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北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．某超市1月份的营业额为200万元，第一季度的营业额为y万元，如果平均每月增长率为x,那么y与x的函数关系式是（　　）
A．y=200（1+x）2 B．y=200+200×2x
C．y=200+200×3x D．y=200[1+（1+x）+（1+x）2]
2．抛物线y=-（x-2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（-2，3） B．（2，3） C．（2，-3） D．（-2，-3）
3．把抛物线y=2x2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（　　）
A．y=2（x+2）2+3 B．y=2（x+4）2+2
C．y=2（x-4）2+1 D．y=2（x+4）2+1
4．若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y=x2图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
5．＜已知二次函数y=ax2+3ax+4（a≠0）的部分图象如图，该抛物线的图象过点A（-4，0），B（1，0），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+3ax+4=0的两个根分别是x1=-4和x2=（　　）
A．1 B．-1 C．4 D．3
6．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-9=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的正实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
7．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s=at2+15t,汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　）
A． B． C．-6 D．6
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，0＜x1＜1，下列结论正确的是（　　）
A．abc＞0
B．x1+x2=-1
C．4a-2b+c＞0
D．am2+bm≥a-b（m为任意实数）
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过 （-1，m），（3，m）两点，则下列说法错误的是（　　）
A．该函数图象的对称轴为直线x=1
B．若（x0，y0）为该函数图象上的点，当x0＜-1时，y0＜m一定成立
C．函数y=ax2+bx+c在x=1处取得最值
D．无论m取何值，均满足3a+c=m
10．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m.设矩形菜园的边AB的长为x m,面积为S m2，其中AD≥AB．某学习小组给出下列结论：①x的取值范围为6≤x≤10；②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2；③矩形菜园ABCD的面积的最大值为.其中，结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点位于（-2，0），（-3，0）两点之间．下列结论：①2a+b＜0；②bc＜0；③；④若x1，x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，则-3＜x1 x2＜0．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　）
A．（2，1） B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．若二次函数y=（m+1）x2+2x+m2-2m-3图象经过原点，则m的值为 ______．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，m），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-4=0无实数根，则m的取值范围是 ______．
15．将二次函数y=x2-1的图象向上平移______个单位，可以得到二次函数y=x2+2的图象．
16．在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），点B（1，1）都在直线y=+上，若抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ______．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点（-1，-1），（0，1），当x=-2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：①abc＞0；②b2-4ac＜2a；③关于x的方程ax2+bx+c-3=0有两个不等的实数根；④a+b+c＞7．其中正确的是 ______（填写序号）．
三．解答题（共5小题）
18．（2025 兰陵县一模）已知二次函数y=ax2-（a-2）x+2（a≠0）．
（1）若函数图象经过点（3，2），求抛物线的对称轴．
（2）若a＞0，当x≥-1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若，两点都在二次函数的图象上，试比较b与c的大小，并说明理由．
19．在平面直角坐标系中，定义两个函数y1=（x-a）（x-b），．
（1）如果函数y1的图象经过点（0，3），函数y2的图象经过点（1，5），求a2+b2的值；
（2）如果1＜a＜b＜4，判断函数y2的图象与x轴的交点情况；
（3）若点P（-1，c）在y1上，点Q（a,c）在y2上，求ab的最小值．
20．如图1，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼2米的A位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿B处达到最高点后进入失火房间．已知消防人员所在的消防车上A点距离地面2米，窗上沿B距离地面14米．
（1）如图2，以消防员脚下地面O为原点，建立平面直角坐标系，使水流线正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式；
（2）实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿B水平距离0.6米处，且比窗上沿B低2米的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？（不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据：≈2.45，结果精确到0.1米）
21．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若B（1，0），C（0，-2），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线AC下方的抛物线上，过P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，连接AP、CP，DC，请直接写出当S△APC=2S△ADC时点P的坐标．
22．（2025 井研县模拟）如图，抛物线过点（4，0），顶点为Q，抛物线（其中t为常数，且t＞2），顶点为P．
（1）求出a的值和点Q的坐标；
（2）佳佳说：无论t取何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上；
琪琪说：无论t为何值，C2总经过一个定点；
请选择一人的说法进行说理；
（3）当t=4时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的坐标．
北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、B 3、D 4、A 5、A 6、D 7、C 8、D 9、B 10、B 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、3； 14、m＜4； 15、3； 16、1≤a＜或a≤-2； 17、①③④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）由条件可得9a-3（a-2）+2=2，
解得a=-1，
∴抛物线的表达式为y=-x2+3x+2，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）由条件可得抛物线在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴；
（3）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，，
∴点A，点B在对称轴的右侧，
①当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴b＜c.
②当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵，
∴b＞c.
综上，当a＞0时，b＜c；当a＜0时，b＞c.
19、解：（1）把（0，3），（1，5）分别代入中，
得ab=3，a+b=4，∴a2+b2=（a+b）2-2ab=10，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=42-2×3=10；
（2）由题意得Δ=a2-4b,
∵1＜a＜b＜4，
∴a2＜b2＜42，b2＜4b,
∴a2＜4b,
即Δ=a2-4b＜0，
∴y2的图象与x轴没有交点；
（3）把P（-1，c），Q（a,c）分别代入中，得：
由题意得（-1-a）（-1-b）=c,a2+a2+b=c,
（-1-a）（-1-b）=c,a2+a2+b=c,
∴ab+a+b+1=2a2+b,
即ab=2a2-a-1，
设y=2a2-a-1，
图象开口向上，
∴在对称轴处取得最小值，
把代入y=2a2-a-1中得，
，
∴y=2a2-a-1的最小值为，
∵ab=2a2-a-1，
∴当时，ab的最小值为．
20、解：（1）由题意知A（0，2），B（2，14），
设水流抛物线的解析式为y=a（x-2）2+14，
代入A（0，2），得2=a（0-2）2+14，
解得a=-3，
∴水流抛物线的解析式是y=-3（x-2）2+14；
（2）由题意知，失火中心点坐标是（2.6，12），
方案一：水流抛物线的解析式是y=-3（x-2）2+14，
当x=2.6时，y=-3（2.6-2）2+14=12.92，
即抛物线向下平移12.92-12=0.92≈0.9（米），
抛物线正好经过失火中心；
方案二：水流抛物线的解析式是y=-3（x-2）2+14，
当y=12时，12=-3（x-2）2+14，
解得，（舍去），
，
即抛物线向左平移2.817-2.6=0.217≈0.2（米），
抛物线正好经过失火中心，
所以消防员把喷水头向下平移0.9米，或向左平移0.2米，可以使水流刚好落在失火中心．
21、解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（1，0），与y轴交于点C（0，-2），
∴，
解得，
∴；
（2）当时，
x=1或x=-4，
∴A（-4，0），
∴OA=4，
设D（x,0），
则，
∴，
∴AD=x+4，
由题意可得：S四边形APCD=3S△ADC，
∴S△APD+S△CPD=3S△ADC，
∴，
∴，
∴，
∴x=-2或x=-4（舍去），
∴，
∴P（-2，-3）．
22、（1）解：∵抛物线过点（4，0），顶点为Q，将点（4，0）代入得：
16a-8=0，
解得：，
∴抛物线，
∴点Q的坐标为（2，-2）；
（2）证明：选择佳佳：
将C1的顶点Q（2，-2）向左平移2个单位长度，得到的点坐标为（0，-2），
当x=0时，得：，
∴点（0，-2）在抛物线C2上，
∴佳佳的说法是正确的；
选择琪琪：
，
当x=0时，y=-2，
∴无论t为何值，C2总经过一个定点（0，-2），
∴琪琪的说法是正确的；
（3）解：①当t=4时，，
∴顶点P的坐标为（4，6），
设直线PQ的解析式为y=kx+b,将点P，点Q的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线PQ的解析式为y=4x-10；
②∵直线l∥PQ，直线l与C2的交点到x轴的距离恰为6，直线PQ的解析式为y=4x-10，
∴设直线l的解析式为y=4x+n,
∴l与C2的交点的纵坐标为|6|，
∵顶点P的坐标为（4，6），
∴l与C2的交点的纵坐标为-6，
令y=-6，得：，
解得：，
当直线l经过点时，，
解得：，
∴直线l解析式为，
令y=0，则，
解得：，
即l与x轴交点的坐标为；
当直线l经过点时，，
解得：，
∴直线l解析式为，
令y=0，则，
解得：，
即l与x轴交点的坐标为；
综上所述，l与x轴交点的坐标为或．

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