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江西省抚州市六校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列判断错误的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由 ，得 D．由，得
3．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（ ）
A．①是整式乘法 B．②是因式分解
C．①、②均是因式分解 D．①、②均不是因式分解
5．春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（ ）
A．15 B． C．20 D．
二、填空题
7．分解因式： ．
8．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ．
9．中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图1，用三角形房梁支撑房檩，做成三角形房脊，图2是房梁的平面图，是加固房梁的一根横撑，米，米，为的中点，于点，则的长度为 ．
10．如图，三角形是由三角形平移得到的，点D在边上，连接．若和中其中一个角是另一个角的3倍，，则的度数为 ．
11．如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是 ．
12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴正半轴于点A，下列结论：①且；②一次函数经过点；③方程（其中）的解为；④若时，，则．其中正确的有 （填写序号即可）．
三、解答题
13．解不等式组并写出它的正整数解．
14．将下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
15．如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图．
(1)如图1，作出关于点O对称的；
(2)如图2，旋转得到，标出旋转中心点P．
16．定义关于@的一种运算：，如．
(1)若，且x为正整数，求x的值．
(2)若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值．
17．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．
(1)求直线的表达式；
(2)将线段绕点逆时针旋转得线段，若直线过点且平行于直线，那么直线能否看作是由直线沿轴向右平移得到？若能，请求出平移距离；若不能，请说明理由．
18．如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足，，．
(1)若，求的度数；
(2)当伞完全撑开后，点在同一条直线上，已知，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？
19．如图，在长方形中，E是边上一点（不与点A，D重合），将长方形沿折叠后点A落在点F处，的平分线交直线于点M，交的延长线于点G，的平分线交直线于点N，交于点O．
(1)求的度数．
(2)是否存在是等腰三角形？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
20．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，
，
，即的最小值为．
【应用】请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________．
（2）代数式的最小值为___________．
【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？
21．在平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别为，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，点G在延长线上，连接，F是上一点，过点F作的垂线交y轴于点D，D点坐标，垂足为E，当时，求F点坐标．
22．定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为．
(1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ；
(2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
(3)已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值．
23．【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．

【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
《江西省抚州市六校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题》参考答案
1．D
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
2．C
解：A. 由，移项得：，即该选项正确，不符合题意；
B. 由，由不等式的性质可得，即该选项正确，不符合题意；
C. 由 ，当时，，即该选项错误，符合题意；
D. 由，得，即A该选项正确，不符合题意．
故选C．
3．C
解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，
∴关于的不等式的解集是．
在数轴上表示的解集，只有选项C符合，
故选：C．
4．D
解：观察可知式子和都不是因式分解，且式子也不是整式乘法，
故选D．
5．A
解：由已知，是等腰直角三角形，得点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，从而得坐标为．
6．B
解：作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F，
∴，，
∴，，
∴，两次传球中皮球飞过的最短路径长等于，
依题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
即两次传球中皮球飞过的最短路径为，
故选：B．
7．
解：；
故答案为：．
8．
解：由题意，得：，
∴，
∴不等式化为：，
∴，
∴；
故答案为：．
9．米
解：如图所示，连接，
∵米，为的中点，米，
∴，米；
在中，（米）；
∵，
∴，
∴（米），
故答案为：米．
10．或
解：如图所示，设与交于点，
∵三角形平移得到三角形，
∴，
∴，
∵是的外角，
，
当时，，
解得，；
当时，则，
∴，解得，；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
11．
解：如图，过点作于，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∵，
在和中,，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．①②③
解：∵一次函数的图象交y轴正半轴于点A，
∴，且，
解得：且；故①符合题意；
当时，，
∴一次函数经过点；故②符合题意；
∵，
∴，
∵，即，
解得：，
∵，
整理得：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴且，故④不符合题意；
故答案为：①②③
13．不等式组的解集为，正整数解为1，2，3，4
解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
故原不等式组的解集为.
故正整数解为1，2，3，4.
14．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
；
15．(1)答案见解析
(2)答案见解析
（1）解：如图，就是所求作的三角形；
（2）解：如图，点P就是所求作的点．
16．(1)
(2)
（1）解：由得：，
解得，
∵x为正整数，
∴；
（2）解不等式得：，
由得：，
解得：，
∵关于x的不等式的解和的解相同，
∴，
解得．
17．(1)
(2)直线能看作是由直线沿轴向右平移得到，平移距离为
（1）解：设直线l的解析式为，把点，代入得，
，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：如图所示，过点B作轴，过点A作，
∵直线交轴于点，交轴于点
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转得线段，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，，
∴
∵直线过点且平行于直线，
∴设直线表达式为
∴将代入得，
解得
∴直线表达式为
∴当时，
解得
∴
∴直线能看作是由直线沿轴向右平移得到，平移距离为．
18．(1)
(2)他们是会被垂直滴下的雨水淋到
（1）解：∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∵点在同一条直线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∵，
∴他们是会被垂直滴下的雨水淋到．
19．(1)
(2)存在，
（1）解：由折叠得，
平分，
∴，
∵，
同理，，
；
（2）解：存在．理由如下：
当时，，
所以在中，，
所以．
当时，，不合题意；
当时，，不合题意．
综上，当时，是等腰三角形．
20．（1）；（2）；（3）米
（1）∵，
故答案为：．
（2）解：
，
∵，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
（3）解：设长方形的边，则
∴
∵
∴当时，羊圈的面积取得最大值，
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（3）解：过点作y轴的垂线，垂足为，设与y轴交点为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为．
22．(1)
(2)2025
(3)2
（1）解：根据题意，方程的“变更方程”方程为，
∴联立方程组为，
解得，，
故答案为：；
（2）解：根据题意，的”变更方程”为，
∴联立方程组得，，
解得，，
∵，则，
∴，即，
∵是二元一次方程的一个解，
∴，则，
∴
；
（3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，则，
∵m是整数，
∴，
当时，，，符合题意，
∴．
23．（1）见解析；（2）①；②
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①∵是等边三角形，
∴，
过点D作，交于点G，
则，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

②连接并延长，交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．

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