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第八单元
数学广角——找次品
考考你的眼力
哪个与其他不一样？
少了3片的那瓶钙片的质量有什么特点？
1
有3瓶钙片，其中1瓶少了3片，看作次品。
你能设法把它找出来吗？
其中一瓶的钙片少了3片，那它应该比其余2瓶的质量都轻。
少了3片的那瓶钙片的质量有什么特点？
用手掂能找到那瓶不合格产品吗？为什么？
3片钙片太轻了，用手掂，掂不出来。
方法一
一瓶一瓶地称，最轻的就是少了的那一瓶。
最轻的这瓶是次品。
要称三次。
利用天平平衡原理称量推理。
两瓶正品质量一样，天平平衡了，剩下的这瓶就是次品。
次品
方法二
次品比正品轻，天平不平衡，托盘向上的这瓶就是次品。
次品
我们用 代表钙片，
3瓶钙片可表示为
1
2
3
平衡
不平衡
需要称____次。
1
可以这样记录。
1
2
， 是次品。
3
次品
次品
(1)用天平找次品，并不一定要通过天平称出具体质量，利用天平的平衡原理，通过推理也能找出次品。
(2)用天平找次品，并不需要称量所有物品，关键是利用天平的平衡原理，判断次品是否出现在托盘上。
次品
次品
1
2
3
平衡
不平衡
需要称____次。
1
1
2
， 是次品。
3
(3)用直观图示的方式可以表示找次品的过程，说明解决找次品问题并不真的需要用天平来称量。关键是利用天平的平衡原理，通过推理来确定次品。
(4)从3个物品中找次品的基本思路：用天平称一次（可假想），然后根据天平称量的结果（平衡还是不平衡）来判断出次品是否在托盘上。也就是通过推理，确定次品是3个中的哪一个。
8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？
“至少称几次”是什么意思？
是指肯定能找出次品的最少次数。
对，“至少”是指在保证一定能找出次品的各种方法中，称量次数最少的那种方案，不是“运气好”情况下称量的次数。
2
可以这样记录。
用 表示零件。
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
平衡，再各放……
不平衡，重的……
次品
方法一
8个零件平均分成4组，每组1对1的称。
特殊情况下，称1次就能找出次品；至少称4次能保证找出次品。
8个零件平均分成2组，每组2对2的称。
方法二
1
2
3
4
5
6
7
8
平衡，再称下一份
不平衡，重的一端的2个再称1次
不平衡，重的一端的2个再称1次
重的是次品
重的是次品
结果：至少称 3 次能保证找出次品。
1次
2次
3次
2次
8个零件平均分成2组，每边4个。
方法三
1
2
3
4
5
6
7
8
不平衡，重的一端的4个再称1次，在两端各放2个。
不平衡，重的一端的2个再称1次，在两端各放1个。
重的是次品
结果：至少称 3 次能保证找出次品。
1次
2次
3次
8个零件分成3份（3个、3个、2个），先在天平两端各放3个。
方法四
1
2
3
4
5
6
7
8
平衡，次品在另外2个当中。
结果：至少称 2 次能保证找出次品。
不平衡，次品就在重的3个当中。
重的是次品
平衡，剩下的那个是次品。
不平衡，重的是次品。
1次
2次
2次
将称量的情况填入下表。
分成的份数 每份的数量 至少要称的次数
4
4
2
3
2
3
3
2
（1）表中哪种方法需要称的次数最少？
把8个零件分成3份（3, 3, 2）找次品时，需要称的次数最少。
（2, 2, 2, 2）
（4, 4）2个一称
（4, 4）4个一称
（3, 3, 2）
至少2次能保证找出次品。
8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？
2
（2）如果9个零件中有1个次品（次品重一些），至少称几次能保证找出次品？你是怎么称的？
方法一
把9个零件平均分成3份，每份3个，先在天平两端各放3个称一次。
9
(
3
3
,3)
平衡，次品在另外3个当中。
不平衡，次品就在重的3个当中。
(
1
1
,1)
2次
(
1
1
,1)
2次
至少称2次
方法二
把9个零件分成3份（4,4,1），先在天平两端各放4个称一次。
9
(
4
4
,1)
平衡，另外1个是次品。
不平衡，称重的一端的4个。
1次
(
2
2
,1)
3次
至少称3次
(
1
1
)
不平衡，称重的一端的2个。
平衡，另外1个是次品。
（2）如果9个零件中有1个次品（次品重一些），至少称几次能保证找出次品？你是怎么称的？
（3）你能发现什么？用你发现的方法找出10个、11个零件中的1个次品（次品重一些），看看是不是保证找出次品的次数也是最少的。
零件总共数量 分成的份数 每份的数量 至少要称的次数
8 4 （2，2，2，2） 4
2 （4，4）（4个一称） 3
2 （4，4）（2个一称） 3
3 （3，3，2） 2
9
3 (3,3,3)
2
3 (4,4,1)
3
对比从8个零件和9个零件中找次品的过程，发现：
分成3份，且每份的数量尽可能相等找次品时，需要称的次数最少。
看看哪边有次品（次品略重一些），在那一边下面的括号里画“√”。
（ ） （ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
√
√
√
选择。
（1）3袋同样包装的饼干，其中有1袋是次品，较轻些，用天平至少称（ ）次能保证找出这袋饼干。
A.1 B.2 C.3
A
（2）3袋干果，其中有一袋次品质量不足，可以用（ ）的方法把它找出来。
A.掂一掂 B.天平称 C.数一数
B

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