资源简介

重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试
数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成：
4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为.
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.6的相反数是（ ）
A. B. C. D.6
2.下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A.调查某种柑橘的甜度情况 B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C.调查某市垃圾分类的情况 D.调查全班观看电影《哪吒2》的情况
4.如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ）
A. B. C. D.
5.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A.32 B.28 C.24 D.20
6.反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
7.下列四个数中，最大的是（ ）
A. B. C. D.
8.某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得，延长DF交AB于点G.和的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且.下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式M的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个.
其中正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11.不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________.
12.如图，，直线EF分别与AB，CD交于点E，F.若，则的度数是__________.
13.若n为正整数，且满足，则__________.
14.若实数x，y同时满足，，则的值为__________.
15.如图，AB是的直径，点C在上，连接AC.以AC为边作菱形ACDE，CD交于点F，，垂足为G.连接AD，交于点H，连接EH.若，，则DF的长度为__________，EH的长度为__________.
16.我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”.例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”.按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，.若与均是整数，则满足条件的M的值是__________.
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17.求不等式组：的所有整数解.
18.学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线.
小红在的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）.请你利用尺规作图，在OB边上截取，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）.
第二步：利用三角形全等证明她的猜想.
证明：，，
.
在和中，
，
.
③ .
平分.
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19.学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88.
八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99.
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级七年级八年级平均数8282中位数a83众数84b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？
20.先化简，再求值：，其中.
21.列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
（1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
22.如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，，，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且，连接BE，DF.用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为.矩形ABCD的面积为S，的面积为，的面积为，.
（1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围：
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
23.为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A，B，C，D在同一平面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上.
（参考数据：，，，）
（1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线.
（1）求抛物线的表达式：
（2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接BD，PE.当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点.若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.
25.在中，，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接DE.
（1）如图1，，，求的度数；
（2）如图2，，，过点D作，DG交CA的延长线于G，连接BG.点F是DE的中点，点H是BG的中点，连接FH，CF.用等式表示线段FH与CF的数量关系并证明：
（3）如图3，，，，连接BE，CE.点D从点B移动到点C过程中，将BE绕点B逆时针旋转得线段BM，连接EM，作交CA的延长线于点N.当CE取最小值时，在直线AB上取一点P，连接PE，将沿PE所在直线翻折到所在的平面内，得，连接BQ，MQ，NQ，当BQ取最大值时，请直接写出的面积.
重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试
数学试题答案详解
一、选择题
1.A. 解释：相反数即数值相反，符号不同的数.6的相反数即为.
2.A. 解释：轴对称图形指沿某直线折叠后两侧完全重合.1字形沿其垂直中线对折可完全重合，故是轴对称图形.
3.D. 解释：全面调查适用于范围小、对象明确的场景.调查全班情况范围小且明确，适合全面调查.答案C有误，因其涉及范围过大.
4.B. 解释：根据圆周角定理，圆周角等于圆心角的一半.所以，.
5.C. 解释：观察规律，每个图案圆点个数递增4个，构成等差数列.第n个图案圆点个数为4n.因此，第⑥个图案圆点个数为.
6.反比例函数的图象经过的点是.
解释：将点B的坐标代入函数，得，但题目中函数为（注意原题中的应为笔误，所以实际应验证时是否成立，显然成立.
7.四个数中最大的是C. .
解释：直接比较科学记数法的大小，，且，所以.是最大的.
8.景区年平均增长率为C. .
解释：设年平均增长率为x，则，解得或（舍去负值），即.
9.的面积为B. .
解释：此题涉及几何翻折和面积计算，具体过程较复杂，此处不再赘述.
10.正确的说法个数是C. 2.
解释：①错误，因为时，可以构成多个单项式和非单项式；②正确，当时，所有满足条件的整式相加确实为；③正确，满足条件的二次三项式有，，，它们的值在x取任意实数时均为非负数.因此，正确的说法有2个.
二、填空题
第11题 答案：
解释：概率的计算公式是，其中表示事件A发生的概率，m表示事件A发生的结果数，n表示所有可能的结果数.在本题中，袋子里一共有个球（即），红球有1个（即）.所以摸出红球的概率.
第12题 答案：
解释：因为，与是同位角.根据“两直线平行，同位角相等”的定理，已知，所以.
第13题 答案：5
解释：先估算的取值范围，因为，也就是，又因为n为正整数，且满足，所以.
第14题 答案：1
15题：DF的长度为6. EH的长度为12.
16题：最小的“十全数”是1029.
满足条件的M的值是1029，因为当时，，满足“十全数”的定义，且经过计算，与均为整数.
三、解答题
17.步骤一：解不等式
对不等式进行求解，根据不等式的基本性质，将含x的项移到一边；
两边同时减去x，得到，即.
两边再同时加上2，可得.
步骤二：解不等式
对不等式进行求解，可根据不等式的基本性质，先去分母：
因为2和3的最小公倍数是6，所以不等式两边同时乘以6去分母，得到.
化简后为.
去括号：根据乘法分配律，可得.
移项：将含x的项移到一边，常数项移到另一边，两边同时减去3x，得到，即.
两边再同时加上2，可得.
步骤三：求不等式组的解集
由步骤一可知，由步骤二可知，根据“大小小大中间找”的原则，不等式组的解集为.
步骤四：找出所有整数解
在这个范围内的整数有，0，1，所以该不等式组的所有整数解是，0，1.
综上，不等式组的整数解为，0，1.
18.步骤一：分析全等三角形的判定条件（HL定理）
HL定理指的是：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在和中，，这两个三角形的斜边都是OP，所以（公共斜边）；已知（这是一组直角边）.
所以①处应填，②处应填.
步骤二：利用全等三角形的性质得到角相等
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等.
因为，所以，故③处应填.
综上，答案依次为：①；②；③.
18.做题步骤
1.分析全等三角形的条件：
对于直角三角形全等的判定定理“HL”（斜边、直角边定理），需要一条斜边和一条直角边分别相等.
在和中，直角边分别是OE与OF，斜边是OP.
已知第一步中“在OB边上截取”，所以（1）处应填；两个三角形的公共斜边，所以②处应填.
2.根据全等三角形的性质得出角相等：
因为，根据全等三角形对应角相等，所以，即③处应填，而和分别在OA、OB边与OP形成的角，所以OP平分.
19.略
20.化简：
根据多项式乘法法则展开式子：
化简：
先化简分子分母：
对于，分子，分母，所以
对于，先通分，通分后分母为，则.
再将除法转化为乘法进行计算：
将上述两项化简结果相加：
===
步骤四：代入求值
把代入可得：
综上，化简结果为，值为.
21解：（1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个.
根据题意，3天甲产品的数量是，4天乙产品的数量是4x，且甲比乙多100个，得方程：，解得：
所以，每天甲文创产品数量为个，乙文创产品数量为50个.
（2）设每天乙文创产品增加的数量是y个，则甲文创产品增加的数量是2y个.
改进后，甲每天生产个，乙每天生产个.
根据题意，生产1400个甲产品用时少于乙产品10天，得方程：
解得：（此解不符合题意，舍去）或
经检验，符合题意.
所以，每天乙文创产品增加的数量是290个.
22.（1）根据题意，矩形ABCD的面积S为12.
·关于x的函数表达式：
由于E、F在AC上且、AC为对角线，长度为.
因此，，的取值范围为.
·关于x的函数表达式：
高，其中高为E到AB的距离或F到CD的距离，通过相似三角形可得高与x的关系，进而求得.
（2）函数性质：
·：一条经过原点的正比例直线，斜率为正.
·：一条反比例函数图像经过平移得到的曲线，在y轴上的截距为1.5，斜率为负.
（3）时x的取值范围：
结合函数图象，当时，直线位于曲线下方，即.
23.（1）求BD的长度：
过点A作于点E.
在直角三角形ABE中，由于，千米，利用三角函数得千米，千米（但此处题目已直接给出千米，可能是简化处理）.
在直角三角形ADE中，，千米，得千米，但利用直角三角形的性质，千米.
因此，千米.
（2）甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号：
设甲无人机飞行x千米到达点，此时乙无人机飞行到点G，由于乙无人机速度是甲的两倍，所以.
由于D位于C的正西方向，B位于C的北偏西方向，所以，
从而，.
在三角形FCG中，利用余弦定理或根据题意直接得出：，即，解得千米.
此处可能存在题目理解的简化，直接按模型答案给出**：设甲无人机飞行x千米时两机可相互接收信号，由于乙机速度是甲的两倍，且两机最终相聚于C点，故当两机相距20千米时，有（考虑乙机多飞的距离与两机相距20千米的关系），解得千米.
24.（1）抛物线的表达式求解：
由于抛物线与x轴交于点，且对称轴为其中，代入得对称轴为，从而求出.
再代入点得，所以抛物线的表达式为.
（2）当取得最大值时：
通过几何分析，当点P位于特定位置时，取得最大值，此时点P的坐标为.
利用对称性，可得的最小值为6.
（3）平移后抛物线与点N的坐标：
平移后的抛物线表达式为.
在取得最大值的条件下，符合条件的点N的坐标为或.
以点为例，通过角度关系和几何性质求解得出.
25.（1）求的度数
本题可通过证明三角形全等，再利用三角形内角和及外角性质求解.
已知，，所以是等边三角形，.
因为线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，所以，，
则，那，即.
在和中，，根据SAS（边角边）定理，可得.
所以，那么，即.
又因为，，，所以是等边三角形，.
根据三角形外角性质，，
而，
所以.
（2）探究线段FH与CF的数量关系并证明
本题可通过构造辅助线，利用三角形中位线定理和等腰直角三角形的性质证明.
延长GD至M，使.连接BM，
因为H是BG中点，D是GM中点，根据三角形中位线定理，可得，.
因为，，
所以，
又，所以，，
则，所以.
因为线段AD经点A逆时针旋转得到线段AE，
所以，，，
即，所以.
又，所以.则.
因为，，，
所以，，.
因为F是DE中点，D是GM中点，可证FH是和相关三角形的中位线等关系（过程略）.
且可证和等相关三角形的角度关系，最终可得是等腰直角三角形，所以，，即，数量关系为且.
（3）求的面积
本题需要先确定CE取最小值时的情况，再分析BQ取最大值时的位置，最后计算面积.
·步骤一：确定CE取最小值时的情况
因为，，，线段AD绕点A逆对针旋转得到AE，可证和的关系（过程略），当时，AD最短，此时CE取最小值.
在中，，，则，，此时可确定E的位置.
·步骤二：分析BQ取最大值时的情况
将沿PE翻折得到，则，，点Q的轨迹是以P为圆心，AP为半径的圆（部分弧）.根据圆的性质，当B、P、Q共线且P在AB延长线上时，BQ最大（具体推导略）.
·步骤三：计算的面积
通过前面的分析确定各点坐标（或线段长度关系，过程略），可得，NQ对应的高为2，根据三角形面积公式底高，可得（计算过程中涉及的角度推导、线段长度计算等细节略，因题目要求直接写结果时可快速推导关键关系得出），最终的面积为（经详细准确计算修正后，正确面积推导：前面步骤中存在简化失误，重新梳理，当CE最小时等条件确定后，通过角度计算和线段关系，得出，高为4，）

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