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2025年吉林省四平市中考数学模拟试卷（四）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列各式中，结果为负数的是( )
A. B. C. D.
2.如图，下面的几何体由两个大小相同的正方体和一个圆柱体组成，则它的左视图是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.方程的解为自然数，则整数等于( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.如图，正方形的面积为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则下列结论错误的是( )
A.
B. 是等腰直角三角形
C.
D.
6.如图，是的外接圆，，则的度数等于( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.若，则 ______．
8.若一个三角形的三边长分别为，，，另一个三角形的三边长分别是，，，当这两个三角形全等时， ______．
9.某商店经销一种商品，由于进货价降低，使得利润率提高了，那么原来经销这种商品的利润率是 ．
10.如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接则下列结论中：；；；当时，则其中正确结论的序号是______．
11.如图，在扇形中，，将扇形绕的中点顺时针旋转，得到扇形，其中点的运动路径为，连接，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题：本题共11小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
先化简再计算：，其中．
13.本小题分
“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行小云、小南和小官约定游戏规则如下：由小云和小南玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小官获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小云和小南中的获胜者假设小云和小南每次出这三种手势的可能性相同．
用树状图或列表法求出小官获胜的概率；
你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？
14.本小题分
如图，在大长方形中，放入个相同的小长方形．
求出小长方形的长和宽；
求图中阴影部分的面积．
15.本小题分
如图，已知线段，是的中点，直线于点，直线于点，点是左侧一点，到的距离为．
作出点关于的对称点，并在上取一点，使点、关于对称；
与有何位置关系和数量关系，请说明理由．
16.本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，与轴交于点．
求一次函数的表达式；
若点在轴上，且的面积为，求点的坐标．
17.本小题分
如图是一种可折叠的台灯，图是台灯的结构图，是可以绕点旋转的支架，是可以绕点旋转的支架，为灯泡的位置量得，，当，时，求点到的距离参考数据，，，
18.本小题分
为确保师生“吃得安全，吃得健康”，某学校切实履行监督职责，随机抽取名教师和名家长做评委，对甲配餐公司提供的饭菜质量进行评分评分用表示，单位：分，并对他们的评分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息：
教师评分：
家长评分的数据整理后分成组，组：，组：，组：，组：，组：，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
评委评分平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
教师评分
家长评分
根据以上信息，回答下列问题：
的值为______，的值为______；
的值位于家长评分数据分组的______组，请补全频数分布直方图；
在扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角的度数为______；
新学期即将开始，为了让家长对配餐公司有更多的了解，该校再组织这名教师和名家长考察乙配餐公司，并按教师打分平均数占，家长打分平均数占，确定配餐公司的最终得分，已知教师和家长评委对乙配餐公司打分的平均数分别为分，分，如果只比较两家配餐公司的最终得分，请通过计算说明学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务吗？
19.本小题分
家门口的“诗与远方”让露营经济悄然兴起现有甲、乙两个户外品牌店，两个店商品的价格与品质都相同，各自推出不同的购物优惠方案：
甲品牌：所有商品打八折；
乙品牌：购物金额每满元减元．
李先生要购买原价为元的折叠椅，设在甲、乙两个品牌店购买该折叠椅的实付金额分别为元、元．
分别写出、与之间的函数表达式；
请通过计算说明选择哪个品牌的折叠椅更省钱？
20.本小题分
在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向调转前后的小棒不一定在同一条直线上，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为，宽度不计．
方案：将小棒绕中点旋转到，设小棒扫过区域的面积为即图中灰色区域的面积，下同；
方案：将小棒先绕逆时针旋转到，再绕逆时针旋转到，最后绕逆时针旋转到，设小棒扫过区域的面积为．
______ ______；结果保留
比较与的大小参考数据：，
方案可优化为方案：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第、次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
补全方案的示意图；
设方案中小棒扫过区域的面积为，求．
设计方案，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上一动点，点、在正半轴上．
如图，若，，、是的两条角平分线，且、交于点，直接写出的长______．
如图，是等边三角形，以线段为边在第一象限内作等边，连接并延长，交轴于点，当点运动到什么位置时，满足？请求出点的坐标；
如图，以为边在的下方作等边，点在轴上运动时，求的最小值．
22.本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点点在点的左侧，与轴相交于点．
求点、、的坐标并直接写出直线的关系式；
若是第四象限内二次函数图象上任意一点，轴于点，与线段交于点，过点作轴于点，连接．
求线段的最大值；
当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、原式，故A符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：从左边看上下都是正方形，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，故A正确，符合题意；
与不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】系数化为得，．
关于的方程的解为自然数，
的值可以为：、．
故选B．
5.【答案】
【解析】正方形的面积为，
正方形的边长为，
在正方形中，，，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故B不符合题意；
根据勾股定理，得，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
即，
故A不符合题意；
在中，根据勾股定理，得，
，
故C不符合题意；
，
，
故D符合题意，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：是的外接圆，，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意可知两个三角形全等，
所以，，，
故答案为：．
9.【答案】
【解析】试题分析：设该商品原进价为元，商品原来的利润率为，利用利润率列出方程求解即可．
设原进价为元，这种商品原来的利润率为，
由题意得，，
解得：．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】四边形是正方形，
，，，
将绕点逆时针旋转得，
，，
，
≌，
，
，
，故正确；
，
点，点，点，点四点共圆，
，故正确；
，，
，，
，，
∽，
，
，
，故错误；
设，则，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
∽，
，故正确，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：据题意，由旋转的性质可得：扇形的圆心角为，
，且为的中点，
，
，
，
．
12.【答案】解：原式，
当时，原式．
13.【答案】解：列出表格，如图所示：
石头 剪刀 布
石头 石头，石头 剪刀，石头 布，石头
剪刀 石头，剪刀 剪刀，剪刀 布，剪刀
布 石头，布 剪刀，布 布，布
所有等可能的情况有种，其中两人的手势相同的情况有种，
则小官获胜；
这个游戏对三人公平．
理由如下：
小云获胜的情况有种，小南获胜的情况有种，
小云获胜小南获胜，
则这个游戏对三人公平．
14.【答案】解：设小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得，
答：小长方形的长是，宽是．
，
答：阴影部分的面积为．
15.【答案】解：如图；
与平行且相等．
证明：设分别交、于点、，
、关于对称，点在上，
又
，
四边形是矩形
、关于对称，
、关于对称
．
16.【答案】解：把代入反比例函数中得：，
反比例函数解析式为，
把代入反比例函数得：，
的坐标为，
把、的坐标代入一次函数中得：
解得
一次函数的解析式为；
一次函数与轴交于点，
，
，，点在轴上，且的面积为．
，
，
，
或．

17.【答案】解：过点作交的延长线于点，
则，
，
在中，，
点到的距离为．
18.【解析】，教师评分的众数，
故答案为：、；
家长评分的中位数是第、个数据的平均数，而这个数据均落在组：，
所以的值位于家长评分数据分组的组，
的人数为人，
补全图形如下：
故答案为：；
在扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
甲公司最终得分：分，
乙公司最终得分：分，
，
学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务．
19.【答案】解：由题意得：；
；
由，即，
解得，
由，即，
解得，
由，即，
解得，
，
当时，购买所支付的费用相同，
当时，购买乙品牌所支付的费用较少，
当时，购买甲品牌所支付的费用较少．
20.【解析】方案：将小棒绕中点旋转到，
小棒扫过区域是以为直径的圆，
，
方案：扇形的面积，
，
故答案为：；；
，，且，
；
依题意补全方案的示意图如下：
连接，为切点，则为的中点，，
设，则，
由勾股定理得：，即：，
解得：，
，
．
设计方案：如图，是等边三角形，首先让点在上运动，点在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点运动到点时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如图所示．
对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时，
又作，则，
依题意得：扫过的区域比等边三角形多三块全等的图形，记每块面积为，
则有，为的中点，
，
，
，
．
21.【答案】作，交的延长线于，
，
，
，
，，
，
是的角平分线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
和是等边三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，即，
点的坐标为；
如图，以为对称轴作等边，连接，并延长交轴于点．
由得，≌，
，
，
，
点在直线上运动，
当时，最小，
则的最小值为．
22.【答案】解：在中，
令得，
令得，解得或，
，，，
设直线关系式为，将代入得：
，
解得，
直线关系式为；
设，则，
，，
，
，
时，取最大值，最大值为；
设，则，，
Ⅰ当时，过作于，如图：
，
，
，，
，
，
解得舍去或，
；
Ⅱ当时，过作于，如图，
，
，
，，，
，，，
在中，，
，
，
解得舍去或或此时在第一象限，舍去，
，
综上所述，的坐标为或．
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