资源简介

湘教版八年级下 第1章 直角三角形 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，，4
2．如图，点A在点O的北偏西30°的方向5km处，AB⊥OA．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，点B在点O的（　　）
A．北偏东30°方向10km处 B．北偏东60°方向10km处
C．北偏东30°方向处 D．北偏东60°方向处
3．如图，以点O为圆心的三个同心圆把以OA为半径的大圆的面积四等分，已知OA=2，以另外三个圆的半径OB，OC，OD为边的三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，数轴上点A表示的数是-2，点B表示的数是0，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD中，AD=CD=3，AB=5，BC=6，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AD=6，AC=10，则DE的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，任意画一个∠BAC=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条边的角平分线BE和CD，BE、CD相交于点P，连接AP，下列结论中错误的有（　　）
A．∠BPC=120° B．AP平分∠BAC
C．AD=AE D．S△PBA：S△PCA=AB：AC
8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，线段DE长是5，且两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，点M、N分别是DE、AB的中点，求MN的最小值（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
9．如图所示，在Rt△ACD和Rt△BCE中，∠C=90°，点E在AC上，点D在BC上，AD与BE交于点O，AD=BE，DC=EC，则可判定Rt△ACD≌Rt△BCE的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．HL D．SSS
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠C=90°，AC⊥x轴，点C的坐标为（3，6），作△ABC关于直线AB的对称图形，其中点C的对称点为M，且AM交y轴于点N，则点N的坐标为（　　）
A． B． C．（0，2） D．（0，3）
11．如图四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36．小正方形的面积是4．若用x,y表示直角三角形的两条直角边（x＞y），则下列式子错误的是（　　）
A．x-y=2 B．x2+y2=36 C．x+y=8 D．xy=16
12．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P．如图所示，若S△CFP-S△AEP=3.5，AE+EB=7，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．28 B．25 C．30 D．24
二．填空题（共5小题）
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，CD是斜边AB上的中线，若∠A=40°，则∠BCD的度数为 ______．
14．如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．小明想知道A，B两地间的距离，测得AC=50m,∠A=45°，∠B=30°，两地AB间距离为______．
15．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，CD=2，则AB的长度是______．
16．如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作AB⊥数轴，AB=1个单位长度，以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 ______．
17．（2025 梁溪区二模）如图，∠ABC=90°，，过点C作CM⊥AC，延长CA到N，使，连接BN、MN．若，则AN= ______．
三．解答题（共5小题）
18．（2025春 双流区校级期中）在△ABC中∠C=90°，∠A=30°，点D为AC上一点，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，若E为AB中点时，求证：AD=2CD；
（2）如图2，若CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．
19．吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线AB上两点A，B的距离分别为120m和160m,AB=200m,吊车周围120m以内为受噪声影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（3）若吊车的行驶速度为每分钟60m,则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？
20．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E．
（1）试说明∠A=∠BCD；
（2）若∠A=30°，试着求出∠CEF的度数；
（3）猜想∠CEF与∠CFE的数量关系：∠CEF ______∠CFE（填“＞”、“＜”或“=”）．
21．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G．
（1）求证：CE=FG．
（2）若AC=12，AB=15，CE=4，求△ABC的面积．
22．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点P为射线BC上一动点（点P不与点B重合），连接AP，以AP为直角边在AP的右侧作等腰直角△APQ，∠PAQ=90°．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，过点Q作QH⊥AC于H，求QH的长度；
（2）连接BQ，交直线AC于点M，
①如图2，当点P运动到BC的延长线上时，求证：BM=QM；
②点P在运动过程中，若S△ABP=3S△AMQ，请直接写出BP的长．
湘教版八年级下 第1章 直角三角形 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、A 3、C 4、C 5、C 6、B 7、C 8、B 9、C 10、A 11、C 12、A
二．填空题（共5小题）
13、50°； 14、； 15、4； 16、； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：连接BD，
∵DE⊥AB，E为AB中点，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD，
∴AD=2CD；
（2）解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE⊥AB．
∴AD=2DE=2，AB=2BC．
∴AC=AD+CD=4．
∵AB2=BC2+AC2，
∴（2BC）2=BC2+42．
∴BC=，
∴Rt△ABC的面积=AC BC=×4×=．
19、解：（1）∵点C与直线AB上两点A，B的距离分别为120m和160m,AB=200m,
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；
（2）学校C会受噪声影响．理由如下：
过点C作CD⊥AB于点D．
∵，
∴；
∵吊车周围120m以内为受噪声影响区域，且96＜120，
∴学校C会受噪声影响；
（3）在AB上取一点E，使CE=120m,连接CE，
∴CE=AC=120m,
∴当吊车在线段AE上时产生的噪声会影响学校．
∵CD⊥AB，
∴ED=AD，
在Rt△CDA中，，
∴AE=2AD=144m,144÷60=2.4（分钟）．
答：吊车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟．
20、（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCD；
（2）解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
则∠ABC=90°-30°=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°，
∴∠CEF=∠A+∠ABE=60°；
（3）解：由三角形的外角性质可知：∠CEF=∠A+∠ABE，∠CFE=∠BCD+∠CBE，
∵∠A=∠BCD，∠ABE=∠CBE，
∴∠CEF=∠CFE，
故答案为：=．
21、（1）证明：∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，FG⊥AB，
∴FC=FG，∠CAF=∠DAE=∠BAC，
∠CAF+∠CFA=90°，∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠AFC，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠CEF=∠AFC，
∴CE=CF，
∴CE=FG．
（2）解：∵CE=4，
∴FG=CF=CE=4，
∵AC=12，AB=15，
∴，
所以△ABC的面积为54．
22、（1）解：∵△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，
∴AQ=AP，∠PAC+∠CAQ=90°，
∵QH⊥AC，∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠AHQ=∠C=90°，∠AQH+∠CAQ=90°，
∴∠AQH=∠PAC，
在△AQH和△PAC中，
，
∴△AQH≌△PAC（AAS），
∴QH=AC=3；
（2）①证明：过点Q作QH⊥CD，交CA的延长线于点H，如图2所示：
∴∠H=∠ACP=∠ACB=90°，
∴∠AQH+∠QAH=90°，
∵∠PAQ=90°，
∴∠PAC+∠QAH=90°，
∴∠AQH=∠PAC，
在△AQH和△PAC中，
，
∴△AQH≌△PAC（AAS），
∴QH=AC=3，
∵AC=BC=3，
∴BC=QH，
在△BCM和△QHM中，
，
∴△BCM≌△QHM（AAS），
∴BM=QM；
②解：∵点P为射线BC上一动点（点P不与点B重合），设CP=x,x＞0，
∴有以下三种情况：
（ⅰ）当点P在线段BC上时，过点Q作QH⊥AC于点Q，如图2①所示：
∴BP=BC-PC=3-x,
由（1）可知：△AQH≌△PAC，
∴QH=AC=3，AH=PC=x,
∴CH=AC-AH=3-x,
同②可证明：△BCM≌△QHM，
∴MH=MC=CH=，
∴AM=AH+MH==，
∵S△ABP=BP AC=BP，S△AMQ=AM QH=AM，
又∵S△ABP=3S△AMQ，
∴BP=3×AM
∴BP=3AM，
∴，
解得：＜0，不合题意，
即当点P在线段BC上时，不存在S△ABP=3S△AMQ；
（ⅱ）当点P在BC的延长线上，且点M在线段AC上时，过点Q作QH⊥CD，交CA的延长线于点H，如图2②所示：
∴BP=BC+CP=3+x,
同①可证明：△AQH≌△PAC，△BCM≌△QHM，BP=3AM，
∴QH=AC=BC=3，AH=CP=x,MC=MH，
∴HC=AC+AH=3+x,
∴MC=MH=HC=，
∴AM=MH-AH==，
∴，
解得：，
∴BP=3+x=；
（ⅲ）当点P在BC的延长线上，且点M在CA的延长线上时，过点Q作QH⊥CD，交CA的延长线于点H，如图2③所示：
∴BP=BC+CP=3+x,
同①可证明：△AQH≌△PAC，△BCM≌△QHM，BP=3AM，
∴QH=AC=3，AH=CP=x,MC=MH，
∴HC=AC+AH=3+x,
∴MC=MH=HC=，
∴AM=HA-MH==，
∴，
解得：x=15，
∴BP=3+x=18，
综上所述：BP的长为或18．

展开更多......

收起↑