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2025年吉林省四平市中考数学模拟试卷（三）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法：若，则，互为相反数；；如果是有理数，那么一定大于：若，则其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.年四平市的总量约为亿元，其中亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图，由个小正方体搭建而成的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.如图，，点为的中点，平分，且，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，与轴的负半轴交于点是上的一个动点，的中点为当点也落在上时，的值等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，共23分。
7.计算______．
8.某一元一次不等式组的负整数解为、，那么这个一元一次不等式组可以是______只写一个
9.如图，在矩形中，，，为对角线的中点，作的平分线交于点，为上的动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为______．
10.如图，中，，若沿图中虚线剪去，则______
11.在 中，，，点、分别为、的中点，沿折叠平行四边形，使线段落在直线上，点的对应点为，点的对应点为，若，则的长为______．
12.八年级一班共有名学生，他们身高的频数分布直方图如图，各小长方形的高的比为：：：：，则身高范围在______的学生最多，是______人．
三、解答题：本题共10小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
化简求值：，其中．
14.本小题分
随着新课程标准的颁布，为落实立德树人的根本任务，我县各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了“青少年科技馆”，“中都文庙”，“城市展馆”，“莲花湖湿地公园”四个研学基地组织研学活动学校想从选择研学基地的四名学生中选取两名学生，了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地的四名学生中恰好有两名女生．
请用列表或画树状图的方法列举出所有可能的情况；
求出所选两人都是男生的概率．
15.本小题分
某社区准备新建个停车位，以解决社区内停车难的问题已知信息如表：
新建地上停车位个 新建地下停车位个 共需资金万元
该社区新建个地上停车位和个地下停车位各需多少万元？
若该社区以预计投资金额不超过万元且地上停车位不超过个，求共有几种建造方案？
已知每个地上停车位月租金元，每个地下停车位月租金元在的条件下，新建停车位全部租出，求月租金收入最高是哪种方案？
16.本小题分
如图，反比例函数的图象经过的顶点，．
在图中，轴，，点的坐标为，求的值；
在图中，已知点，点在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式及的值．
17.本小题分
已知正比例函数的图象与反比例函数为常数，的图象有一个交点的横坐标是．
求两个函数图象的交点坐标．
若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较，的大小．
18.本小题分
某课外活动小组准备利用光的反射原理来测量居民楼的高度如图，小组首先利用测角仪从点处测得居民楼顶端的仰角为，在测角仪和居民楼之间水平光滑的地面放置一个平面镜，当平面镜位于点处时，观测的同学恰好能从点处看到居民楼顶端，此时测得米已知测角仪的高度米，点，，，，在同一竖直平面内，且点，，在同一条水平直线上．
求．
求居民楼的高度结果精确到米，参考数据：，，
19.本小题分
某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量件与每件的售价元之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示．
求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围．
若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由．
20.本小题分
如图，菱形中，，点从出发，以的速度沿边、、匀速运动到终止，点从与同时出发，沿边匀速运动到终止，设点运动的时间为的面积与之间函数关系的图象由图中的曲线段与线段、给出．
求点运动的速度；
求图中线段的函数关系式；
问：是否存在这样的，使将菱形的面积恰好分成：的两部分？若存在，求出这样的的值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
是等边三角形，点，分别在边，上，若．
如图，求证：；
如图，为的平分线，点在的延长线上，连接，，，求证：；
如图，在的条件下，延长交的延长线于点，点在线段上，，连接交于点，，，求的长．
22.本小题分
如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与轴相交于，两点点在点右侧，与轴交于点．
求抛物线的解析式和、两点的坐标；
若点是抛物线上、两点之间的一个动点不与、重合，连结交直线于点设点的横坐标为，：，求与的函数关系式，并求出：的最大值；
若是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若，则，互为相反数，故正确；
，故错误；
如果是有理数，那么不一定大于，例如，则：；故错误；
若，则，故错误；
综上：正确的只有个．
故选：．
2.【答案】
【解析】【亿用科学记数法表示为．故选C．
3.【答案】
【解析】解：关于的方程有实数根，
，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】从上面看易得第一排个正方形，第二排有个正方形，第排有个正方形．
故选 C．
5.【答案】
【解析】解：作于，如图所示：
平分，，，
，
是的中点，
，
，
，，
是的平分线，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】试题分析：先构造直角三角形，根据三角形中位线定理分别求出、的长，再根据余弦的定义即可求出结果．
当点运动到恰好点落在上，
连接，，，再连接并延长交于点，则直径所对的圆周角是直角
、分别是、的中点，
，
点坐标为，与轴的负半轴交于．
，
在中，
．
故选 C．
7.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
8.【答案】
【解析】解：例如，答案不唯一．
故答案为如，答案不唯一．
9.【答案】
【解析】解：如图所示，过作于，
平分，，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值为的长，
，，
，，
又为的中点，
，
，
，
的最小值为，即的最小值为，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：中，，
，
，
．
故答案为：．
11.【答案】或
【解析】解：当点在线段上时，
，
，
，
，
；
当点在线段延长线上时，
，
，
，
，
；
故答案为或．
12.【答案】；
【解析】解：八年级一班共有名学生，他们身高的频数分布直方图如图，各小长方形的高的比为：：：：，
最高的即表示在这个身高范围内的学生最多，
这个身高范围内的学生最多，
这个身高范围内的学生有：人．
故答案为：，．
13.【答案】解：原式
，
当时，原式．
14.【答案】解：基地的学生中恰有两名女生，则有名男生，画树状图如下：
有可知共有种等可能的结果，其中所选人都是男生的结果有种，
所选人都是男生的概率为．
15.【答案】解：设该社区新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元，
由题意得：，
解得：，
答：该社区新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元；
设新建个地上停车位，则新建个地下停车位，
由题意得：，
解得：，
，
，
又为正整数，
，，，，
答：共有种建造方案；
设月租金收入为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
，
当时，有最大值，
此时，，
答：建造地上停车位个，地下停车位个，月租金收入最高．
16.【答案】解：的顶点，．
，
轴，，点的坐标为，
，
，，
，
，
解得，舍去，
的值为．
如图，作轴于，轴于，
点，．
，，
点，点，
，，
．
，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
，
反比例函数的图象经过点，，
，
解得，
，
反比例函数的解析式为，
，
，
，
．
17.【答案】解：将代入正比例函数的图象与反比例函数中，得：，
解得：，
正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为．
，
即，
得．
两函数图象交点的坐标为，；
反比例函数的图象分别在第二，四象限内，在每一象限内的值随值的增大而增大，
当时，，
当时，因为，，所以，
当，时，．
18.【答案】；
该居民楼的高度约为米．
【解析】根据题意，可得．
，
；
过点作，交于点．
．
由，可得，设，，
则，．
，
解得，
米．
答：高度约为米．
19.【答案】；
商品日利润能达到元，此时每件的售价为元或元．
【解析】由题意，设与之间的函数关系式为．
根据图象，可得该函数图象经过点，，将其代入函数关系式，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
能．
由题意列方程得，，
整理得，，
解得，．
即商品日利润能达到元，此时每件的售价为元或元，
答：商品日利润能达到元，此时每件的售价为元或元．
20.【答案】解：由题意，可知题图中点表示点运动至点时的情形，所用时间为，则菱形的边长．
此时如答图所示：
边上的高，
，解得，
点的运动速度为：．
由题意，可知题图中段表示点在线段上运动时的情形．如答图所示：
点运动至点所需时间为：，点运动至点所需时间为，至终点所需时间为．
因此在段内，点运动至点停止运动，点在线段上继续运动，且时间的取值范围为：．
过点作交的延长线于点，则．
，
段的函数表达式为：．
菱形的面积为：．
当点在上运动时，将菱形分成和五边形两部分，如答图所示．
此时的面积，
根据题意，得，
解得舍去负值；
当点在上运动时，将菱形分为梯形和梯形两部分，如答图所示．
此时，有，即，
解得
存在和，使将菱形的面积恰好分成：的两部分．
21.【答案】证明：为等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
．
证明：作于，交的延长线于．
，，，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
是等边三角形，
，，
≌，
，
，
，，
，
．
解：如图中，作于，于，于．
，，，
，
，，
≌，
，
是等边三角形，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，，
≌，
，
，，
≌，
，
设，，，
则有，，
，
．
22.【答案】解：函数的对称轴：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，解得：或，故点、的坐标分别为：、，而点；
将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
设点，，
同理直线的表达式为：，
联立并解得：，
：，则：，
即：：，
整理得：，
，故有最大值；
设点，则点，
则，
解得：或或，
故点的坐标为：或或或
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