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2025年吉林省四平市中考数学模拟试卷（二）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，，则下列判断一定正确的是( )
A. B. C. D.
3.小聪用八个同样大小的小立方块搭成一个大正方体，从正面、左面和上面看到的形状图如图所示，现在小聪从中取走若干个，并使得到的新几何体从三个方向看的形状图不变，则他取走的小立方块最多可以是个
A. B. C. D.
4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，的对应边交于点，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，点、、在圆上，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.若正比例函数的图象与的图象平行，则 ______．
8.如图，工人师傅在砌门口时，常用木条固定四边形门框，使其不变形，请问这种做法的根据是______．
9.如图，将两个正方形拼在一起，，，在同一直线上，连接，，，当时，的面积记为，当时，的面积记为，，以此类推，当时，的面积记为，则 ______．
10.一个无盖长方体包装盒展开后如图所示单位：，则其容积为______．
11.一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点为圆心，为半径的圆的一部分，是中弦的中点，经过圆心交于点若，则隧道的高的长为_______．
三、解答题：本题共11小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
月历中有很多奥秘，我们可以发现其中某些数满足一定的规律如图是年月份的月历，用一个正方形任意框出个数，将这个数先平方，然后交叉相加，再相减，结果都是一定的，例如：
，
．
请你用这个正方形再框出个数，验算一下，看看是否符合这个规律；
把框出的个数中左上角的数记为，请用含的式子把这个规律表示出来；
请利用整式的运算对以上规律加以证明．
13.本小题分
某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买品牌足球共花费元，品牌足球共花费元，且购买品牌足球数量是品牌数量的倍，每个足球的售价品牌比品牌便宜元．
求去年品牌足球和品牌足球的单价；
今年需要从该店再购买、两种足球共个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，品牌比去年降低了元，品牌比去年提高了，如果今年购买、两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个品牌足球？
14.本小题分
如图，在 中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以点、为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，、相交于点．
证明：；
请你利用无刻度直尺和圆规作，交于不写作法，保留作图痕迹，若，，求线段的长．
15.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点均在网格的格点处．
请写出，，的坐标；
三角形的坐标分别为，，．
请在图中画出三角形；
三角形能否由三角形通过平移得到？如果能，请写出平移的过程．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．
求一次函数和反比例函数的表达式；
延长交反比例函数图象于点，点在轴正半轴上，，求的面积．
17.本小题分
郑州外国语中学为了解学生课下阅读所用时间的情况，从各年级学生中随机抽查了一部分学生进行统计，下面是针对此次统计所制作的不完整的频数分布表和频数分布直方图，请根据图表信息回答下列问题：
表中____________；
请补全频数分布直方图；
样本中，学生日阅读所用时间的中位数落在第______组；
该校共有学生人，请估计学生日阅读量不少于小时的人数．
组别 时间段小时 频数 频率
18.本小题分
如图所示，某海域直径为海里的暗礁区中心有一哨所，值班人员发现有一轮船从哨所的正西方向海里的处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了海里到达处，此时哨所第二次发出紧急信号．
若轮船收到第一次危险信号后，为避免触礁，航向改变角度应至少为东偏北度，求的值；
当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度？
19.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离．
20.本小题分
已知菱形，，分别为菱形外的两点，且，，三点共线，交于，连接，，，，求证：．
21.本小题分
在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
如图，当时，连接，请用含有的代数式表示；
如图，若点恰好落在边上，点、分别在、上，，求证：；
如图，当，，时，点、分别是线段、上的动点，且，过作，，连接，直接写出的最大值．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交轴于点，动点在对称轴上．
求抛物线的解析式．
若点从点出发，沿方向以个单位长度秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点且平行于轴的直线交抛物线于点，连接，，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：原式，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、，，
，选项错误，不符合题意；
B、，，
，，
不一定成立，选项错误，不符合题意；
C、若，
，
，即，与已知不符合，选项错误，不符合题意；
D、若，
，
，即，与已知符合，选项正确，符合题意；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由三视图可知：该几何体上下共有两层，要使新几何体从三个方向看的形状图不变，最下面一层的四个是不变的，从左面看第一列的上面一层可以拿掉一个，第二列的上面一层可以拿掉一个，所以最多可以拿掉个，选项正确，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的取值可以是，不能为或或．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：将绕点沿逆时针方向旋转得到，过点作，垂足为，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
解得，
的面积，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
而，
．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：正比例函数的图象与的图象平行，
，
故答案为：．
8.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：做法的根据是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性解答．
9.【答案】
【解析】解：连接，则，，
的边上的高与的边上的高相等，
，
当时，，
，
，
．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，
该长方体的高为：，该长方体的宽为：，
长方体的长为：，
其容积为
故答案为：．
11.【答案】
【解析】是弦的中点，
根据垂径定理：，
又，则有：，
设是米，
在中，有，
即：，
解得：，
所以．
故答案为．
12.【答案】解：如图，正方形圈住的四个数为：，，，；
一个具有上述特征的等式为：；
左上角的数记为，则右上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，
根据题意可以用含的等式表示以上规律；
，
则成立．
13.【答案】去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元；
学校至少要购买个品牌足球．
【解析】设去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元，
根据题意可得：，
整理得，，
解得，
将检验，是原方程的解，符合题意，
，
答：去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元；
品牌比去年降低了元，
今年品牌足球的单价为元，
今年品牌足球的单价为元，
设学校今年购买个品牌足球，
根据题意可得：，
整理得，，
解得，
答：学校至少要购买个品牌足球．
14.【解析】证明：由题中作图可知：，平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，
，，
，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
．
15.【答案】解：，，；
如图，为所作；
能．
平移的过程为：三角形先向下平移个单位，再向右平移个单位或先向右平移个单位再向下平移个单位，即可得到三角形．
16.【答案】，；
．
【解析】由条件可将代入得：
，
反比例函数表达式为．
把代入反比例函数，
则，即．
把，代入一次函数，得：
．
解得．
一次函数表达式为．
与关于原点对称，
．
，
．
，且在轴正半轴，
．
过作轴于，过作轴于，
则，．
．
，．
．
17.【解析】调查的总人数为，
，，
故答案为：，；
补全直方图，如下图：
样本中一共有人，中位数是第和人的读书时间的平均数，
即第组：小时；
故答案为：；
人，
答：估计该校学生日阅读量不少于小时的人数为．
18.【答案】解：在中，海里，海里．
．
在中，海里海里．
，
则．
轮船航向改变的角度至少应为东偏南．
19.【解析】由条件可得，
，
一次函数的表达式为；
由条件可知，
．
，
把代入得，
解得：，
反比例函数的表达式为；
作轴交直线于点，
，
，
，
，
．
20.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
21.【解析】由题意可得：，
，，
，
；
在上取点，使，连接，
菱形，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
解得；
，，
，
由旋转的性质得，
过点作交直线于点，连接，
，
，
，
，
≌，
，，即是等腰直角三角形，
作于点，
，
作于点，作交直线于点，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
当、、在同一直线上时，有最大值，最大值为的长，
，，，
，
的最大值为．
22.【答案】解：抛物线经过点，交轴于点，
把点，代入，得：
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
，
抛物线的顶点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
设点，
对于，当时，，
，
对于，当时，，
，
，，
，
，
有最大值，
当时，最大值为；
若为平行四边形的对角线时，设点，，
又，，
的中点坐标的横坐标为，也是中点坐标的横坐标，
，
，
把代入，得，
；
若为边时，将向下平移个单位，再向左平移个单位到点，此时点的坐标为，
若点在抛物线上时，则有：，
；
若为对角线时，点向下平移个单位，再向右平移个单位，则点也向下平移个单位，向右平移个单位，则有，
，
．
综上所述，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，或．
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