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北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．把5x=3y写成比例式，下列不成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC，点D、E分别在边AB、BC上，下列选项中不能判定DE∥AC的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，DE⊥AC交AC于点F，交BC于点E，则线段DF的长是（　　）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
4．如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′=3：1，△A′B′C′的面积为18，则△ABC面积为（　　）
A．54 B．24 C．32 D．
5．如图，两条直线被三条平行线所截，已知AD∥BE∥CF，若AB：BC=2：3，DE=4，则EF的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
6．如图，在△ABC中，中线CD、BE交于点F，连接DE，则下列结论错误的是（　　）
A．DE∥BC
B．BC=2DE
C．△ADE∽△ABC
D．△ADE的面积与四边形BCED的面积比为1：4
7．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=2：3，则S△DOE：S△AOC（　　）
A．4：9 B．9：4 C．4：25 D．25：4
8．（2025 朔州一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是对角线AC上一点，过点P作BC的平行线分别交AB，CD于点M和点N，连接DP，BP．若，△PMB的面积为2，则△PAD的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．5
9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．已知，DE=4，则CD的长为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．10
10．如图，正方形ABCD的边长是6，E在对角线AC上，且，过E作EF⊥AB于F，连接DE并延长交BC于M，交AB的延长线于G．则MG=（　　）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD和OEFG是正方形，点O是正方形ABCD对角线AC和BD的交点，点E和点G分别在边AB和BC上，直线FG交直线OB于点P，交直线AB于点M，下列说法错误的是（　　）
A．△AOE≌△BOG
B．△AOE∽△GEM
C．若∠BEG=20°，则∠BPG=120°
D．若四边形ABCD的边长为2，则EG长度的最小值为
12．如图，点C在线段AB上，AC=2CB，分别以AC，CB为边向上作正方形ACDE和正方形CBFG．取AC中点M，以ME，MF为邻边作 EMFN，点N恰好在CD的延长线上．连结MD，延长FD交EN于点P，则=（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．若x：y=2：3，则=______．
14．如图，已知在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，DM，DB分别交AC于P，Q两点，则AP：PQ：QC=______．
15．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥HG∥BC，AH⊥HG，BO⊥HG，CG⊥HG．若焦点F1到物体的距离F1H与焦点F1到凸透镜中心线的距离F1O之比为3：1，则物体被缩小到原来的 ______．
16．如图，在△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，点E为BD的中点，连接CE，若，∠CED=∠CBA，则的值为 ______．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知：如图，在△ABC中，点M、M分别在边AC、BC上，点P是AN上一点，且∠ABM=∠APM=∠C．
（1）求证：AM AC=AP AN；
（2）求证：∠ABP=∠ANB．
19．如图，△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD、CE，∠EAC=∠DAB．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△BAD∽△CAE；
（3）已知BC=4，AC=3，AE=．将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，求BD的长．
20．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，AD、BE是△ABC的两条高，BE与AD交于点Q．
（1）求证：△BDQ∽△ADB；
（2）如果，求∠C的正切值；
（3）如果∠BAC=60°，BE=6，求△ABC外接圆的面积．
21．如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=5，AC=12，点D在AC上．连结BD，过点A作AF⊥BD交BD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AED∽△BAD．
（2）过点F作FG⊥AC交AC于点G，若，求AG的长．
22．如图，矩形ABCD中P为对角线BD上一动点，过P点作PE∥CD交AC于点E，作PF∥AC交AD于点F，连接DE、BE．
（1）若FP=EP，
①求证：DE平分∠BDC；
②求证：；
（2）已知DO=DE=4，且P为DO的中点，求矩形ABCD的周长．
北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、B 3、A 4、C 5、C 6、D 7、C 8、B 9、D 10、D 11、C 12、C
二．填空题（共5小题）
13、； 14、2：1：3； 15、； 16、； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、证明：（1）∵∠PAM=∠CAN，∠APM=∠C，
∴△APM∽△ACN，
∴AP：AC=AM：AN，
∴AM AC=AP AN；
（2）∵∠ABM=∠C，∠BAM=∠CAB，
∴△ABM∽△ACB，
∴AB：AC=AM：AB，
∴AB2=AM AC，
∵AM AC=AP AN，
∴AB2=AP AN，
∴AB：AP=AN：AB，
∵∠BAP=∠NAB，
∴△BAP∽△NAB，
∴∠ABP=∠ANB．
19、证明：（1）∵∠EAC=∠DAB，
∴∠CAB=∠EAD，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴△ABC∽△ADE；
（2）由（1）知△ABC∽△ADE，
∴，
∵∠EAC=∠BAD，
∴△BAD∽△CAE；
（3）∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，
∴AB===5，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴AD==，
如图，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，∠AEC=∠ADB=90°，
∴BD=．
20、（1）证明：∵AB=AC，DA⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，∠C=∠C，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADB=∠QDB，
∴△BDQ∽△ADB；
（2）解：设DQ=x,则AQ=3x,AD=4x,
由（1）知，△BDQ∽△ADB，
∴，
∴DB2=DQ DA，
∴BD=2x,
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=2x,
在Rt△ACD中，tanC==2；
（3）如图，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵AD，BE是等边△ABC的高，
∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，
∴点Q是等边△ABC的外接圆的圆心，
∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠AEB=90°，∠ABE=∠ABC=30°，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠ABE，
∴AQ=BQ，
在Rt△ABE中，BE=6，
∴AE=BE tan∠BAE=6×tan30°=2，
在Rt△AEQ中，AQ===4，
∴S△ABC的外接圆=π AQ2=π×42=16π，
即△ABC外接圆的面积为16π．
21、（1）证明：∵AF⊥BD，
∴∠AED=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAD，
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△AED∽△BAD；
（2）解：∠FGC=∠BAC=∠AED=90°，
∵∠EAD=∠GAF，
∴△AGF∽△AED，
∴，
∵△AED∽△BAD，
∴，
∴，
∵∠C=∠C，∠FGC=∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
∴，
设FG=5x,则GC=12x,AG=10x,
∴AC=AG+GC=22x=12，
∴，
∴．
22、（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵PF∥AC，
∴∠PFD=∠OAD，∠PFD=∠PDF，
故PF=PD，
∵FP=EP，
故PD=PE，
故∠PDE=∠PED，
∵PE∥CD，
∴∠PED=∠CDE，
∴∠ODE=∠CDE，
∴DE平分∠BDC；
②证明：∵PE∥CD，
∴△OPE∽△ODC，
∴，
∵AB=CD，OP=OD-PD=OA-PF，PE=OF，
∴，
整理可得：；
（2）如图a所示，作DG⊥AC于点G，
∵DO=DE=4，且P为DO中点，
故PO=PD=2，OC=OD=4，
∵△OPE∽△ODC，
∴，即，OE=2，
故EC=OC-OE=2，
∵DG⊥AC，
∴OG=EG==1，
∴DG==，GC=GE+EC=1+2=3，
∴CD=，
AD=，
故矩形ABCD的周长=2（AD+CD）=2（）=．

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