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2025年江苏省淮安市中考数学四模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是春意盎然，生机勃勃的双春年，的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.据统计，截至年初引江济淮二期工程累计完成投资亿元，占二期工程总投资的其中亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.将一块直角三角尺按如图方式放置，，、两点分别落在直线、上，若，，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
5.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 全
B. 面
C. 依
D. 法
6.已知在长的公路两端有两辆汽车、，其中车的速度为，车的速度为，两辆汽车相向而行已知车先开始行驶，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶，设车行驶后与车相遇，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.若关于的方程的两根为，，且，那的值为( )
A. 或 B. C. 或 D.
8.如图，点、、在反比例函数的图象上，过这三点分别向轴作垂线，垂足分别为、、，则、、的面积、、之间的关系为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.式子有意义，则的取值范围是______．
10.分解因式： ．
11.若实数、满足，，则的值是______．
12.甲、乙、丙三名运动员最近几次射击成绩的平均数单位：环与方差单位：环如表所示其中成绩好且发挥稳定的运动员是______．
甲 乙 丙
平均数
方差
13.如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的______倍
14.若点，，在反比例函数为常数的图象上，则，，的大小关系是______用“”连接
15.如图，，，，是上的四个点，的半径为，，平分，连接，若，则的度数为______．
16.如图，，，，，当时，的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
解不等式组：，并求出其最大整数解．
18.本小题分
先化简，再求值，其中．
19.本小题分
如图，在 中，于点，于点，且．
求证：四边形是菱形．
若，求的度数和．
20.本小题分
某中学做了如下表所示的调查报告不完整：
调查目的 了解本校学生：周家务劳动的时间；最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查
调查对象 部分七年级学生该校所有学生周家务劳动时间都在范围内
调查内容 你的周家务劳动时间单位：是( )
；；；；．
你最喜欢的劳动课程是必选且只选一门( )
A.家政烹饪剪纸园艺陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
填空：参与本次问卷调查的学生人数是______，在扇形统计图中，第组所对应扇形的圆心角的度数为______；
补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
若该校七年级学生共有人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数．
21.本小题分
为了让学生更多的了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，八年级班的甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“白蛇传，女娲补天，阿诗玛，木兰辞”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．
甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是______；
请用列表或画树状图的方法，求甲、乙都抽到民间叙事长诗的概率．
22.本小题分
某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为在同一平面内，，在同一水平面上，求建筑物的高精确到米参考数据：，，，，，
23.本小题分
已知为的直径，切于点，过点作于点，交于点，连接．
Ⅰ如图，若，求的大小；
Ⅱ如图，若为的中点，，求线段的长．
24.本小题分
今年春节某商家购进，两种不同造型的哪吒玩偶已知购进个种玩偶和个种玩偶共需元；购进个种玩偶和个种玩偶共需元．
求，两种玩偶的进价；
由于销售情况较好，商家决定再购进，两种玩偶共个，设总费用为，若总费用低于元但不少于元，那么当，两种玩偶分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用．
25.本小题分
如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上，为内部的格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图保留作图痕迹．
如图，在的边上确定一点，使的长最短．
如图，在的边上确定一点，边上确定一点，连接，，使的周长最短．
26.本小题分
已知抛物线的顶点是，且抛物线过点．
求抛物线的表达式．
将抛物线向右平移个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大求的取值范围．
点是抛物线上任意一点，其横坐标为，设抛物线上点左侧的部分为图象含点若图象的最低点的纵坐标为，直接写出的值．
27.本小题分
如图，在中，，，点是边上一点点不与端点重合，，垂足为点，连接．
如图，若，，求的长；
如图，点在边上，，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
如图，在的条件下，与相交于点，连接，点从点运动到点的过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：根据同底数幂的乘法，合并同类项，乘法公式逐项分析判断如下：
，故选项A正确；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
和不是同类项，无法进行计算，故选项D错误；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：直线，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是依，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：设车行驶后与车相遇，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶，则车行驶的时间为，根据题意得：，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：关于的方程有两个实数根，
，
．
，是关于的方程的两根，
，，
，
解得：，不符合题意，舍去，
的值为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，得：，
解得：．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
11.【答案】
【解析】解：，
，
又，
，
故答案为：．
12.【答案】乙
【解析】解：由表知乙、丙射击成绩的平均数相等，且大于甲的平均数，
从乙、丙中选择一人参加竞赛，
乙的方差较小，
成绩好且发挥稳定的运动员是乙．
故答案为：乙．
13.【答案】
【解析】解：设母线长为，底面圆半径为，则圆锥的侧面积为，，
，
底面积为，
该圆锥的侧面积是底面积的倍，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：当时，；当时，；当时，，
所以．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图，作，，而，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
负根不符合题意，已经舍去．
故答案为：．
17.【解析】原式
；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的最大整数解为．
18.【答案】解：原式
，
当时，原式．
19.【解析】证明：四边形是平行四边形，
，
于点，于点，
，
又，
≌，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
同理：，
．
20.【解析】，
参与本次问卷调查的学生人数为人，
所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：，；
参与本次问卷调查的学生人数为人，
周家务劳动时间在的学生人数为，
补全周家务劳动时间的频数分布直方图如下：
被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为，
，
答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人．
21.【解析】由题意，得甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到白蛇传的概率是，
故答案为：；
列表如下：
甲 乙
由上表可知：甲、乙都抽到民间叙事长诗的概率为．
22.【解析】解：设过点的水平线交于点，如图所示，
由题意知米，，
，
；
在中，
，
；
，
，
解得米．
答：建筑物的高约为米．
23.【解析】Ⅰ如图，连接，则，
，
切于点，
，
于点，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
的度数是．
Ⅱ如图，连接、、，则，
由Ⅰ得，
为的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
为的直径，
，
，
线段的长为．
24.【解析】设种玩偶的进价是元，则种玩偶的进价是元，
根据题意得：，
解得，
答：种玩偶的单价是元，则种玩偶的单价是元；
设购进个种玩偶，则购进个种玩偶，
根据题意得：，
解得，
设总费用为元，
则，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，最小，最小值为，
此时，
当购买个种玩偶，购进个种玩偶时，总费用最少，最少总费用为元．
25.【解析】如图，点即为所求；
由图可得，，，，
≌，
，
，
，
，
即，此时，的长最短；
如图，为所求；
如图，分别作点关于、的对称点、，再连接，分别交、于点、，
由轴对称的性质可得，，，
，
当、、、共线时，的周长最短，最小值为的长．
26.【解析】设抛物线的表达式为，把代入得，
，
，
抛物线的表达式为，即；
抛物线向右平移个单位长度后，其解析式为，
新的抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
，解得．
当时，图象的最低点为顶点，纵坐标为，
则，
解得：；
当时，把代入得，
则，
，
，解得或舍去，
或．
27.【解析】，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
，证明如下：
如图所示，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，即，
设，，则，，
，，，
，
，
；
，，
，
如图所示，过点作于点，
由可得：，，为等腰直角三角形，，
，，
，
∽，
，
，
，
由题意可得，当是直角三角形时，，
，
，
设，，则，，，
，，
∽，
，即，
，
，
，即，
，
∽，
，即，
，
由可得：，
不符合题意，舍去，
．
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