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2025年九年级中考数学复习-几何模型之旋转模型
1．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
(1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；
(2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，；
(3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系．
2．问题背景：已知的顶点在的边上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．

（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则 ；
类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；
（2）延伸拓展：当为等腰三角形时，设．
（Ⅰ）如图③，当点在线段上运动时，设，，则的表达式为 （结果用，和的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，求的表达式，写出解答过程．
3．（1）如图1，在中，，，，点D、E分别在边CA，CB上，且，，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是什么？请说明理由.
（2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）将绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，求CF的长.
4．已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是E．点F是点E关于的对称点，连接．

(1)求和的长；
(2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值．
(3)如图②，将绕点B顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q．当为等腰三角形时，直接写出的长．
5．综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转．
(1)观察猜想
若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为　　；
(2)类比探究
若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值．
6．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在中，，点D，E分别在边上，，连接，M是的中点，连接．

(1)观察猜想
请直接写出与的数量关系和位置关系；
(2)类比探究
将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)解决问题
若，将图① 中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值．
7．【特例感知】
（1）如图，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图，和是等腰直角三角形，，写出线段与的数量关系，并说明理由；
【拓展运用】
（3）如图，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值．
8．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．
(1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了．
根据以上信息，请填空：
①；
②线段，，之间的数量关系为__________；
(2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；
(3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长．
9．如图，在平而直角坐标系，点A、B的坐标分别为，，且，将点B向右平移24个单位长度得到C．

(1)求A,B两点的坐标：
(2)点P，Q分别为线段，两个动点，P自B点向C点以2个单位长度/秒向右运动，同时点Q自A点向O点以4个单位长度/秒向左运动，设运动的时间为t，连接，当恰好平分四边形的面积时，求t的值：
(3)点D是直线上一点，连接，作，边与的延长线相交于点E，平分平分，当点Q运动时，的度数是否变化 请说明理由．
10．如图，在中，，，，点为边的中点，点为上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转至，以和为边作正方形．
(1)________．
(2)当正方形面积最小时，求的值．
(3)当点落在内部时，求的取值范围．
(4)连接，当与的某一边垂直时，直接写出的值．
11．已知，在中，，，E是边上一点．
(1)如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，，求的面积；
(2)如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．证明：；
(3)如图3，已知，连接，P为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最大值时，请直接写出的值．
12．在中，，是上一点．
(1)如图1，是中点，，，，求线段的长度；
(2)如图2，，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，当时，试猜想与的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，，连接，若，直接写出的最小值．
13．在和中，，，，若，．
(1)如图1，当点在线段上时，连接，求；
(2)如图2．将图1中绕着点旋转，使点在的内部，连接，．线段，相交于点，且，此时_______；
(3)如图3，在绕着点旋转过程中，当点落在线段上时，过点作交直线于点，直接写出的面积．
14．在中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，若，，，求线段的长度．
(2)如图2，点为线段的中点，连接，若，猜想，，的数量关系．
(3)如图3，当时，过点作射线的垂线，垂足为点．点为直线上的一个动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，取的中点为点，连接，当线段取得最小值时，将沿直线翻折至所在平面内得到，过点作线段的垂线，垂足为点，连接，直接写出的值．
15．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、．
观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______；
探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由．
解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长．
参考答案
1．(1)能得到，证明见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）由可得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）证明，即可得解．
【详解】（1）解：能得到．
证明：∵四边形为正方形，
∴，，
又∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：当时，．
理由：∵，
∴，
∴，
又∵四边形和四边形均为菱形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（1）；类比探究：；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ），过程见解析
【分析】（1）如图，过点作于点，过点作于点，首先证明，都是等边三角形，然后根据锐角三角函数和三角形面积公式可得，，即可求出；
类比探究：如图，过点作于点，过点作于点，设，，证明，可得，即，推出，然后由，，即可求出的值；
（2）（Ⅰ）如图，如图，过点作于点，过点作于点，设，，证明，推出，，，即可求出的值；
（Ⅱ）结论不变，解答方法类似．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，过点作于点，
∵是等边三角形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，都是等边三角形，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：；

类比探究：如图，过点作于点，过点作于点，设，，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴的值为；

（2）（Ⅰ）如图，如图，过点作于点，过点作于点，设，，
∵是等腰三角形，，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴的值为，
故答案为：；

（Ⅱ）如图，过点作于点，过点作于点，设，，
∵是等腰三角形，，，，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴的值为．

【点睛】本题考查几何变换综合题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．（1）．理由见详解；（2）成立，理由见详解；（3）或．
【分析】（1）延长到点，使得，连接，先证明（），然后证明，再根据余角的性质，即可得到结论成立；
（2）延长到点，使得，连接，证明方法与（1）相同，先证明（），然后证明，再根据余角的性质，即可得到结论成立；
（3）由题意可知，当点、、三点在同一条直线上时，可分为两种情况进行讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时；分别求出的长度，即可得到答案．
【详解】解：（1）延长到点，使得，连接，如图1，
，，，
，
，，，
，
点是的中点，
，
，，
（），
，，
，
；
，
，
；
，
，
，
．
故答案为：．
（2）（1）中的结论仍然成立；
理由如下：
延长到点，使得，连接，如图2,
点为的中点，
，
，
（）；
，，
；
，
；
，
，
，
，
；
，
，
，
．
（3）由题意可知，当点、、三点在同一条直线上时，可分为两种情况进行讨论：
①当点在线段上时，延长到点，使得，连接，如图，
由（）可知，，，
在中，，，
；
在中，，，
；
在中，，
，
；
；
②当点在线段的延长线上时，延长到点，使得，连接，如图4，
由①可知，，，
，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理，以及余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，运用分类讨论的思想进行分析．
4．(1)，
(2)当点落在上时，，当点落在上时，
(3)的长度分别为2或或或．
【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如图所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
∵点F是点E关于的对称点，
，，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
（2）解：设平移中的三角形为，如图所示：

由对称点性质可知，．，
由平移性质可知，，，．
①当点落在上时，
，
，
，
，即；
②当点落在上时，
，
，
，，
，
又易知，
为等腰三角形，
，
，即；
（3）解：存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰依次有以下4种情形：
①如图所示，点Q落在延长线上，且，则，

，
，，
，
，
．
在中，由勾股定理得：．
；
②如图所示，点Q落在上，且，则，

，
，
，
则此时点落在边上．
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
；
③如图所示，点Q落在上，且，则．

，，
．
，
．
，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
；
④如图所示，点Q落在上，且，则．

，，，
，
，
．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使为等腰三角形；的长度分别为2或或或．
【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．
5．(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）由旋转性质和“”可证，即可求解；
（2）由旋转性质和“”可证，可得，由外角的性质可得结论；
（3）先证明是等腰直角三角形，可得，则当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即可求面积最大值．
【详解】（1）解：如图1，，
，
，
，
，
，
，
由旋转得:
,
,
在和中
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
理由如下：如图，设与的交点为点P，
绕点A旋转到如图3所示的位置，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的外角，也是的外角，
，
，
；
（3）解： M，P，N分别是，，的中点，
，，
，，
，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∴当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即面积有最大值，
的最大值为，
面积的最大值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形的外角性质，掌握“手拉手”型的旋转模型、线段和最值问题的解法，灵活运性质解决问题是解题的关键．
6．(1)
(2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析
(3)的最大值为3，最小值为1
【分析】（1）证明，得到，由，推出，根据，得到，进而得到，即可得出结论；
（2）延长至点F，使，连接，证明，为的中位线，即可证明结论；
（3）利用（1）（2）的结论可知，当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，结合图形计算即可．
【详解】（1）解：
∵
∴
∴
∵M是的中点
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴；
（2）证明：（1）中的结论仍然成立，证明过程如下
如图① ，延长至点F，使，连接，
∵
∴
∴
∴
∵M是的中点，
∴为的中位线，
∴
又∵
∴
∵，
∴，
∴；
（3）解：的最大值为3，最小值为1
如图②和图③ ，利用（1）（2）的结论可知，
当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，
当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，
的最大值为，
的最大值为3；
的最小值为，
的最小值为1
【点睛】本题是三角形综合题，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征，旋转的性质，三角形中位线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
7．（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可得线段与的数量关系；
（2）通过证明，可得结论；
（3）通过证明，可得，则点的运动路线是以为圆心，为半径的圆，即可求解．
【详解】解：（1）线段与的数量关系是：．
理由：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）．
理由：∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点作，且，连接，，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴点的运动路线是以为圆心，为半径的圆，
∴当在的延长线上时，的值最大，最大值为：，
∴的最大值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
8．(1)①；②
(2)仍然成立，证明见解析
(3)或
【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解；
②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可；
（2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可；
（3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②绕点顺时针旋转得到，，
∴，，，
∴，即，，三点共线，
∵，，
∴，
在和中，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）仍然成立．
证明：∵，
∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合，
∴，，，，
又∵，
∴，即，，三点共线，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图所示，当时，
∵，，
∴，，
∴，，
将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
如图所示，当时，
将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，则，
由（1）得，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键．
9．(1)，
(2)
(3)或，理由见解析
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b的值即可得到答案；
（2）根据平分四边形的面积，即可得到根据梯形面积公式即可得到，然后列式求解即可得到答案；
（3）分三种情况：当D在线段的延长线上时；当D在线段的延长线上时；当D在线段上时；利用角平分线的定义求解即可.
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
解得：
∴，；
（2）解：∵点B向右平移24个单位长度得到C，
∴，
设，，，，
∵平分四边形的面积，
∴
∴
∴
∴
解得；
（3）解：当点Q运动时，的度数有变化，理由如下：
如图，当D在线段的延长线上时，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴；

同理求得当D在线段的延长线上时，；

当点D在线段上时，

∵平分，平分，
∴，，
设
∵
∴，
∴，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对的非负性，梯形面积公式，角平分线的定义，利用分类讨论的思想是解题的关键.
10．(1)
(2)2
(3)
(4)或
【分析】本题考查旋转性质、勾股定理、锐角三角函数、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，画出对应图形，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键．
（1）先利用勾股定理求得，再利用正弦定义求解即可；
（2）过D作于H，则，利用锐角三角函数求得的值；根据正方形的面积公式和垂线段最短得到当时，最小，此时，正方形的面积最小，点E与H重合，进而可求解；
（3）分当点F在边上时和当F在边上时，画出图形，利用全等三角形的判定与性质及正方形的性质，结合锐角三角函数求解即可；
（4）分当对角线，，时，画出对应的图形，根据正方形的性质，结合锐角三角函数定义分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：过D作于H，则，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴正方形面积，当时，最小，此时，正方形的面积最小，点E与H重合，
∴，
即当正方形面积最小时，的值为2；
（3）解：当点F在边上时，如图，则，即，
由（2）知；
当F在边上时，如图，过D作于H，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
由得，
故当点落在内部时，的取值范围为；
（4）解：当对角线于H时，如图，则E、G在上，
∴，，此时；
当对角线时，如图，设与交于M，则，，
∴
过E作于N，则四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
由得；
当对角线时，
∵正方形的对角线，互相垂直且平分，为上一点，
∴点E与C重合，点G与点A重合，
∴，
但，点为边的中点，
∴，
∴不符合题意，故舍去，
综上，满足条件的x值为或．
11．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，可得，由三角形的面积公式可求解；
（2）作辅助线如解析图，证明，可得，进一步可得，证明，可得，从而可得结论；
（3）作辅助线如解析图，可得当点，P，N三点共线时，有最小值，由折叠的性质可得，进而得点K在以C为圆心，为半径的圆上运动，可得当点K落在的延长线上时，有最大值，然后由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：如图1，过点F作直线于H，

∵将绕点逆时针旋转至，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
（2）证明∶如图2，过点M作，交直线于点G，过点E作，交于Q，

∵，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点E顺时针旋转至，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作点C关于的对称点，连接，

∵点Q是点P关于直线的对称点，
∴平分垂直平分，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点C与点关于对称，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴当点，P，N三点共线时，有最小值，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴点K在以C为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点K落在的延长线上时，有最大值，
∵为等边三角形，，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∵，，
∴，，

∴，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，确定点P的位置是解题的关键．
12．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）过点E作交于点G，由题意得到，利用勾股定理得到，根据是中点，，得到，推出是等腰三角形，即得到，利用勾股定理求出，，即可求出的长；
（2）延长，在延长线上截取，取的中点Q，连接，证明，得到，设，则，根据点C，Q分别为的中点推出，得到，由三角形外角的性质得到，推出是等腰三角形，故得到，即可得出结论；
（3）连接，取的中点P，连接，将绕点G逆时针旋转得到，过点P作，交于点S，交于点T；根据是等腰直角三角形，得，利用勾股定理求得，则，由题意证明，得到，进而得到，是等腰直角三角形，推出，，此时当点N与点T重合时，有，有最小值，则有最小值，最后根据，利用锐角三角函数求解出的长即可得出的长，即可得出结果．
【详解】（1）解：如图，过点E作交于点G，
，，
，即，
，
，即，
，，
是中点，，
，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，延长，在延长线上截取，取的中点Q，连接，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，，
，
，，
，
，
设，则，
点C，Q分别为的中点，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，即；
（3）解：如图，连接，取的中点P，连接，将绕点G逆时针旋转得到，过点P作，交于点S，交于点T；
是等腰直角三角形，点P是的中点，
，，，
，
，
，则，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
如图，此时当点N与点T重合时，有，有最小值，则有最小值，
，
在中，，
，
，
都是直角三角形，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了三角形综合问题，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解直角三角形，正确构造辅助线，证明三角形全等和构造直角三角形是解题的关键．
13．(1)
(2)
(3)的面积为或
【分析】（1）过点B作，交的延长线于点F，求出,，即可求出的值；
（2）过点D作于点H，过点A作于点G，连结，先证明，得到，进一步推得，然后证明，得到，可知点D在上，由此即可得到答案；
（3）当点E在左上方时，过点C作于点M，过点E作于点N，延长交于点T，设交于点，利用和逐步求出，，，求得，的值，最后再利用相似三角形的性质即可求得答案．
【详解】（1）如图1，过点B作，交的延长线于点F，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
在中，；
（2）如图2，过点D作于点H，过点A作于点G，连结，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
点D在上，
，
，
故答案为：．
（3）当点E在右下方时（如图3），
过点C作于点M，过点E作于点N，延长交于点T，设交于点，
，， ，
，
，， ，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得；
当点E在右下方时（如图4），
同理可求得，，，，
；
综上所述，的面积为或．

【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了图形的旋转，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义等知识，构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作于，解求得和，解求得和，进一步得出结果；
（2）将绕点顺时针旋转至，连接、，可推出是直角三角形，进而得出，结合推出，，从而得出是的中位线，进一步得出结果；
（3）取的中点，连接，可推出，从而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点，当点运动到′处时，最小；作于，设交于，可推出，进而得出，设，则，，，，进而得出结果．
【详解】（1）解：如图1，过点作于，
∴，
∵，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴线段的长度为；
（2）．理由如下：
如图2，将绕点顺时针旋转至，连接、，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴垂直平分，即，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，取的中点，连接，
∵，过点作射线的垂线，
∴，
∴，
∴，
∵将沿直线翻折至所在平面内得到，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于点，当点运动到′处时，最小，
如图4，作于，设交于，
∵过点作线段的垂线，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵将沿直线翻折至所在平面内得到，过点作线段的垂线，垂足为点，连接，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质和折叠的性质，解直角三角形，垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，确定圆的条件，勾股定理等知识，解决问题的关键利用旋转将条件集中．
15．（1）；（2），理由见解析；（3）或
【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解；
（2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解；
（3）点、、三点共线，分类讨论，根据（1），（2）中的结论即可求解．
【详解】解：．
理由：如图所示，连接，设交于点，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵点为中点，
∴，平分，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在四边形中，
，
∴，
故答案为：；
（2）．
理由：如图所示，连接，
由（1）可知：，
∵、、三点共线
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（3），，、、三点共线，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
①如图所示，连接，
由（2）可知：，
由（1）可知：，，
∴，，
在中，，
∴，
∴；
②如图所示，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
由（1）可知：，，
∴，，
在中，，
∴，
∴（此时，不符合题意，舍去）；
③如图所示，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
由（1）可知：，，
∴，，
在中，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等角对等边，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．

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