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2025年九年级中考数学不规则扇形阴影面积
考前冲刺专题提升训练
1．如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求线段的长及阴影部分的面积．
2．如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
3．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由：
(2)若，，求阴影部分的面积．
4．如图，是的直径，点C是上的一点，点F是的中点，连接并延长至点D，交于点A，连接，．
(1)证明：为的切线；
(2)若，．
①求的长；
②求阴影部分的面积．
5．如图，在中，，点在上，经过点，分别与、相交于点D、E，与相切于点于点，连接交于点．
(1)求证：直线与相切；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
6．如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，且
(1)求证：为的切线；
(2)已知：，
①求的长；
②求阴影部分的面积．
7．如图，是的直径，为上一点（不与点重合）连接，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分面积．
8．如图，在中，，以腰为直径作，交于点D，交于点E．
(1)求证：．
(2)连结，若，，求图中阴影部分的面积．
9．如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)已知，求阴影部分的面积．
10．如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交的延长线于点D，且．
(1)求的度数；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
11．如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
12．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求图中阴影部分的面积．
13．如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且．
(1)求证：；
(2)若垂直平分，，求阴影部分的面积．
14．如图，内接于，是的直径，的切线交的延长线于点P，交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
15．如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：与相切；
(2)当时，求阴影部分的面积．
参考答案
1．(1)证明见解析
(2)，阴影部分的面积为
【分析】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
（1）连接，，利用得出垂直平分，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明；
（2）设的半径为，则，，在中，利用列式求出，利用， 求出，则，即可求出和，则可求出，求出，利用即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，，
为的切线，
，
．
，
，
即垂直平分，
．
在和中，
，
，
，
．
又是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，，
由（1）可知．
，
，
解得：，
，
，
，
，
，，
．
，
，
．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由等边对等角可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）由三角形的内角和定理可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
即图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理，求其他不规则图形的面积，三角形的面积公式，求扇形面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
3．(1)相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，得出，即，即可得证；
（2）解求得，，由计算即可．
【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切，理由如下：
如图，连接，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴直线与相切；
（2）解：连接
∵，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理、扇形面积、解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
4．(1)见解析
(2)①2；②
【分析】（1）先根据圆周角定理得出，结合中位线定理推出，进而得出即可求证；
（2）①设的半径为，推出，则，得到，然后利用勾股定理即可求解；
②由①知，，推出，，最后根据阴影部分的面积的面积扇形的面积，即可求解．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
点是的中点，点是的中点，
∴，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
（2）解：①设的半径为，
，
由（1）知，
，
∴，
∴；
②由①知，，
，
阴影部分的面积
的面积扇形的面积
．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，求扇形面积等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接．证明．由是的半径，即可得到结论；
（2）设的半径为，连接．证明四边形是正方形．得到．在中，，即，解得，利用进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵
∴．
∵，
∴
∴．
∵
∴．
∵是的半径，
直线与相切．
（2）设的半径为，连接．
∵与AB相切于点
∴．
，且
∴四边形是正方形．
∵
∴．
在中，，即，
解得（负值舍去）．
∵是正方形的对角线，
是等腰直角三角形．
．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质、扇形面积公式、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，证明直线与相切是解题的关键．
6．(1)证明见解析
(2)①，②
【分析】（1）连接，由圆的基本性质得，结合等腰三角形的性质得，由直径所对的圆周角是直角得，即可求解；
（2）①运用斜边上的中线等于斜边的一半，得，即可作答；
②由勾股定理得，由即可求解；
【详解】（1）证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
为的切线；
（2）解：①，
，
，
，
，
②，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，切线的判定，等边三角形的判定与性质，求扇形中不规则图形的阴影部分面积；掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，能将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由折叠可得，，根据题意可得，则，即，根据切线的定义即可求证；
（2）连接，过点作于点，根据圆周角定理得到，，由含角的直角三角形的性质得到，，则，同理得到，，，则，，根据代入求值即可．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点作于点，

∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查切线的证明，垂径定理，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，不规则图形面积的计算，扇形面积的计算方法，掌握切线的证明方法，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算方法是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可得结论；
（2）连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：，由圆周角定理可得：，最后结合直角三角形性质，以及面积和求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
中，，，
，，
图中阴影部分的面积，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，得出，结合角平分线的定义得出，由垂径定理得出，即可得证；
（2）连接、，由（1）可得：，求得，，，解直角三角形得出，，再由计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接、，
由（1）可得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积计算、垂径定理、解直角三角形、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，正确地作出辅助线是解此题的关键．
10．(1)；
(2)
【分析】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．
（1）连接，由切线的性质，推出，由，推出，据此求解，即可解决问题；
（2）先求得，利用三角形面积公式和扇形面积公式，进而可求出图中阴影部分的面积．
【详解】（1）解：连接，

∵过点C的切线交的延长线于点D，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
在中，∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可；
（2）根据三角函数的定义得到，求得，再求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，交于点，
，
，
又为的内心，
，
，
∴，
∴，
又为的直径，
，
，
又∵，
，
∴是的切线；
（2）解：，
，
，
又，
，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）根据等边对等角和角平分线的定义可得出，则可判断，根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证；
（2）根据勾股定理求出，然后根据求解即可．
【详解】（1）证明：，
．
平分，
．
．
．
．
，
．
即．
是的切线．
（2）解：在中，
，，
，．
．
．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，扇形的面积．
（1）连接，，交于，由切线得到，再由结合垂径定理得到，即，则；
（2）连结、，由垂直平分，得到，则为等边三角形．，推出，得到，，最后根据计算即可．
【详解】（1）证明：连接，，交于，
∵的切线，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连结、，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形．
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
14．(1)证明过程见解答
(2)阴影部分的面积为
【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，由切线的判定可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出，可得出，求出，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积的面积扇形的面积．
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到即可证明结论；
（2）先证明可得是等边三角形，即、，进而得到、，最后结合即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴与相切．
（2）解：∵，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、求解扇形的面积等知识点，熟练的证明圆的切线是解本题的关键．

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