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同步分层精练（四十五） 三种动态圆模型（平移圆、放缩圆、旋转圆）
1.(2025·邢台模拟)如图所示,在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为 B,∠a=60°,∠b=90°,边长ab=L,一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负电粒子以不同大小和方向的速度射入磁场,在磁场中运动时间最长的粒子中,速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用) (　 )
A. B.
C. D.
2.(多选)如图所示,纸面内半径为R、圆心为O的圆形区域外存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里
的匀强磁场,纸面内P、A两点的连线与圆形区域相切于A点,PA=2R。若P点处有一粒子源沿PA方向射出不同速率的带正电粒子(质量为m,电荷量为q,不计重力及粒子间的相互作用),则能射入圆形区域内部的粒子的速率可能为 (　 )
A. B.
C. D.
3.(2024·烟台一中月考)如图,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点,大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同的方向射入磁场,若粒子射入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用,则v2∶v1为 (　 )
A.∶2 B.∶1
C.∶1 D.3∶
4.(2025·武汉模拟)(多选)半径为R的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场(含边界),磁感应强度大小为B,P是直径上一点,且PO=。如图所示,质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子从P点垂直射入磁场,已知粒子的速度大小可调、方向始终与直径成θ=30°角,若从直径边界射出的粒子在磁场中的运动时间为t1,从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为t2。则 (　 )
A.t1= B.t1=
C.0由几何关系可知α=π-2θ=π,在磁场中的运动时间为t=T=,故从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为05.如图所示,宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正电的粒子组成。所有粒子的电荷量均为q、质量均为m,当三种速率的粒子水平向右进入匀强磁场,磁场方向垂直纸面向外。在入口处,紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为2d的薄吞噬板MN。忽略粒子重力及粒子间相互作用,若使这些粒子都能打到吞噬板MN上,则磁感应强度大小的取值范围是 (　 )
A.C.6.(多选)如图所示,四分之一圆环区域abcd内存在垂直纸面方向的匀强磁场,圆心为O,内圆半径为r。一比荷为=k的粒子从O点以速率v沿半径方向与Oa成30°角射入磁场,已知粒子运动轨迹与cd边相切并从b点离开磁场。不计粒子重力,则 (　 )
A.粒子在磁场中的加速度为
B.匀强磁场的磁感应强度为
C.粒子在磁场中的运动时间为
D.圆环区域ad边的长度为r
7.如图所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度的大小B=0.30 T。磁场内有一块足够大的平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l=32 cm处,有一个点状的α粒子放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是3.0×106 m/s。已知α粒子的比荷=5.0×107 C/kg。若只考虑在纸平面内运动的α粒子,则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是多少 (不计粒子重力及粒子间的相互作用)
8.如图所示,磁感应强度大小为B=0.15 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R=0.10 m 的圆形区域内,圆的左端与y轴相切于直角坐标系原点O,右端与很大的荧光屏MN相切于x轴上的A点。置于坐标原点的粒子源可沿x轴正方向射出速度不同的带正电的粒子流,不计粒子的重力及粒子间的相互作用,比荷=1.0×108 C/kg。
(1)请判断当粒子分别以v1=1.5×106 m/s和v2=0.5×106 m/s的速度射入磁场时,能否打到荧光屏上;
(2)要使粒子能打在荧光屏上,求粒子的速度v0的大小应满足的条件;
(3)若粒子的速度v0=3.0×106 m/s,且以过O点并垂直于纸面的直线为轴,将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°,求此过程中粒子打在荧光屏上离A点的最远距离。
同步分层精练（四十五） 三种动态圆模型（平移圆、放缩圆、旋转圆）
1.(2025·邢台模拟)如图所示,在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为 B,∠a=60°,∠b=90°,边长ab=L,一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负电粒子以不同大小和方向的速度射入磁场,在磁场中运动时间最长的粒子中,速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用) (　 )
A. B.
C. D.
解析:选D　由左手定则和题意可知,沿ba方向射入的粒子在三角形磁场区域内运动半个圆周时,运动时间最长,速度最大时粒子的运动轨迹恰好与ac相切,轨迹如图所示,由几何关系可得最大半径r=ab·tan 30°=L,由洛伦兹力提供向心力得qvmB=m,最大速度vm=,选项A、B、C错误,D正确。
2.(多选)如图所示,纸面内半径为R、圆心为O的圆形区域外存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里
的匀强磁场,纸面内P、A两点的连线与圆形区域相切于A点,PA=2R。若P点处有一粒子源沿PA方向射出不同速率的带正电粒子(质量为m,电荷量为q,不计重力及粒子间的相互作用),则能射入圆形区域内部的粒子的速率可能为 (　 )
A. B.
C. D.
解析:选CD　粒子的运动轨迹与圆形区域相切时如图所示,由几何知识得(r-R)2+(2R)2=(r+R)2,解得轨迹半径r=3R,粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得速率v=,故速率v'>的带正电粒子都可以射入圆形区域,A、B错误,C、D正确。
3.(2024·烟台一中月考)如图,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点,大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同的方向射入磁场,若粒子射入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用,则v2∶v1为 (　 )
A.∶2 B.∶1
C.∶1 D.3∶
解析:选C　根据作图分析可知,当粒子在磁场中运动半个圆周时,打到圆形磁场边界的位置距P点最远,若粒子射入的速率为v1,轨迹如图甲所示,设圆形磁场半径为R,由几何知识可知,粒子运动的轨迹半径为r1=Rcos 60°=R;若粒子射入的速率为v2,轨迹如图乙所示,由几何知识可知,粒子运动的轨迹半径为r2=Rcos 30°=R;根据轨迹半径公式r=可知,v2∶v1=r2∶r1=∶1,故C正确。
4.(2025·武汉模拟)(多选)半径为R的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场(含边界),磁感应强度大小为B,P是直径上一点,且PO=。如图所示,质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子从P点垂直射入磁场,已知粒子的速度大小可调、方向始终与直径成θ=30°角,若从直径边界射出的粒子在磁场中的运动时间为t1,从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为t2。则 (　 )
A.t1= B.t1=
C.0解析:选BC　从直径边界射出的粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示,根据qvB=m,又T=,联立解得T=,由几何关系可知,轨迹对应的圆心角为2π-2θ=π,则粒子的运动时间为t1=T=,故A错误;B正确;粒子恰好不从圆弧边界射出的运动轨迹如图乙所示,
由几何关系可知α=π-2θ=π,在磁场中的运动时间为t=T=,故从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为05.如图所示,宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正电的粒子组成。所有粒子的电荷量均为q、质量均为m,当三种速率的粒子水平向右进入匀强磁场,磁场方向垂直纸面向外。在入口处,紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为2d的薄吞噬板MN。忽略粒子重力及粒子间相互作用,若使这些粒子都能打到吞噬板MN上,则磁感应强度大小的取值范围是 (　 )
A.C.解析:选C　由分析可知,粒子束上边缘速率为v1=3v的粒子到达吞噬板上边缘时,半径最小,磁感应强度最大,根据qv1B1=m,由几何关系得R1=,可得B1=;粒子束下边缘速率为v2=5v的粒子到达吞噬板下边缘时,半径最大,磁感应强度最小,此时qv2B2=m,R2=d,可得B2=,所以磁感应强度大小的取值范围为6.(多选)如图所示,四分之一圆环区域abcd内存在垂直纸面方向的匀强磁场,圆心为O,内圆半径为r。一比荷为=k的粒子从O点以速率v沿半径方向与Oa成30°角射入磁场,已知粒子运动轨迹与cd边相切并从b点离开磁场。不计粒子重力,则 (　 )
A.粒子在磁场中的加速度为
B.匀强磁场的磁感应强度为
C.粒子在磁场中的运动时间为
D.圆环区域ad边的长度为r
解析:选BD　作出粒子在abcd区域内的运动轨迹如图所示,根据几何关系可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R=rtan 30°=r,粒子在磁场中的加速度为a==,故A错误;根据牛顿第二定律有qvB=m,解得B===,故B正确;粒子在磁场中运动的周期为T==,根据几何关系可知粒子在磁场中转过的圆心角为240°,所以运动的时间为t==,故C错误;根据几何关系可知abcd的外圆半径为r'=3R=r,所以圆环区域ad边的长度为ad=r'-r=(-1)r,故D正确。
7.如图所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度的大小B=0.30 T。磁场内有一块足够大的平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l=32 cm处,有一个点状的α粒子放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是3.0×106 m/s。已知α粒子的比荷=5.0×107 C/kg。若只考虑在纸平面内运动的α粒子,则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是多少 (不计粒子重力及粒子间的相互作用)
解析:α粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用R表示轨迹半径,有qvB=m,由此可得R=20 cm,由于2R>l>R,向不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S点,
可知,某一圆轨迹在图中N点左侧与ab相切,则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点;再考虑N点的右侧,任何α粒子在运动中与S点的距离不可能超过2R,以2R为半径、S为圆心作圆,交ab于N点右侧的P2点,为α粒子能打中的右侧最远点,粒子运动轨迹如图所示。根据几何关系可得NP1==16 cm
NP2==24 cm
所求长度为P1P2=NP1+NP2=16 cm+24 cm=40 cm。
答案:40 cm
8.如图所示,磁感应强度大小为B=0.15 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R=0.10 m 的圆形区域内,圆的左端与y轴相切于直角坐标系原点O,右端与很大的荧光屏MN相切于x轴上的A点。置于坐标原点的粒子源可沿x轴正方向射出速度不同的带正电的粒子流,不计粒子的重力及粒子间的相互作用,比荷=1.0×108 C/kg。
(1)请判断当粒子分别以v1=1.5×106 m/s和v2=0.5×106 m/s的速度射入磁场时,能否打到荧光屏上;
(2)要使粒子能打在荧光屏上,求粒子的速度v0的大小应满足的条件;
(3)若粒子的速度v0=3.0×106 m/s,且以过O点并垂直于纸面的直线为轴,将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°,求此过程中粒子打在荧光屏上离A点的最远距离。
解析:(1)粒子以不同速度射入磁场的运动轨迹如图甲所示,由几何知识得当粒子做圆周运动的轨迹半径r>R时,粒子沿图中①方向射出磁场,能打到荧光屏上;当粒子做圆周运动的轨迹半径r≤R时,粒子将沿图中②、③方向射出磁场,不能打到荧光屏上。当粒子速度为v1时,由洛伦兹力提供向心力,得qv1B=m,解得r1=R>R,故能打到荧光屏上;同理,当粒子的速度为v2时,
解得r2=R(2)设当v0=v3时,粒子恰好打不到荧光屏上,则这时粒子沿图甲中②方向从磁场的最高点竖直向上射出磁场。由几何关系可知,粒子在磁场中的轨迹半径r3=R,
由洛伦兹力提供向心力,
得qv3B=m,
解得v3=1.5×106 m/s
由分析可知,当v0>1.5×106 m/s时,粒子能打在荧光屏上。
(3)设速度v0=v4=3.0×106 m/s时,粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r4,由洛伦兹力提供向心力,得qv4B=m,解得r4=2R,
如图乙所示,粒子在磁场中运动的轨迹是以E点为圆心、以r4为半径的一段圆弧。因圆形磁场缓慢转动,故磁场边界变为以O为圆心、以2R为半径的圆弧ABE,粒子的运动轨迹圆弧与其交点为B,当A点恰好转至B点,此时粒子的出射点为B,在磁场中的偏转角α最大为60°,射到荧光屏上的P点离A点最远,由几何知识得AP=CAtan α=(2R-r4tan 30°)tan 60°= m。
答案:(1)速度为v1时,能打到荧光屏上;速度为v2时,不能打到荧光屏上　(2)v0>1.5×106 m/s　(3) m
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