故在上的单调递减区间为
解：依题意，，
则或，
则或
则，0，，，，，
则，解得，
即的取值范围为
23.【答案】解：Ⅰ时，，
则有或，解得
Ⅱ显然是函数的一个零点，
于是问题转化为在上恰有一个零点，
于是，显然，否则零数有无数个零点，
则有，解得
Ⅲ由，
知在上递增，在上递减，如图，
①当即时，，是方程的两根，且
则，
所以，
又，由可知，
所以
②当，即时，是的根且
是的根，即
所以
又，所以
综上：

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