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同步分层精练（四十七） 带电粒子在叠加场和交变场中的运动
1.空间存在着匀强磁场和匀强电场,磁场的方向垂直于纸面(xOy平面)向里,电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下,从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中,可能正确描述该粒子运动轨迹的是 (　 )
2.(2025·苏州模拟)质谱仪是研究同位素的重要工具,重庆一中学生在学习了质谱仪原理后,运用所学知识设计了一个质谱仪,其构造原理如图所示。粒子源O可产生a、b两种电荷量相同、质量不同的粒子(初速度可视为0),经电场加速后从板AB边缘沿平行于板间方向射入,两平行板AB与CD间存在方向垂直纸面向外的匀强磁场,板间距为L,板足够长,a、b粒子最终分别打到CD板上的E、F点,E、F到C点的距离分别为L和L,则a、b两粒子的质量之比为 (　 )
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
3.(2025·宜春模拟)(多选)如图所示,空间存在水平向左的匀强电场E和垂直纸面向外的匀强磁场B,在竖直平面内从a点沿ab、ac方向抛出两带电小球,不考虑两带电小球间的相互作用,两小球的电荷量始终不变,关于小球的运动,下列说法正确的是 (　 )
A.沿ab、ac方向抛出的小球都可能做直线运动
B.若小球沿ac方向做直线运动,则小球带负电,可能做匀加速运动
C.若小球沿ab方向做直线运动,则小球带正电,且一定是做匀速运动
D.两小球在运动过程中机械能均增大
4.(2025·沈阳模拟)(多选)如图所示,一质量为m=1 kg、带电荷量为q=+0.5 C的小球,以速度v0=3 m/s沿两正对带电平行金属板M、N(板间电场可看成匀强电场)左侧某位置水平向右飞入,已知极板长L=4.8 m,两极板间距为d=4 m,不计空气阻力,小球飞离极板后恰好由A点沿切线进入竖直光滑绝缘圆弧轨道ABCD,AC、BD为圆弧轨道的直径,在圆弧轨道区域有水平向右的匀强电场,电场强度的大小与M、N间的电场强度大小相等。已知g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,下列说法正确的是 (　 )
A.小球在A点的速度大小为5 m/s
B.M、N两极板间的电势差UMN=20 V
C.小球运动至C点的速度大小为4 m/s
D.轨道半径R≤ m时小球不会在ABCD区间脱离圆弧轨道
5.(2025·九江模拟)(多选)如图所示,在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向里的匀强磁场中,直线MN既水平又垂直于磁场,磁场空间还有电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN上的a点以大小为v的速度沿MN向右射出,粒子运动的部分轨迹如图中的实线所示,轨迹上的b点在MN上,c点是轨迹的最高点。已知v=,不计空气阻力和粒子的重力。在粒子从a运动到b的过程中,下列说法正确的是 (　 )
A.c点距MN的距离为
B.a、b两点间的距离为
C.粒子在c点受到的向心力大小为2Eq
D.粒子运动的加速度大小恒定不变
6.(2024·温州模拟)如图所示,在水平面内存在垂直平面向里、大小为B的匀强磁场和与之正交的匀强电场E。一质量为m、带电荷量为q的粒子在水平面内做匀速圆周运动,电场跟随带电粒子一起以角速度ω绕圆心转动,电场方向与速度方向间夹角θ保持不变。带电粒子在中性气体中运动时受到气体的黏滞阻力与速度大小成正比,方向与速度方向相反,即Ff=-kv。不考虑带电粒子运动时的电磁辐射,不计重力。
(1)求E=0,k=0时,带电粒子运动的角速度ω0;
(2)求带电粒子运动速度的大小v和tan θ(用m、ω、k、q、B和E表示);
(3)求电场力的功率及功率的最大值;
(4)若电场力的功率减小为最大值的一半,求粒子速度的大小。
7.(2024·山东高考)如图所示,在Oxy坐标系x>0、y>0区域内充满垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板,其两端分别位于x、y轴上M、N两点,∠OMN=60°,挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0(1)求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0;
(2)调整加速电压,当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动,求第一象限中电场强度的大小和方向;
(3)当加速电压为时,求粒子从小孔K射出后,运动过程中距离y轴最近位置的坐标。
同步分层精练（四十七） 带电粒子在叠加场和交变场中的运动
1.空间存在着匀强磁场和匀强电场,磁场的方向垂直于纸面(xOy平面)向里,电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下,从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中,可能正确描述该粒子运动轨迹的是 (　 )
解析:选B　在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向,故在坐标原点O静止的带正电粒子在电场力作用下会向y轴正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里,根据左手定则,可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力,故带电粒子向x轴负方向偏转,A、C错误;由于匀强电场方向沿y轴正方向,故x轴为匀强电场的等势面,从初始位置到带电粒子偏转再次运动到x轴时,电场力做功为0,洛伦兹力不做功,故带电粒子再次回到x轴时的速度为0,因受电场力作用再次重复向左偏转,故B正确,D错误。
2.(2025·苏州模拟)质谱仪是研究同位素的重要工具,重庆一中学生在学习了质谱仪原理后,运用所学知识设计了一个质谱仪,其构造原理如图所示。粒子源O可产生a、b两种电荷量相同、质量不同的粒子(初速度可视为0),经电场加速后从板AB边缘沿平行于板间方向射入,两平行板AB与CD间存在方向垂直纸面向外的匀强磁场,板间距为L,板足够长,a、b粒子最终分别打到CD板上的E、F点,E、F到C点的距离分别为L和L,则a、b两粒子的质量之比为 (　 )
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
解析:选B　如图,由几何关系可得=+,所以ra=L;rb由图易得为L,加速阶段有qU=mv2,圆周运动有Bqv=m,所以r= ,所以=,所以=,故选B。
3.(2025·宜春模拟)(多选)如图所示,空间存在水平向左的匀强电场E和垂直纸面向外的匀强磁场B,在竖直平面内从a点沿ab、ac方向抛出两带电小球,不考虑两带电小球间的相互作用,两小球的电荷量始终不变,关于小球的运动,下列说法正确的是 (　 )
A.沿ab、ac方向抛出的小球都可能做直线运动
B.若小球沿ac方向做直线运动,则小球带负电,可能做匀加速运动
C.若小球沿ab方向做直线运动,则小球带正电,且一定是做匀速运动
D.两小球在运动过程中机械能均增大
解析:选ACD　对沿ab方向抛出的带电小球受力分析,根据左手定则及正电荷所受的电场力方向与电场强度方向相同可知,只有带正电,小球受向下的重力、向左的电场力和垂直ab斜向右上方的洛伦兹力才可能平衡;同理沿ac方向抛出的带电小球带负电时,才能做直线运动,因速度影响洛伦兹力的大小,所以做直线运动时必然是做匀速直线运动,故A、C正确,B错误;在运动过程中,因两小球受到的电场力都做正功,机械能均增大,故D正确。
4.(2025·沈阳模拟)(多选)如图所示,一质量为m=1 kg、带电荷量为q=+0.5 C的小球,以速度v0=3 m/s沿两正对带电平行金属板M、N(板间电场可看成匀强电场)左侧某位置水平向右飞入,已知极板长L=4.8 m,两极板间距为d=4 m,不计空气阻力,小球飞离极板后恰好由A点沿切线进入竖直光滑绝缘圆弧轨道ABCD,AC、BD为圆弧轨道的直径,在圆弧轨道区域有水平向右的匀强电场,电场强度的大小与M、N间的电场强度大小相等。已知g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,下列说法正确的是 (　 )
A.小球在A点的速度大小为5 m/s
B.M、N两极板间的电势差UMN=20 V
C.小球运动至C点的速度大小为4 m/s
D.轨道半径R≤ m时小球不会在ABCD区间脱离圆弧轨道
解析:选AD　因为小球飞离极板后恰好由A点沿切线进入竖直光滑绝缘圆弧轨道,所以小球在A点的速度大小为vA==5 m/s,故A正确;带电小球在板间匀强电场中做类平抛运动,则有L=v0t,vy=v0tan 53°=at,解得a=2.5 m/s2,因为a5.(2025·九江模拟)(多选)如图所示,在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向里的匀强磁场中,直线MN既水平又垂直于磁场,磁场空间还有电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN上的a点以大小为v的速度沿MN向右射出,粒子运动的部分轨迹如图中的实线所示,轨迹上的b点在MN上,c点是轨迹的最高点。已知v=,不计空气阻力和粒子的重力。在粒子从a运动到b的过程中,下列说法正确的是 (　 )
A.c点距MN的距离为
B.a、b两点间的距离为
C.粒子在c点受到的向心力大小为2Eq
D.粒子运动的加速度大小恒定不变
解析:选ACD　由题意可知,粒子的运动可以分解为向右的匀速直线运动和竖直方向的匀速圆周运动,粒子做匀速直线运动所受的洛伦兹力与粒子所受的电场力平衡qv1B=qE,速度大小为v1=,则粒子做匀速圆周运动的速度大小为v'=v-v1=,匀速圆周运动的周期为T=,由qv'B=m,解得r==,粒子从a到c经历半个周期,c点距MN的距离为2r=,故A正确;粒子从a到b经历一个周期,竖直方向做匀速圆周运动的位移为零,水平方向做匀速直线运动的位移大小就是a、b两点间的距离,为xab=v1T=,故B错误;粒子在c处时分速度v1产生的洛伦兹力与电场力平衡,此时分速度v'水平向左沿轨迹的切线方向,洛伦兹力提供向心力,即F向=Bqv'=Bq·=2Eq,故C正确;粒子水平方向做匀速直线运动的加速度为零,竖直方向做匀速圆周运动的加速度大小不变,两个分运动的加速度的矢量和大小不变,故D正确。
6.(2024·温州模拟)如图所示,在水平面内存在垂直平面向里、大小为B的匀强磁场和与之正交的匀强电场E。一质量为m、带电荷量为q的粒子在水平面内做匀速圆周运动,电场跟随带电粒子一起以角速度ω绕圆心转动,电场方向与速度方向间夹角θ保持不变。带电粒子在中性气体中运动时受到气体的黏滞阻力与速度大小成正比,方向与速度方向相反,即Ff=-kv。不考虑带电粒子运动时的电磁辐射,不计重力。
(1)求E=0,k=0时,带电粒子运动的角速度ω0;
(2)求带电粒子运动速度的大小v和tan θ(用m、ω、k、q、B和E表示);
(3)求电场力的功率及功率的最大值;
(4)若电场力的功率减小为最大值的一半,求粒子速度的大小。
解析:(1)E=0,k=0时,带电粒子运动的周期T=
带电粒子运动的角速度ω0==。
(2)带电粒子在水平面内做匀速圆周运动,则粒子在运动方向上所受合力为零
qEcos θ=kv
解得带电粒子运动速度的大小v=
洛伦兹力与电场力的分力的合力提供向心力
qvB+qEsin θ=m
又ω=,解得tan θ=。
(3)电场力的功率P=qEvcos θ=
当θ=0时,功率的最大值Pm=。
(4)若电场力的功率减小为最大值的一半,则
P'=Pm==Eqv'cos θ,
解得v'=。
答案:(1)　(2)　
(3)　　(4)
7.(2024·山东高考)如图所示,在Oxy坐标系x>0、y>0区域内充满垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板,其两端分别位于x、y轴上M、N两点,∠OMN=60°,挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0(1)求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0;
(2)调整加速电压,当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动,求第一象限中电场强度的大小和方向;
(3)当加速电压为时,求粒子从小孔K射出后,运动过程中距离y轴最近位置的坐标。
解析:(1)根据题意,作出粒子垂直挡板射入小孔K的运动轨迹如图甲所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r=xNK=
在△OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有
qvB=m
在匀强加速电场中由动能定理有U0q=mv2
联立解得U0=。
(2)根据题意,当粒子在△OMN区域做圆周运动的轨迹半径最小时,粒子速度最小,则作出粒子以最小的速度从小孔K射出的运动轨迹如图乙所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r'=xNKcos 60°=
在△OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有
qv'B=m,即v'=
粒子从小孔K射出后恰好做匀速直线运动,由左手定则可知,粒子射出小孔K后受到的洛伦兹力沿x轴负方向,则粒子射出小孔K后受到的电场力沿x轴正方向,又粒子带正电,则△OMN之外第一象限区域电场强度的方向沿x轴正方向,大小满足qv'B=Eq
联立可得E=。
(3)在匀强加速电场中由动能定理有Uq=mv″2
可得v″=
在△OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有
qv″B=m
可得粒子在△OMN区域运动的轨迹半径r″=L
作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图丙所示
粒子射出K时,由几何关系有sin θ==
则有θ=60°
其中vy″=v″sin θ=
vx″=v″cos θ=
由配速法将运动分解为沿y轴方向的匀速直线运动和在xOy平面内的匀速圆周运动,
匀速圆周运动的半径为ry==L
匀速圆周运动的周期T=
粒子在复合场中运动+nT(n=0,1,2,…)时距离y轴最近,0~+nT时间内粒子在竖直方向上向上匀速运动的距离y'=vy″·+nT=+
小孔K的坐标为,,设粒子离y轴最近的坐标为(x,y)
x=-ry=
y=+ry+y'=+(n=0,1,2,…)
粒子离y轴最近的坐标为
,+(n=0,1,2,…)。
答案:(1)　(2),方向沿x轴正方向　(3),+(n=0,1,2,…)
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