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北师大版九年级上 第1章 特殊的平行四边形 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2，则矩形的对角线AC的长为（　　）
A． B． C．4 D．2
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A（0，2），B（-4，0），则菱形ABCD的周长为（　　）
A．8 B．16 C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，点M，N分别是AF，DE的中点，连接MN，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（　　）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠ABC=∠BCD
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD、AB上一点，且DE=AF，连接BE，CF，BG平分∠CBE交CD于点G，且点G为CD中点．若∠BFC=α，则∠DGE的度数为（　　）
A． B．α C．90°-α D．
6．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点EF分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　）
A．7 B．3+ C．8 D．3+
7．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC=69°，则∠CAE的大小为（　　）
A．10° B．12° C．14° D．15°
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，-2），D（b,-1），则正方形ABCD的面积是（　　）
A．4 B．9 C．13 D．5
9．如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．已知AD=3，AB=4，则OE的长为（　　）
A．0.7 B．1.5 C．2 D．2.5
10．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE=38°，则∠BFC的度数为（　　）
A．71° B．72° C．81° D．82°
11．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN=4，AN=3时，正方形ABCD的边长为（　　）
A． B．5 C．5 D．
12．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD=2，∠COB=60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，连接DE．则下列结论：
①OE=FC；
②四边形EBFD是菱形；
③△DOF≌△CBF；
④MB=3．
其中结论正确的序号是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①④ D．②③④
二．填空题（共5小题）
13．如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC，BD相交于点O，若点E是CD的中点，则OE的长是 ______．
14．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA=30°，则∠BOE的度数为 ______．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，若∠ACB=15°，则∠AOE的大小为______．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为边BC上一点，BE=3．在AE的右侧，以AE为边作正方形AEFG，点G落在CD的延长线上，H为BG的中点，则AH的长等于 ______．
17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，OE，若AB=5，，则AE的长为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求：
（1）∠BAD，∠ABC的度数；
（2）AB，AC的长及菱形ABCD的面积．

19．如图，在 ABCD中，对角线BD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形．
（2）若AB=8，∠ADC=120°，∠ABD=30°，求四边形BEDF的面积．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD=6，EC=4，∠BAE=30°，求OF的长．
21．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE并延长至点F，使得EF=OE，连接CF，DF，点G在线段OC上，连接EG，∠OFC=∠GOE+∠GEC．
（1）求证：四边形OCFD是矩形；
（2）若AC=16，CD=10，求点G到OF的距离．
22．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”______（填成立或不成立）．
北师大版九年级上 第1章 特殊的平行四边形 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、D 3、D 4、C 5、A 6、D 7、B 8、D 9、A 10、A 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、5； 14、75°； 15、60°； 16、； 17、4；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC，∠BCD=2∠ACD，∠ABC=∠ADC，
∵∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠BAD=∠BCD=60°；
（2）∵四边形ABCD是菱形，△BCD为等边三角形，BD=6，
∴BC=DC=AB=6，AC⊥BD，
∵∠ACD=30°，
∴OD=DC=3，OC=CD=3，
∴AC=2CO=6，
∴菱形ABCD的面积=AC BD=18．
19、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠EDO=∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BO=DO，∠EOD=∠FOB=90°，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDB=∠ABD=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ADB=∠ADC-∠CDB=90°，
∵AB=8，∠ABD=30°，
∴BD=AB=4，
∴OD=2，
∵∠EOD=90°，∠EDO=30°，
∴OE=OD=2，
∴EF=4，
∴菱形BFDE的面积=EF BD=×4×4=8．
20、（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=6，
∵EC=4，
∴BE=CF=2，
∴BF=8，
Rt△ABE中，
∵∠BAE=30°
∴AB=2BE=4，
∴DF=AE=，
∴BD==2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF=BD=．
21、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵点E是CD中点，
∴CE=DE．
由条件可知四边形OCFD是平行四边形．
又∵∠COD=90°．
∴四边形OCFD是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
在Rt△COD中，．
由条件可知四边形OCFD是矩形，
∴∠OCF=90°，CF=OD=6，OF=CD=10，
∴，
∴∠GOE=∠GCE，
∴∠OGE=∠GCE+∠GEC，
∴∠OGE=∠GOE+∠GEC．
∵∠OFC=∠GOE+∠GEC，
∴∠OGE=∠OFC．
又∵∠GOE=∠FOC，
∴△GEO∽△FCO，
∴，即，
解得：，
∴点G到OF的距离为．
22、（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OB=OA，AC⊥BD，
∴∠BOE=∠AOF=90°，
∴∠OAF+∠OFA=90°，
∵AM⊥BE，
∴∠OBE+∠BEM=90°，
又∵∠OFA=∠BEM，
∴∠OBE=∠OAF，
在△OBE和△OAF中，
，
∴△OBE≌△OAF（ASA），
∴OE=OF；
（2）解：成立，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OB=OA，AC⊥BD，∠ABC=90°
∴∠BOE=∠AOF=90°，∠BAO=∠CBO=45°，∠ABM+∠EBC=90°，
∵AM⊥BE，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠EBC=∠BAM，
又∵∠EBO=∠EBC+∠CBO=∠EBC+45°，∠FAO=∠BAM+∠BAO=∠BAM+45°，
∴∠EBO=∠FAO，
在△EBO和△FAO中，
，
∴△EBO≌△FAO（ASA），
∴OE=OF．
故答案为：成立．

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