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1.1 认识三角形
题型一：三角形的识别与相关概念
1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　）
A．B．C． D．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点D在△ABC中，写出图中所有三角形： ；
（2）如图，线段BC是 和 的边；
（3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ；
（4）如图，是 的外角．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ；
（2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ．
题型二：三角形的个数问题
1．（2025·陕西延安·三模）如图，在△ABC中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个．
3．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形．
4．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图在△ABC的边上取三个点，，，连接，，，则边上有 条线段，以 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．

5．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（ ）个三角形．
6．（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）．
题型三：对三角形进行分类
1．（24-25七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
3.（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（ ）
A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形
C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形
5．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知△ABC，则下列条件能判定△ABC是锐角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
题型四：判断是否能构成三角形
1．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1，3，5 C．15，7，7 D．6，8，10
2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ）
A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米
C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米
4．（24-25八年级上·山东滨州·期中）下列长度的四根木棒中，能与长、的两根木棒首尾相接，钉成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）已知a，b，c满足．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
题型五：确定第三边的取值范围
1．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知三条线段的长分别是3，6，，若它们能构成三角形，则奇数的最大值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 ．
3．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知△ABC的三边长为，，，且，，均为整数．
(1)若，，求边长的取值范围： ；
(2)在（1）的条件下，若为偶数，求△ABC的周长．
4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为．
(1)求的取值范围：
(2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长．
5．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在△ABC中，点为边上一点，交于点．
(1)若的长为奇数，求的长度；
(2)若，求的度数．
题型六：利用三角形的三边关系化简
1．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状．
2．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：．
3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为．
(1)化简：；
(2)若，第三边的长为奇数，判断△ABC的形状．
4．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为，，，且，，都是整数．
(1)若，，且为奇数，求△ABC的周长．
(2)化简：．
5．（24-25七年级下·重庆·期中）△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)化简；
(2)若为整数，c为整数，且满足，求△ABC的周长．
题型七：判断三角形的高是否正确
1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作△ABC的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在△ABC中，边的高说法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
5．（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（　　）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
6．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在△ABC中，于点于点，则△ABC的边上的高是（　　）

A． B． C． D．
题型八：三角形角平分线、高、中线中相关概念
1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
2．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60°
D．三角形的内角和与三角形形状无关
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条高所在的直线必交于一点；③三角形的三条中线必交于一点．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（24-25七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（ ）
A．都在这个三角形内
B．都在这个三角形外
C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外
D．可能和这个三角形的一边重合
5．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型九：根据三角形的中线求线段长度
1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是△ABC的中线，，，若的周长比的周长小4，则△ABC的周长为 ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是△ABC的边上的中线，若的周长比的周长大6，则与的差是 .
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中边上的中线把△ABC的周长分成30和20两部分，则的长为 ．
4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，．
(1)求证：；
(2)若是的平分线，，，求的度数；
(3)若△ABC的周长为，，当中线将△ABC分成周长差为的两部分，求的长．
5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，是中线，，．
(1)求与的周长差．
(2)点E在边上，连接，若△BDE与四边形的周长相等，求线段的长．
6．（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在△ABC中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，△ABC的面积为24．
(1)求的长．
(2)若，求与的周长差．
题型十：三角形中相关作图题
1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出△ABC中边上的高；
(2)画出△ABC中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
(4)，直接写出______．
2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)点到直线的距离是线段_______的长度；
(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）
3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题：
(1)画出△ABC的边上的高；
(2)画出△ABC的边上的中线；
(3)过点B作的平行线；
(4)线段，直接写出点C到直线的距离______．
4．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC，，根据下列要求画图并回答问题：
(1)画边上的高；
(2)点到直线的距离是线段______的长度；
(3)边上有一点，连接，如果，那么线段是△ABC的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出．
(4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______．
5．（23-24七年级下·广西河池·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC沿着点A到点D的方向平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
(1)画出△ABC中边上的高（提醒：别忘了标注字母）；
(2)请画出平移后的（提醒：别忘了标注字母）；
(3)求平移后的的面积．
6．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的；
(2)利用网格在图中画出△ABC的中线，高线；
(3)在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于A）．
题型一：因式分解与三角形三边关系的应用
1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）（1）阅读材料：若，求，的值．
解：∵，
∴，
∴．
则______，______．
（2）根据你的观察，探究下面的问题：已知△ABC的三边长，，都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
2．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知、、分别为的三边长，且满足，若是△ABC的最大边长，且为奇数，求△ABC的周长．
3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读材料：若，求与的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求与的值．
(2)已知△ABC的三边长，，都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
4．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若，求m和n的值
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
问题：
(1)若，求的值．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
5．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ．
请在他们解法的启发下解答下列各题．
(1)分解因式；
(2)若，，分别为△ABC三边的长．
①若满足若，请判断△ABC的形状，并说明理由．
②若满足，求的范围．
6．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形：
，
，
，
即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)下列多项式是“和美多项式”的是________；
（1）；（2）；（3）．
(2)试证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值；
(3)已知是△ABC的三边长（三边不相等），，且c是△ABC中最长边的长，则c的取值范围为____________．
题型二：三边关系中相关证明
1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知D、E是△ABC内的两点，问成立吗？请说明理由．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在△ABC中，是上一点，则成立吗？说明理由．
4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长．
5．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，已知△ABC中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：．
6．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，P为△ABC中任意一点．证明：．
题型三：根据三角形的中线求面积
1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在△ABC中，分别是的中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，点，，分别是线段，，的中点，若△ABC的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是△ABC的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点是边上一点，，连接，点是上一点，，连接，点是上一点，连接交于点，若，，则四边形的面积是 ．
6．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知△ABC的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为 ．
7．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，，，分别是△ABC的边，，的中点，连接，，交于点，△ABC的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ．
8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，在长方形中，点是的中点，，，则的面积是长方形面积的 ．
题型四：利用三角形的面积求高
1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知、分别为△ABC的边、的中点，连接，为的中线，连接，若，四边形的面积为，则△ABC的边上高长为（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，△ABC中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ．
4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．

5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值 ．
6．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，垂足分别为，，，则△ABC的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ．
题型五：三角形综合应用之多结论问题
1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在△ABC中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在△ABC中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ）
①的周长的周长；②；③；④；⑤
A．①③⑤ B．①②④ C．①③④⑤ D．②③④
4．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，在△ABC中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图在△ABC中，是△ABC的高．若为△ABC内角的平分线．当，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设△ABC的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·重庆·期中）在△ABC中，边上的中线把△ABC的周长分成24和12的两部分，则的长是（ ）
A．16 B．8 C．16或8 D．8或4
4．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，，且，，分别是△ABC的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知、、是的三边长，则( )
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ．
8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ．
9．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知，，为三角形的三边，化简的结果是
10．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是△ABC的角平分线，是△ABC的高，，，点为边上一点，当△BDF为直角三角形时，则的度为 ．
11．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，在△ABC中，既是△ABC的高，也是△ABC的中线，且，若点P在边上移动，则的最小值是 ．
12．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，，是边上的高，是边上的中线，平分，交于点，交于点，给出下面四个结论：
①的面积与的面积相等；
②；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
13．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）四边形是任意四边形，与交点O．

求证：．
证明：在中有
在中有________，
在中有________．
在________中有________，
∴
即：________，
即：
14．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在△ABC中，是△ABC的角平分线．
(1)若，的长为偶数，则符合条件的△ABC共有 个；
(2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，．
①求的度数；
②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数．
15．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在△ABC中，，，求△ABC的高与的比；
（3）如图3，在△ABC中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
1.1 认识三角形
题型一：三角形的识别与相关概念
1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答．
【详解】
解：图形中是三角形的是
故选：B．
2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，
故选：C．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点D在△ABC中，写出图中所有三角形： ；
（2）如图，线段BC是 和 的边；
（3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ；
（4）如图，是 的外角．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角与外角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
根据三角形的定义，三角形的边与内角和外角，进行作答即可
【详解】解：（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形：；
故答案为：；
（2）如图，线段BC是和的边；
故答案为：；；
（3）如图，的3个内角是，三条边是；
故答案为：；；
（4）如图，是的外角．
故答案为：．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ；
（2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ．
【答案】 4 B，G，E
【分析】该题主要考查了三角形的概念和三角形的角和边，解题的关键是掌握三角形中的相关定义．
（1）根据三角形的定义解答即可；
（2）根据三角形的顶点、边、角解答即可．
【详解】解：（1）根据图形可得，如图所示的图形中共有4个三角形，它们分别是；
（2）根据图形可得，的三个顶点分别是B，G，E，三条边分别是，三个角分别是．
故答案为：；B，G，E；；．
题型二：三角形的个数问题
1．（2025·陕西延安·三模）如图，在△ABC中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论．
【详解】解：∵，
∴△ABC是直角三角形，，
∵于点，
∴、是直角三角形，
∵，，
∴，
∴、是直角三角形，
综上，直角三角形有△ABC、、、、，一共5个，
故选：C．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个．
【答案】4
【分析】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答．
【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，
∴以点A为顶点的三角形有4个，
故答案为：4．
3．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形．
【答案】10
【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解．
【详解】解：图中有共10个三角形，
故答案为：．
4．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图在△ABC的边上取三个点，，，连接，，，则边上有 条线段，以 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．

【答案】
【分析】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段都与点A组成角，即以 为顶点的角有10个；以 为顶点的角即组成对应的三角形．
【详解】解：根据题意得，线段有共10条线段；
以 为顶点的角
三角形有
上述线段都与点A组成交，即以 为顶点的角有10个；
以 为顶点的角即组成对应的三角形．
故答案为：10，10，10．
5．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（ ）个三角形．
【答案】44
【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可．
【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个；
由二个小三角形组成的三角形数量为16个；
由四个小三角形组成的三角形数量为8个；
由八个小三角形组成的三角形数量为4个；
则共有个，
故答案为：44．
6．（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）．
【答案】 3 5 7 13 /
【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键．
（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可；
（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可．
【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，；
图③有5个三角形，；
图④有7个三角形，；
∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形．
故答案为：3，5，7，13，．
题型三：对三角形进行分类
1．（24-25七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为180度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案．
【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为，
∴这个三角形最大的内角度数为，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：A．
2.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求得、、的度数，由此可以推知△ABC是直角三角形．本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和等于是解答本题的关键．
【详解】解：∵在△ABC中，，，
则，，
解得，
∴△ABC是直角三角形．
∵，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：A．
3.（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形露出的部分为钝角，即可求解．
【详解】解：依题意，三角形露出的部分为钝角，
∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形
故选：A．
4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（ ）
A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形
C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的分类进行分析即可．
【详解】将三角形按边的相等关系，
可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，
将三角形按角的大小可以分为，
锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，
两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形，
故选：C．
5．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知△ABC，则下列条件能判定△ABC是锐角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．根据各角度数之间的关系，结合三角形内角和定理，求出△ABC的最大内角的度数，再将其与比较后，即可得出结论．
【详解】解：A．，
，
又，
，
△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
B．，
，，
又，
，
，
，
△ABC是锐角三角形，选项B符合题意；
C．，
，，
又，
，
，
，
△ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；
D．，，
，
，
△ABC是钝角三角形，选项D不符合题意．
故选：B．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【答案】钝角
【分析】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解答本题的关键．
根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部进行求解即可．
【详解】解：若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
题型四：判断是否能构成三角形
1．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1，3，5 C．15，7，7 D．6，8，10
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系 ；根据三角形的两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边判断即可．
【详解】解：A．，故1，2，3不能构成三角形，不符合题意；
B．，故1，3，5不能构成三角形，不符合题意；
C．，故15，7，7不能构成三角形，不符合题意；
D．，故6，8，10能构成三角形，符合题意；
故选：D．
2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一判断即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，知：
A、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，故选项此不符合题意；
C、，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ）
A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米
C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米
【答案】C
【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可．
【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意；
B．，能构成三角形，故此选项不合题意；
C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意；
D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
4．（24-25八年级上·山东滨州·期中）下列长度的四根木棒中，能与长、的两根木棒首尾相接，钉成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三边关系可得第三边，再进一步的判断即可.
【详解】解：∵三角形的两边分别为长5cm、11cm，
∴第三边，
∴第三边为符合题意；
故选：C
5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：∵米，米，
∴，
即，
∴，
∴、间的距离可能是米，
故选：．
6．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）已知a，b，c满足．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)能构成三角形，周长为：
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三边关系，无理数的估算，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
（1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值；
（2）先估算出，根据三角形三边关系，再把三角形三边相加即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
解得：，，．
（2）解：，
，
、、能构成三角形，
此时三角形的周长为．
题型五：确定第三边的取值范围
1．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知三条线段的长分别是3，6，，若它们能构成三角形，则奇数的最大值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系得出，再从中找出最大的奇数即可．
【详解】解：由三角形的三边关系可知：，
即，
为奇数，
奇数的最大值是，
故选：B．
2．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 ．
【答案】7或9/9或7
【分析】此题考查了三角形的三边关系和三角形的周长，根据三角形的三边关系得到，由第三边长是偶数得到或4，即可求出这个三角形的周长．
【详解】解：设第三边长为，
则，即．
又为偶数，因此或4，
故这个三角形的周长是：或．
故答案为：7或9．
3．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知△ABC的三边长为，，，且，，均为整数．
(1)若，，求边长的取值范围： ；
(2)在（1）的条件下，若为偶数，求△ABC的周长．
【答案】(1)、、、、
(2)或
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系；
（1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解；
（2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解；
【详解】（1）△ABC的三边长为，，，
，，
，
即，且，，均为整数，
故的取值范围为：、、、、；
故答案为：、、、、
（2）解：为偶数，，
故可取，；
当时，△ABC的周长为；
当时，△ABC的周长为
4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为．
(1)求的取值范围：
(2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长．
【答案】(1)
(2)22或24
【分析】本题考查了非负数的性质，以及三角形三边的关系，利用非负数的性质，求得a、b的值是解题关键．
（1）由非负数的性质，可得、的值，根据三角形两边之和大于第三边，三角形的最长边为，可得答案；
（2）由此三角形的周长为偶数，可知为奇数，则或11，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∵三角形的最长边为，
∴，即：；
（2）由（1）可知，，，，
则此三角形的周长为，
∵此三角形的周长为偶数，
∴为奇数，则或11，
∴或24，
∴此三角形的周长为22或24．
5．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在△ABC中，点为边上一点，交于点．
(1)若的长为奇数，求的长度；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，平行线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
（1）根据构成三角形的条件求出，再由的长为奇数，可得；
（2）先由三角形外角的性质得到，再由两直线平行，同位角相等可得．
【详解】（1）解：∵在中， ，
∴，即，
∵的长为奇数，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
题型六：利用三角形的三边关系化简
1．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状．
【答案】(1)
(2)等边三角形
【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用；
（1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可；
（2）由非负数的性质证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵三边长，
∴
∴
．
；
（2）解：∵且，，
∴且
∴且，即
∴△ABC等边三角形．
2．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：．
【答案】
【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a．
所以．
解得．
∴，，，
∴
．
3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为．
(1)化简：；
(2)若，第三边的长为奇数，判断△ABC的形状．
【答案】(1)
(2)△ABC是等腰三角形
【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；
（1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为，
∴，
∴
；
（2）解：∵，
∴根据三角形三边关系可得，
∵第三边的长为奇数，
∴，
∴，
∴△ABC是等腰三角形．
4．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为，，，且，，都是整数．
(1)若，，且为奇数，求△ABC的周长．
(2)化简：．
【答案】(1)12(2)
【分析】（1）根据三角形存在的条件，解答即可．
（2）根据三角形三边关系，化简解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵第三边长c为奇数，，
∴．
的周长为．
（2）解：∵，，是三角形的三边长，
故，
∴，，
∴
．
5．（24-25七年级下·重庆·期中）△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)化简；
(2)若为整数，c为整数，且满足，求△ABC的周长．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查三角形三边关系应用，化简绝对值，整式的加减运算，方程组的解法，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
（1）根据三角形三边关系可判断出，，，再化简绝对值即可；
（2）根据为整数，为整数，a，b，c为的三边长，得出， 即，根据，或或，得出或或，然后分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，
∴，，，
∴
；
（2）解：∵为整数，为整数，a，b，c为的三边长，
∴，
∴，
∵，或或，
∴或或，
当时，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
当时，不符合题意，舍去，
∴，
即，
∴的周长为．
题型七：判断三角形的高是否正确
1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查画三角形的高，根据高的定义，进行判断即可．
【详解】解：线段是的高，则过点作的垂线，垂足为；故满足题意的只有选项D；
故选D．
2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作△ABC的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
根据高线的定义即可得出答案．
【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，
借助直角三角板作△ABC的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是，
故选：A．
3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在△ABC中，边的高说法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高．
本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键．
【详解】
解：根据题意，是符合题意的，A，B，D都不符合题意，
故选C．
4．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案．
【详解】解：在中，边上的高是线段，
故选：．
5．（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（　　）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：于点，
中，是边上的高，故A不符合题意，
，线段是边上的高，B选项符合题意；
于点，
是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
6．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在△ABC中，于点于点，则△ABC的边上的高是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义解答即可得．
【详解】解：∵在△ABC中，于点，
∴△ABC的边上的高是，
故选：C．
题型八：三角形角平分线、高、中线中相关概念
1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键．
【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意；
、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
故选：．
2．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60°
D．三角形的内角和与三角形形状无关
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，三角形的高，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的高的概念，三角形内角和定理，外角性质分别判断即可．
【详解】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意；
C、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意；
D、三角形的内角和与三角形形状无关，因为始终为180度，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条高所在的直线必交于一点；③三角形的三条中线必交于一点．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中线、角平分线、高的定义，根据三角形的中线、角平分线、高的定义逐个分析判断，即可求解．
【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故原说法正确；
②三角形的三条高所在的直线交于一点，故原说法正确；
③三角形的三条中线必交于一点，故原说法正确；
说法正确的有个．
故选：A．
4．（24-25七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（ ）
A．都在这个三角形内
B．都在这个三角形外
C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外
D．可能和这个三角形的一边重合
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键．
根据三角形的中线的概念即可解答．
【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部，
故答案为：A．
5．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键．根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．
【详解】解：①三角形的角平分线是线段，故原说法错误；
②锐角三角形的三条高线都在三角形内部，故原说法错误；
③三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，故原说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形，故正确．
故选：A．
题型九：根据三角形的中线求线段长度
1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是△ABC的中线，，，若的周长比的周长小4，则△ABC的周长为 ．
【答案】22
【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可．
【详解】解：∵为的边上的中线，
∴，
∴，
∵的周长比的周长小4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴△ABC的周长为，
故答案为：22．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是△ABC的边上的中线，若的周长比的周长大6，则与的差是 .
【答案】6
【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依据三角形中线的定义，即可得到，再根据的周长比的周长大6，即可得出与的差为6．
【详解】解：是△ABC的边上的中线，
，
的周长比的周长大6，
，
即，
故答案为：6．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中边上的中线把△ABC的周长分成30和20两部分，则的长为 ．
【答案】14
【分析】本题考查与三角形的中线有关的计算，根据中线的定义得到，根据，得到，根据把的周长分成30和20两部分，进行求解即可．
【详解】解：∵为中线，
∴，
∵，
∴，
∵中线把△ABC的周长分成30和20两部分，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：14．
4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，．
(1)求证：；
(2)若是的平分线，，，求的度数；
(3)若△ABC的周长为，，当中线将△ABC分成周长差为的两部分，求的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)或
【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出；
（2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据三角形外角的性质，即可求出的大小；
（3）设，则，得出，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求出x的值，再求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵△ABC的周长为，，
∴设，则，
∵是△ABC的中线，
∴，
则，
，
当时，，
解得：，
∴；
当时，，
解得：，
∴；
综上可知：或．
5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，是中线，，．
(1)求与的周长差．
(2)点E在边上，连接，若△BDE与四边形的周长相等，求线段的长．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；
（2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长．
【详解】（1）解：的周长，的周长，
∵是中线，
∴，
∴与的周长差：；
（2）解：由图可知：的周长，四边形的周长，
又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴．
6．（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在△ABC中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，△ABC的面积为24．
(1)求的长．
(2)若，求与的周长差．
【答案】(1)(2)
【分析】此题考查了三角形的高和中线等知识．
（1）根据三角形的面积求出，根据三角形中线即可求出的长；
（2）根据三角形中线得到，的周长，的周长，作差即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为24．交于点，
∴，
解得，
∵是边上的中线，
∴
（2）∵为的中点，
∴
∵的周长，的周长，
∴与的周长差．
题型十：三角形中相关作图题
1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出△ABC中边上的高；
(2)画出△ABC中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
(4)，直接写出______．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(4)
【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键．
（1）利用网格特征作，再利用平移的性质作交于点D，即可得到答案；
（2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案；
（3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案；
（4）利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：如图所示，为所求；
（3）解：；
（4）解：∵，，
∴．
2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)点到直线的距离是线段_______的长度；
(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)；(4)，；
【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离．
过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高；
过点作线段，垂足为点，线段即为所求；
点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度；
因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离．
【详解】（1）解：如下图所示，
线段即为边上的高；
（2）解：如下图所示，
（3）解：点到直线的距离是线段的长度，
故答案为：；
（4）解：线段的长度表示点到直线的距离，
故答案为：，；
3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题：
(1)画出△ABC的边上的高；
(2)画出△ABC的边上的中线；
(3)过点B作的平行线；
(4)线段，直接写出点C到直线的距离______．
【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析(4)
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、平行线的判定、三角形的面积．
（1）根据三角形的高的定义画图即可．
（2）根据三角形的中线的定义画图即可．
（3）运用网格特征，观察，且结合平行线的判定，即可作图．
（4）由题意可得，再根据三角形面积公式列式计算得点C到直线AB的距离，即可作答．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：过点B作的平行线，如图所示：
（4）解：依题意，，
∵线段，
∴点C到直线的距离．
故答案为：．
4．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC，，根据下列要求画图并回答问题：
(1)画边上的高；
(2)点到直线的距离是线段______的长度；
(3)边上有一点，连接，如果，那么线段是△ABC的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出．
(4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______．
【答案】(1)见解析(2)(3)中线(4)30
【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据三角形的高的定义画图即可；
（2）根据点到直线的距离的定义求解即可；
（3）由题意可得，则线段是△ABC的中线；
（4）由题意可得，则进而可得， ， 则
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：点到直线的距离是线段的长度，
故答案为：；
（3）解：如图，
∴线段是△ABC的中线，
故答案为：中线；
（4）解：，
，
故答案为：．
5．（23-24七年级下·广西河池·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC沿着点A到点D的方向平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
(1)画出△ABC中边上的高（提醒：别忘了标注字母）；
(2)请画出平移后的（提醒：别忘了标注字母）；
(3)求平移后的的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3
【分析】本题考查了平移作图，画三角形的高，利用网格求图形的面积，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）利用网格特点和三角形高的定义画图；
（2）利用点、的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出、的对应点、即可；
（3）利用三角形面积公式计算出的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所做边上的高；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：．
6．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的；
(2)利用网格在图中画出△ABC的中线，高线；
(3)在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于A）．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【分析】本题考查了平移作图，作中线和高线，平行线间的距离等知识，熟练掌握相关知识点正确作图即可．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）取中点，连接即为中线；延长与过点的水平线的交点为，即为高线；
（3）根据同底等高的三角形面积相等，以及平行线间的距离相等，过点作与平行的直线，点为直线上的格点，即可得解．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：如图，中线，高线即为所求作；
（3）解：过点作与平行的直线，点为直线上的格点，
则除点外，格点P的个数有个；
题型一：因式分解与三角形三边关系的应用
1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）（1）阅读材料：若，求，的值．
解：∵，
∴，
∴．
则______，______．
（2）根据你的观察，探究下面的问题：已知△ABC的三边长，，都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
【答案】（），；（）△ABC的周长为．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．
（）根据非负数的性质即可得出和的值；
（）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值，通过三角形三边关系得出的取值范围，根据为整数即可得出的值，从而求得三角形的周长．
【详解】解：（）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵是正整数，
∴，
∴△ABC的周长为．
2．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知、、分别为的三边长，且满足，若是△ABC的最大边长，且为奇数，求△ABC的周长．
【答案】(1)9(2)14或16
【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形的三条边之间的关系，解答此题的关键是掌握材料中因式分解的方法，明确三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
（1）根据材料，将因式分解得：，可求出的值，继而可求出结果；
（2）将因式分解得：，可求出的值，然后根据三角形的三边关系和是△ABC的最大边长，且为奇数，求得的值，即可得到结果．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
即的值是 9 ．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
又 ∵为奇数，
或，
∴三角形的周长为或．
3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读材料：若，求与的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求与的值．
(2)已知△ABC的三边长，，都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
【答案】(1)，；(2)△ABC的周长为．
【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值；；
（）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值，从而得出的取值范围，根据为整数即可得出的值，从而求得三角形的周长．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是正整数，
∴，
∴△ABC的周长为．
4．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若，求m和n的值
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
问题：
(1)若，求的值．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）仿照题意得到，由此求出x、y的值即可得到答案；
（2）仿照题意得到，由此求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，
∴，即，
∴．
当时，也为最长边，
综上，．
5．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ．
请在他们解法的启发下解答下列各题．
(1)分解因式；
(2)若，，分别为△ABC三边的长．
①若满足若，请判断△ABC的形状，并说明理由．
②若满足，求的范围．
【答案】(1)
(2)①△ABC为等腰三角形，理由见详解；②
【分析】本题主要了利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，理解并掌握分组分解法分解因式是解题关键．
（1）将原式分组整理为，再运用完全平方公式可得，然后进一步分解因式即可；
（2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，结合三角形三边关系可知，进而可得，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，根据非负数的性质解得的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，，分别为△ABC三边的长，
∴，
∴，
∴，
∴，
即△ABC为等腰三角形；
②∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
解得，，
∵，，分别为三边的长，
∴，即，
∴，
即c的范围为．
6．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形：
，
，
，
即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)下列多项式是“和美多项式”的是________；
（1）；（2）；（3）．
(2)试证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值；
(3)已知是△ABC的三边长（三边不相等），，且c是△ABC中最长边的长，则c的取值范围为____________．
【答案】(1)（1）
(2)证明见解析，最小值为6；
(3)
【分析】本题考查了新定义“和美多项式”，配方法，三角形的三边关系，理解“和美多项式”， 能利用配方法将多项式变形进行求解是解题的关键．
（1）根据和美多项式的定义逐一化简判断即可求解；
（2）将多项式化为，再根据和美多项式的定义进行判断即可求解；
（3）将原式化为，求得，，再三角形三边的关系，即可求解；
【详解】（1）解：，
，
（1）是和美多项式；
，
，
（2）不是和美多项式；
，
（3）不是和美多项式；
故答案为：（1）；
（2）解：
，
，，
原式，
即原式为“和美多项式”，
当，时有最小值为6；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵c是中最长边的长，
∴，即．
故答案为：．
题型二：三边关系中相关证明
1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短．连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小，在四边形内任找一点（如点，且与点不重合），比较它与点到四个顶点的距离之和即可得到结论．
【详解】解：连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小．
理由如下：
∵，且，
∴，
∴，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知D、E是△ABC内的两点，问成立吗？请说明理由．
【答案】成立，见解析
【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明．
【详解】解：，理由如下：
延长交于点F、延长交于G，
在中：①，
在中：②，
在中：③，
∵，
∴①②③得：
，
即：，
，
∴．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在△ABC中，是上一点，则成立吗？说明理由．
【答案】成立，理由见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，同时考查了不等式的性质．先根据三角形三边关系定理可得，，再将两式相加得，即．
【详解】
解：成立，理由如下：
在中，，
在中，，
两式相加得：，
即．
4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】证明：在中，，
在中，，
在中，，
在△ABC中，，
，
，
，
与的和小于四边形的周长．
5．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，已知△ABC中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了三角形的三边关系，连接，根据大边对大角可得到，，进而可推出，从而可得到，同理可得，从而求证，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】证明：连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，P为△ABC中任意一点．证明：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理的应用，掌握三角形的两边之和大于第三边成为解题的关键．
如图：延长交于D，在中，，在中，，求出，同理，最后相加化简即可证明结论．
【详解】证明：如图：延长交于D，
∵在中，，在中，，
∴，
∴，
同理：，
∴，即
题型三：根据三角形的中线求面积
1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在△ABC中，分别是的中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，得到，，求出，得到，即可得到答案．
【详解】解：分别是的中点，，
，
，，
，
，
故选：B．
2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据的面积，依次得出、及的面积即可解决问题．熟知三角形的中线平分三角形面积是解题的关键．
【详解】解：，且点是的中点，
．
点是的中点，
．
点为的中点，
．
故选：B．
3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，点，，分别是线段，，的中点，若△ABC的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的中线，连接，，，根据三角形的中线平分面积求出，同理得到，，分割法求出的面积即可．
【详解】如图，连接，，，
点，，分别是线段，，的中点，
，，
，
同理，，，
，
故选：C．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是△ABC的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．利用中线等分三角形的面积进行求解即可．
【详解】解：是的边上的中线，
，
是的边上的中线，
，
是的边上的中线，
，
由题意，可知：，均为的中线，
，
则，
故选：A．
5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点是边上一点，，连接，点是上一点，，连接，点是上一点，连接交于点，若，，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是等高的三角形的面积之间的关系，多项式的乘法，理解等高的两个三角形的面积关系是解本题的关键，先依次求解，，，，，设，则，可得，，结合，可得，再建立方程求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
如图，连接，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴四边形的面积是：.
故答案为：
6．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知△ABC的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，，
∴，
故答案为：．
7．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，，，分别是△ABC的边，，的中点，连接，，交于点，△ABC的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系．
利用三角形中线平分面积性质，得出 ．根据中点及等底等高三角形面积相等，得到， ．分别表示出， ，将二者相加构建关于的等式并求解．
【详解】∵，分别是的边，的中点，△ABC的面积为6，
∴，．
∵是中点，是中点，的面积为，的面积为，
∴，
∴
．
∴，即，
解得．
故答案为：2．
8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，在长方形中，点是的中点，，，则的面积是长方形面积的 ．
【答案】
【分析】本题考查了分数的应用，三角形的面积公式；根据三角形的面积公式可得，，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
即
故答案为：．
题型四：利用三角形的面积求高
1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知、分别为△ABC的边、的中点，连接，为的中线，连接，若，四边形的面积为，则△ABC的边上高长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，连接，设，边上高长为，由三角形中线的性质得，，即得，，进而得，，即得到，再根据四边形的面积为得，解得，即得到，最后根据三角形面积公式计算即可求解，掌握三角形的中线性质是解题的关键．
【详解】解：连接，设，边上高长为，
∵为的中线，
∴点为的中点，
∴，，
∵点是的中点，
∴，，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得，
故选：．
2.（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，△ABC中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键．
根据题意得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
，
∴，
故选：A
3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可．
【详解】解：如图，连接，，
，D为中点，
∴，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：．
4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．

【答案】6
【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
故答案为：6．
5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形的面积，先求出，然后根据即可求出的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
古答案为：4．
6．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为
【答案】
【分析】本题考查三角形中的最短路径，垂线段最短，三角形高的定义，过点作于点，解题的关键是理解的长度即为最小值．
【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于，
平分，于点，于，
，
当点与重合，点与 重合时，的最小值．
三角形的面积为，，
，
．
即的最小值为．
故答案为：．
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，垂足分别为，，，则△ABC的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的高线的定义；根据三角形高的定义以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：因为，
所以的边上的高为线段，
因为，
所以边上的高为线段，
因为
所以，
故答案为：，，．
题型五：三角形综合应用之多结论问题
1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度，从而可得答案．
【详解】解： 是的中线，
，
的面积等于的面积，
故正确；
，是的高，
∴ ，，
是的角平分线，
∴ ，
，
又 ，
，
故正确；
，
，
，
故正确；
∵，
，
故错误；
故选：C
2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在△ABC中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三线，根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，故①错误；
∵是的角平分线，
∴，
∵，是的高，
∴，
∴，
∵，
∴；故②正确；
∵，
∴，即：；故③正确；
∵，
∴；故④正确；
故选B．
3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在△ABC中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ）
①的周长的周长；②；③；④；⑤
A．①③⑤ B．①②④ C．①③④⑤ D．②③④
【答案】B
【分析】由是高，是中线，是角平分线，可得，，，，根据的周长的周长为，可判断①的正误；由，可得，则，，即，进而可判断②的正误；由，可得的面积的面积，进而可判断③的正误；由，可得，进而可判断④的正误；由，可得，解得，进而可判断⑤的正误．
【详解】解：∵是高，是中线，是角平分线，
∴，，，，
∴的周长的周长为，①正确，故符合要求；
∴，则的面积的面积，③错误，故不符合要求；
∵，
∴，
∴，
，
∴，②正确，故符合要求；
∵，
∴，④正确，故符合要求；
∵，
∴，解得，⑤错误，故不符合要求，
∴①②④正确，
故选：B．
4．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，在△ABC中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，故①正确；
∵是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
根据已知条件无法证明，故④错误，
综上所述，正确的是①②③．
故选：C．
5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，设交于点，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①得，，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的序号是①②③④，
故选：．
1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图在△ABC中，是△ABC的高．若为△ABC内角的平分线．当，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，角度的和差计算方法是解题的关键．
先利用三角形的内角和、角平分线的性质求出，，再利用三角形的内角和求出，最后利用角的和差关系求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设△ABC的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
，
故选：B．
3．（24-25七年级下·重庆·期中）在△ABC中，边上的中线把△ABC的周长分成24和12的两部分，则的长是（ ）
A．16 B．8 C．16或8 D．8或4
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答．
【详解】解：设，则，
当且时，即，解得：，
∴，，
∵，
∴能组成三角形，即符合题意；
当且时，即，解得：；
∴，，
∵，
∴三边不能组成三角形，即不符合题意；
综上，的长是16．
故选A．
4．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案．
【详解】解：平分，，
，
平分，，
，
．
在中，、分别平分和，
平分，
，
故选：C．
5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，，且，，分别是△ABC的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项A；利用角平分线的定义判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D．
【详解】解：A、∵是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴结论A正确，故该选项不符合题意；
B、∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴结论B正确，故该选项不符合题意；
C、∵是△ABC的中线，
∴，
∴，
即，
∴结论C正确，故该选项不符合题意；
D、∵，但不一定小于，
故选项D错误，符合题意，
故选：D．
6．（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知、、是的三边长，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形三边关系，绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】解：、、是的三边的长，
，，，
原式．
故选：A．
7．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据△ABC是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设第三边的长为，
则，即，
∵是“倍长三角形”，则：
①若，则（不符合题意，舍去）；
②若，则；
③若，则；
④若，则（不符合题意，舍去）；
综上所述，第三条边的长为或．
故答案为：或．
8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ．
【答案】5
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长．
【详解】解：如图，延长交于点，
∵，
∴当点P运动到点时，最大，即为的长．
∵，
∴的最大值等于5．
故答案为：5．
9．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知，，为三角形的三边，化简的结果是
【答案】/
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，，进而去绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】解：、、 是三角形的三边长，
，，
，
，
故答案为：．
10．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是△ABC的角平分线，是△ABC的高，，，点为边上一点，当△BDF为直角三角形时，则的度为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查角平分线和高线的定理、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
分和两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：当时，
∵是的角平分线，，
∴，
∴中，；
如图∶当时，
同理可得，
∵，
∴，
∴．
综上所述：的度数为或．
故答案为：或．
11．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，在△ABC中，既是△ABC的高，也是△ABC的中线，且，若点P在边上移动，则的最小值是 ．
【答案】4.8
【分析】本题主要考查了三角形的高线．熟练掌握垂线段最短，面积法求三角形的高，是解决问题的关键．
根据垂线段最短，得到时，最小．利用面积法即可求出此时的长．
【详解】∵在中，既是的高，也是的中线，且，
∴，
当的值最小时，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是4.8．
故答案为：4.8．
12．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，，是边上的高，是边上的中线，平分，交于点，交于点，给出下面四个结论：
①的面积与的面积相等；
②；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高的定义，根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③；根据现有条件无法证明可判断④．
【详解】解：是中线，
的面积的面积(等底等高的三角形的面积相等)，故①正确；
是角平分线，
，
为高，
，
，
，
∵，
，
，
，
，故②正确；
为高，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，故③正确；
根据已知条件不能推出，故④错误；
因此正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
13．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）四边形是任意四边形，与交点O．

求证：．
证明：在中有
在中有________，
在中有________．
在________中有________，
∴
即：________，
即：
【答案】；；OBC；；
【分析】本题主要考查三角形三边的数量关系，根据三角形两边之和大于第三边即可求解．
【详解】解：在中有，
在中有，
在中有，
在中有，
∴，
即，
∴．
14．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在△ABC中，是△ABC的角平分线．
(1)若，的长为偶数，则符合条件的△ABC共有 个；
(2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，．
①求的度数；
②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数．
【答案】(1)2
(2)①；②
【分析】本题考查了三角形三条边的关系，
（1）先三角形三边的关系求出的取值范围，再根据的长为偶数求解即可；
（2）①过点A作于M，先求出，由角平分线的定义得，进而可求出，求出，进而可求出的度数；
②过点A作于M，由①可知，根据可求出的度数．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵的长为偶数，
∴或6，
∴符合条件的共有2个，
故答案为：2；
（2）①如图1，过点A作于M，
在中，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点A作于M，
由①可知，
∵，
∴，
∴．
15．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在△ABC中，，，求△ABC的高与的比；
（3）如图3，在△ABC中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）10．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用面积法求出即可．
（2）利用面积法求出高与的比即可．
（3）利用面积法求出，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，，，
，
，
又，
，
即．

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