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中考核心考点 代数式
一．选择题（共10小题）
1．（2025 北碚区）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计，如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，…，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（　　）
A．59 B．67 C．75 D．96
2．（2025 石家庄一模）已知直线l1：y＝（k﹣1）x+k+1和直线l2：y＝kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．当k＝2，3，4，…，2025时，设直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2，S3，S4，…，S2025，则S2+S3+S4+ +S2025的值为（　　）
A． B． C．1 D．
3．（2024秋 市中区三模）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如（a+b）2＝a2+2ab+b2的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①（x﹣1）2025的计算结果中x2024项的系数为﹣2025；
②（x﹣1）2025的计算结果中各项系数的绝对值之和为22025；
③当x＝﹣3时，（x﹣1）2025的计算结果为﹣24050；
④当x＝2024，（x﹣1）2025除以2024，余数为2023．
上述结论正确的是（　　）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
4．（2025春 重庆）有n个依次排列的整式：第1个整式是x2，第2个整式是x2﹣2x+1，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为m1，记m2＝m1+2；将第2个整式与m2相加作为第3个整式，记m3＝m2+2将第3个整式与m3相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到四个结论：
①m10＝﹣2x+19；
②当x＝5时，第6个整式的值为0；
③若第2024个整式与第2023个整式之差为﹣1，则x＝2022；
④第2025个整式为（x﹣2024）2；
⑤当n＝200时，m1+m2+m3+ +m200＝﹣400x+40000．
以上正确的结论个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025春 金水区）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就之一，它直观的呈现了（a+b）n展开式中各项的系数，如图所示．如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
根据上述材料，（2a﹣1）5的展开式中含a2项的系数为（　　）
A．﹣10 B．20 C．﹣20 D．﹣40
6．（2025春 西安）汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙方案：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　）
A．甲方案实惠
B．乙方案实惠
C．哪种方案实惠需由两次油价决定
D．两种方案一样实惠
7．（2025春 昆明）用若干大小相同的开口笑图形按如图所示的规律拼成一列图案，其中第①个图案中有4个开口笑图形，第②个图案中有7个开口笑图形，第③个图案中有10个开口笑图形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中开口笑图形的个数是（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
8．（2025 綦江区一模）有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，如图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，…，依此规律，图⑩中苯环的个数为（　　）
A．55个 B．60个 C．66个 D．78个
9．（2025春 宜阳县三模）当x＝1时，代数式kx+b的值为3；当x＝﹣1时，代数式kx+b的值为2，则（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣5 D．5
10．（2025春 惠山区三模）如图，长方形ABCD中，AB＝5，第1次将长方形ABCD沿AB的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形AnBn nDn（n＞2）．若ABn的长度为2025，则n的值为（　　）
A．504 B．505 C．2021 D．2025
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 莱州市三模）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，若某个“星阵”中的★的个数为112个，则这个图的序号是 　 　 ．
12．（2025春 涟水县三模）如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB＝60米，宽BC＝20米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为　 　 米．
13．（2025春 吴江区三模）如图所示的Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点C、A在直线l上，将Rt△ABC绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②得到直线l上的点P2，…按此规律旋转至点P2025，则AP2025＝ 　 　 ．
14．（2025 门头沟区一模）某次测验共四道试题，均为选择题，每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对得10分，答错得0分．乙同学答对了一半以上的题目，他们的解答及得分如表：
第1题 第2题 第3题 第4题 总分
甲同学 A C B C 20
乙同学 D D B A m+10
丙同学 B C B D m
丁同学 D B C A n
问：第二题的正确答案为 　 　 ，m+n＝ 　 　 ．
15．（2025 湖南）观察下列等式：
第1层：；
第2层：；
第3层：；
……
按照以上规律，请写出：
第4层等式为 　 　 ；
第n层等式为 　 　 ．（用含n的式子表示，n是正整数）
三．解答题（共5小题）
16．（2025 蜀山区二模）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个大小、形状一样的小等边三角形，记为第1次操作，然后将其中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到7个等边三角形，记为第2次操作，若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去……
（1）第4次操作后共得到等边三角形的个数为　 　 ，第n次操作后共得到等边三角形的个数为　 　 ；
（2）若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如：，求：
（i）a3＝　 　 ；
（ii）1﹣a1﹣a2﹣a3﹣ ﹣a2025＝　 　 ．
17．（2025春 思明区）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为“n阶奇异矩形”．如图1，矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则在2次操作后，剩下的矩形为正方形，称矩形ABCD为“2阶奇异矩形”．
（1）判断与操作；如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是“奇异矩形”吗？如果是，请写出它是“几阶奇异矩形”，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为30，另一边长为a（a＜30），且它是“3阶奇异矩形”，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
（3）归纳与拓展：已知矩形ABCD两邻边的长分别为m，n（m＜n），且它是“4阶奇异矩形”．则m：n＝　 　 （写出所有值，少写给部分分，多写或写错不给分）．
18．（2025春 肥西县三模）图1～图4都是由黑、白两种颜色的三角形排列而成．
观察图形，完成下列问题：
（1）在表格的空白处填入适当的数：
图形 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n
▲个数 2 5 10 17
　 　
…
　 　
△个数 3 5 7 9
　 　
…
　 　
（2）根据你发现的规律判断是否存在两种三角形之和为△个数的4倍的图形．
19．（2025春 金水区）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题：
算式①：15×15＝1×2×100+5×5＝225；
算式②：35×35＝3×4×100+5×5＝1225；
算式③：48×42＝4×5×100+8×2＝2016；
算式④：53×57＝5×6×100+3×7＝3021；…
（1）探索以上算式规律，请计算74×76＝　 　 ；
（2）观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律　 　 ；
（3）观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，其中一个数的个位上的数字是b，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律．
20．（2025春 深圳）小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶．请你帮助小深完成下列问题：
动力源 纯油动 纯电动
行驶里程 a千米 a千米
总耗油（电）量 50升 70千瓦时
油（电）单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时
每千米费用 元
　 　 元
（1）纯电动力时每千米费用为 　 　 元；
（2）若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元．
①求出a的值；
②若行驶这a千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米？
代数式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 北碚区）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计，如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，…，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（　　）
A．59 B．67 C．75 D．96
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出图形中小棒的根数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案所用小棒的根数为：11＝1×8+3；
第②个图案所用小棒的根数为：19＝2×8+3；
第③个图案所用小棒的根数为：27＝3×8+3；
…，
所以第n个图案所用小棒的根数为（8n+3）根．
当n＝8时，
8n+3＝8×8+3＝67（根），
所以第⑧个图案所用小棒的根数为67根．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小棒的根数依次增加8是解题的关键．
2．（2025 石家庄一模）已知直线l1：y＝（k﹣1）x+k+1和直线l2：y＝kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．当k＝2，3，4，…，2025时，设直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2，S3，S4，…，S2025，则S2+S3+S4+ +S2025的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【考点】规律型：图形的变化类；一次函数的性质；三角形的面积．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意，依次求出S2，S3，S4，…，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将x＝﹣1代入y＝（k﹣1）x+k+1得，y＝2，
所以直线l1过定点（﹣1，2）；
将x＝﹣1代入y＝kx+k+2得，y＝2，
所以直线l2过定点（﹣1，2），
则直线l1与直线l2相交于点（﹣1，2）．
当k＝2时，
直线l1的函数解析式为y＝x+3，直线l2的函数解析式为y＝2x+4，
则直线l1和l2与x轴的交点坐标分别为（﹣3，0）和（﹣2，0），
所以S2．
同理可得，，…，
所以，
所以S2+S3+S4+ +S2025
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律、一次函数的性质及三角形的面积，能通过计算发现Sn的变化规律是解题的关键．
3．（2024秋 市中区三模）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如（a+b）2＝a2+2ab+b2的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①（x﹣1）2025的计算结果中x2024项的系数为﹣2025；
②（x﹣1）2025的计算结果中各项系数的绝对值之和为22025；
③当x＝﹣3时，（x﹣1）2025的计算结果为﹣24050；
④当x＝2024，（x﹣1）2025除以2024，余数为2023．
上述结论正确的是（　　）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【考点】规律型：数字的变化类；多项式乘多项式．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】D
【分析】根据“杨辉三角”得出（a+b）n展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解．
【解答】解：根据“杨辉三角”得出（a+b）n展开式逐项分析判断如下：
（x﹣1）2025的计算结果中x2024项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与（﹣1）的积，即2025×（﹣1）＝﹣2025，
故结论①正确；
（a+b）n的计算结果中各项系数的之和为2n，因此（x﹣1）2025的计算结果中各项系数的绝对值之和为22025，
故结论②正确；
当x＝﹣3时，（x﹣1）2025＝（﹣3﹣1）2025＝（﹣4）2025＝﹣（22）2025＝﹣24050，
故结论③正确；
当x＝2024，（x﹣1）2025＝（2024﹣1）2025，展开式中最后一项为﹣1，其余各项的因数均包括2024，因此（x﹣1）2025除以2024，余数为2023．
故结论④正确；
故选：D．
【点评】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．熟练掌握以上知识点是关键．
4．（2025春 重庆）有n个依次排列的整式：第1个整式是x2，第2个整式是x2﹣2x+1，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为m1，记m2＝m1+2；将第2个整式与m2相加作为第3个整式，记m3＝m2+2将第3个整式与m3相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到四个结论：
①m10＝﹣2x+19；
②当x＝5时，第6个整式的值为0；
③若第2024个整式与第2023个整式之差为﹣1，则x＝2022；
④第2025个整式为（x﹣2024）2；
⑤当n＝200时，m1+m2+m3+ +m200＝﹣400x+40000．
以上正确的结论个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】规律型：数字的变化类；整式的加减．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意可以得出规律，第n项为[x﹣（n﹣1）]2，mn＝﹣2x+2n﹣1，根据规律逐项求解判断即可．
【解答】解：第n项为[x﹣（n﹣1）]2，mn＝﹣2x+2n﹣1，据此逐项分析判断如下：
由题意可知，第1个整式为（x﹣0）2，第2个整式为（x﹣1）2，
∴，
∴m2＝﹣2x+3＝﹣2x+2×2﹣1，
∴m3＝﹣2x+3+2＝﹣2x+5＝﹣2x+2×3﹣1，
∴m5＝m4+2＝m3+2+2＝﹣2x+5+2+2＝﹣2x+9＝﹣2x+2×5﹣1，
，
∴mn＝﹣2x+2n﹣1，
∴m10＝﹣2x+2×10﹣1＝﹣2x+19，故①正确；
∵将第3个整式与m3相加作为第4个整式，
∴第4个整式为x2﹣4x+4+（﹣2x+5）＝x2﹣4x+4﹣2x+5＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
....，
第n个整式为[x﹣（n﹣1）]2，
∴第6个整式为（x﹣5）2，
所以，当x＝5时，（x﹣5）2＝0，故②正确；
∴第2024个整式为（x﹣2023）2，第2023个整式为（x﹣2022）2，
∵第2024个整式与第2023个整式之差为﹣1，
∴（x﹣2023）2﹣（x﹣2022）2＝﹣1，
解得x＝2023，故③错误；
由条件可知第2025个整式为（x﹣2024）2，故④正确；
∵mn＝﹣2x+2n﹣1，
∴原式＝（﹣2x+2×1﹣1）+（﹣2x+2×2﹣1）+（﹣2x+2×3﹣1）+ +（﹣2x+2×200﹣1）
＝﹣400x+40000，故⑤正确；
综上，正确的结论是①②④⑤，共4个，
故选：D．
【点评】本题主要考查数据的规律类问题．发现规律是关键．
5．（2025春 金水区）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就之一，它直观的呈现了（a+b）n展开式中各项的系数，如图所示．如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
根据上述材料，（2a﹣1）5的展开式中含a2项的系数为（　　）
A．﹣10 B．20 C．﹣20 D．﹣40
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】D
【分析】由图知，（a+b）5的展开式中各项的系数分别为1，5，10，10，5，1，由此即可求解．
【解答】解：（a+b）5的展开式中各项的系数为1，5，10，10，5，1，
∴含a2的项为10（2a）2×（﹣1）3＝﹣40a2，
故选：D．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，找到规律是解题的关键．
6．（2025春 西安）汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙方案：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　）
A．甲方案实惠
B．乙方案实惠
C．哪种方案实惠需由两次油价决定
D．两种方案一样实惠
【考点】列代数式；分式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】设两次加油的油价分别为a，b＞0且a≠b将两次加油的平均油价分别用a，b表示出来，作差即可比较大小．
【解答】解：设两次加油的油价分别为a，b＞0且a≠b，设甲每次加油总金额为W，设每次加油量为N，
甲方案：平均油价；
乙方案：平均油价，
则，
由条件可知a+b＞0，（a﹣b）2＞0，
所以，x＜y，甲方案实惠．
故选：A．
【点评】本题主要考查了比较法在不等式大小比较中的应用，熟练掌握该知识点是关键．
7．（2025春 昆明）用若干大小相同的开口笑图形按如图所示的规律拼成一列图案，其中第①个图案中有4个开口笑图形，第②个图案中有7个开口笑图形，第③个图案中有10个开口笑图形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中开口笑图形的个数是（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；整式；数感；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题中给出的三个图案中开口笑个数与序号的关系，可得到第n个图案中用n表示的开口笑图形的个数的代数式，从而解决问题．
【解答】解：其中第①个图案中有1+3（个）开口笑图形，
第②个图案中有1+3×2＝7（个）开口笑图形，
第③个图案中有1+3×3＝10（个）开口笑图形，
…，
第n个图案中有1+3n（个）开口笑图形，
∴第⑦个图案中开口笑图形的个数是1+3×7＝22（个），
故选：C．
【点评】本题考查规律探究，涉及列代数式，解题的关键是根据已知图案得出规律：第n个图案中开口笑的个数为3n+1．
8．（2025 綦江区一模）有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，如图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，…，依此规律，图⑩中苯环的个数为（　　）
A．55个 B．60个 C．66个 D．78个
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】C
【分析】由已知图形可得第n个图形苯环的个数为，据此解答即可求解．
【解答】解：图①是由3个苯环组成，即，
图②是由6个苯环组成，即，
图③是由10个苯环组成，即，
图④是由15个苯环组成，即，
∴第n个图形苯环的个数为：，
当n＝10时，得：，
∴图⑩中苯环的个数为66个，
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，由已知图形找到变化规律是解题的关键．
9．（2025春 宜阳县三模）当x＝1时，代数式kx+b的值为3；当x＝﹣1时，代数式kx+b的值为2，则（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣5 D．5
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】将x＝1，x＝﹣1分别代入kx+b，得到关于k和b的二元一次方程组并求解，从而求出的值即可．
【解答】解：将x＝1，x＝﹣1分别代入kx+b，
得，
解得，
∴5．
故选：D．
【点评】本题考查代数式求值，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
10．（2025春 惠山区三模）如图，长方形ABCD中，AB＝5，第1次将长方形ABCD沿AB的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形AnBn nDn（n＞2）．若ABn的长度为2025，则n的值为（　　）
A．504 B．505 C．2021 D．2025
【考点】规律型：图形的变化类；平移的性质．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平移的性质得出AA1＝4，AB1＝AB+AA1＝5+4，再找出ABn长度的规律，然后根据所求得出数字变化规律，再根据规律列出方程求解n的值．
【解答】解：∵AB＝5，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移4个单位，得到长方形A1B1C1D1，此时AA1＝4，AB1＝AB+AA1＝5+4，
第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1C1D1的方向向右平移4个单位，得到长方形A2B2C2D2，此时A1A2＝4，AB2＝AB+AA1+A1A2＝5+4+4＝5+2×4，
以此类推，第n次平移后，ABn＝AB+n×4＝5+4n，
∵ABn的长度为2025，
∴5+4n＝2025，
解得：n＝505，
故选：B．
【点评】此题主要考查了代数式，图形的变化规律，以及一元一次方程，根据图形变化规律得出ABn长度的规律是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 莱州市三模）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，若某个“星阵”中的★的个数为112个，则这个图的序号是 　10　 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】10．
【分析】根据所给图形，依次求出图形中★的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形中★的个数为：4＝1×2+2；
第2个图形中★的个数为：8＝2×3+2；
第3个图形中★的个数为：14＝3×4+2；
…，
所以第n个图形中★的个数为[n（n+1）+2]个．
令n（n+1）+2＝112，
解得n＝10（舍负），
所以这个图的序号是10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现★个数的变化规律是解题的关键．
12．（2025春 涟水县三模）如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB＝60米，宽BC＝20米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为　96　 米．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】96．
【分析】根据题意，求出图中虚线的长即可解决问题．
【解答】解：由题知，
横向路线的总长等于AB的长，纵向路线的长等于BC的长减去2之后差的2倍，
所以从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为：60+2×（20﹣2）＝96（米）．
故答案为：96．
【点评】本题主要考查了列代数式，能根据题意将图中的虚线长度进行转化是解题的关键．
13．（2025春 吴江区三模）如图所示的Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点C、A在直线l上，将Rt△ABC绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②得到直线l上的点P2，…按此规律旋转至点P2025，则AP2025＝ 　16200　 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】16200．
【分析】根据所给旋转方式，发现每旋转三次，线段APn的长度增加24，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
每旋转三次，线段APn的长度增加24．
因为2025÷3＝675，
所以675×24＝16200，
即AP2025＝16200．
故答案为：16200．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给旋转方式，发现每旋转三次，线段APn的长度增加24是解题的关键．
14．（2025 门头沟区一模）某次测验共四道试题，均为选择题，每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对得10分，答错得0分．乙同学答对了一半以上的题目，他们的解答及得分如表：
第1题 第2题 第3题 第4题 总分
甲同学 A C B C 20
乙同学 D D B A m+10
丙同学 B C B D m
丁同学 D B C A n
问：第二题的正确答案为 　C　 ，m+n＝ 　40　 ．
【考点】代数式求值．
【专题】图表型；推理能力．
【答案】C，40．
【分析】根据乙同学答对了一半以上，得出乙同学至少答对了3道题，即m+10≥30，求出m≥20，然后根据四个同学的答案，进行推理，得出答案即可．
【解答】解：∵乙同学答对了一半以上，
∴乙同学至少答对了3道题，
∴m+10≥30，
∴m≥20，
∴丙至少答对了2道题，
∵甲刚好答对2道题，甲和丙相同答案的只有第2题和第3题，
∴第2题答案为C，第3题答案为B，
∴乙的第2题答错了，
∵乙同学至少答对了3道题，
∴乙同学第1，3，4题都答对了，
∴第1题答案为D，第4题答案为A，
综上：第1题答案为D，第2题答案为C，第3题答案为B，第4题答案为A，
∵丙、丁都答对了2题，
∴m＝20，n＝20，
∴m+n＝40，
故答案为：C，40．
【点评】本题主要考查了代数式求值，有理数加减运算，能正确推理出各题的答案是解题的关键．
15．（2025 湖南）观察下列等式：
第1层：；
第2层：；
第3层：；
……
按照以上规律，请写出：
第4层等式为 　　 ；
第n层等式为 　　 ．（用含n的式子表示，n是正整数）
【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】，．
【分析】根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为；
；
；
…，
所以第n层可表示为：．
当n＝4时，
第4层为：．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 蜀山区二模）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个大小、形状一样的小等边三角形，记为第1次操作，然后将其中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到7个等边三角形，记为第2次操作，若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去……
（1）第4次操作后共得到等边三角形的个数为　13　 ，第n次操作后共得到等边三角形的个数为　3n+1　 ；
（2）若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如：，求：
（i）a3＝　　 ；
（ii）1﹣a1﹣a2﹣a3﹣ ﹣a2025＝　　 ．
【考点】规律型：图形的变化类；等边三角形的性质．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】（1）13，3n+1；
（2）（i）；（ii）．
【分析】（1）根据所给操作方式，依次求出所得等边三角形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据题意，依次求出所得最小等边三角形的边长，发现规律并进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知，
第1次操作后共得到的等边三角形的个数为：4＝1×3+1；
第2次操作后共得到的等边三角形的个数为：7＝2×3+1；
第3次操作后共得到的等边三角形的个数为：10＝3×3+1；
…，
所以第n次操作后共得到的等边三角形的个数为（3n+1）个．
当n＝4时，
3n+1＝3×4+1＝13（个），
即第4次操作后共得到的等边三角形的个数为13个．
故答案为：13，3n+1．
（2）（i）由题知，
因为，，
所以．
故答案为：．
（ii）由上述过程可知，
a1+a2+a3+…+a2025．
令S，
则，
两式相减得，
，
即，
所以1﹣a1﹣a2﹣a3﹣ ﹣a2025．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律及等边三角形的性质，能根据题意发现所得等边三角形个数及边长的变化规律是解题的关键．
17．（2025春 思明区）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为“n阶奇异矩形”．如图1，矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则在2次操作后，剩下的矩形为正方形，称矩形ABCD为“2阶奇异矩形”．
（1）判断与操作；如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是“奇异矩形”吗？如果是，请写出它是“几阶奇异矩形”，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为30，另一边长为a（a＜30），且它是“3阶奇异矩形”，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
（3）归纳与拓展：已知矩形ABCD两邻边的长分别为m，n（m＜n），且它是“4阶奇异矩形”．则m：n＝　或或或或或或或　 （写出所有值，少写给部分分，多写或写错不给分）．
【考点】规律型：图形的变化类；作图—复杂作图．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图见解析；
（2）见解析；
（3）或或或或或或或．
【分析】（1）把矩形ABCD先裁剪出2个边长为2的正方形，剩下一个长为2，宽为1的矩形可裁剪出2个边长为1的正方形，据此可得答案；
（2）按照解析图示4种方法裁剪，并求出对应的a的值即可；
（3）按照解析图中8种方法裁剪，并求出对应的比值即可．
【解答】解：（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：
（2）裁剪线的示意图如下：
（3）当竖直裁剪4下得到5个全等的正方形时，则；
当按照如下图方法裁剪时，则，即；
当按照如下图方法裁剪时，则，即；
当按照如下图方法裁剪时，则，即
当按照如下图方法裁剪时，则，即，
当按照如下图方法裁剪时，则，即，
当按照如下图方法裁剪时，则，即，
当按照如下图方法裁剪时，则，即，
综上所述，m：n的值为或或或或或或或．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和图形的裁剪问题，正确理解“n阶奇异矩形”是解题的关键．
18．（2025春 肥西县三模）图1～图4都是由黑、白两种颜色的三角形排列而成．
观察图形，完成下列问题：
（1）在表格的空白处填入适当的数：
图形 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n
▲个数 2 5 10 17
　26　
…
　n2+1　
△个数 3 5 7 9
　11　
…
　2n+1　
（2）根据你发现的规律判断是否存在两种三角形之和为△个数的4倍的图形．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】（1）26，n2+1，11，2n+1；
（2）不存在，理由见解析过程．
【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中黑、白三角形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律进行计算即可．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
图1中▲个数为2＝12+1，△个数为3＝1×2+1；
图2中▲个数为5＝22+1，△个数为5＝2×2+1；
图3中▲个数为10＝32+1，△个数为7＝3×2+1；
…，
所以图n中▲个数为（n2+1）个，△个数为（2n+1）个．
当n＝5时，
n2+1＝52+1＝26（个），2n+1＝2×5+1＝11（个），
即图5中▲个数为26个，△个数为11个；
故答案为：26，n2+1，11，2n+1．
（2）不存在，理由如下：
由n2+1+2n+1＝4（2n+1）得，
n．
因为不是整数，
所以不存在这样的图形．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑、白三角形个数变化的规律是解题的关键．
19．（2025春 金水区）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题：
算式①：15×15＝1×2×100+5×5＝225；
算式②：35×35＝3×4×100+5×5＝1225；
算式③：48×42＝4×5×100+8×2＝2016；
算式④：53×57＝5×6×100+3×7＝3021；…
（1）探索以上算式规律，请计算74×76＝　5624　 ；
（2）观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律　（10a+5）（10a+5）＝a （a+1）×100+5×5　 ；
（3）观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，其中一个数的个位上的数字是b，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】（1）5624；
（2）（10a+5）（10a+5）＝a （a+1）×100+5×5；
（3）（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b），证明见解析．
【分析】（1）根据规律计算即可；
（2）根据所给算式总结规律即可；
（3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律．
【解答】解：（1）74×76＝7×8×100+4×6＝5624．
故答案为：5624；
（2）（10a+5）（10a+5）＝a （a+1）×100+5×5；
故答案为：（10a+5）（10a+5）＝a （a+1）×100+5×5；
（3）规律为：（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b），
证明：（10a+b）（10a+10﹣b）
＝100a2+100a﹣10ab+10ab+10b﹣b2
＝100a2+100a+10b﹣b2，
＝100a（a+1）+b（10﹣b）
＝100a2+100a+10b﹣b2，
∴（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b）．
【点评】本题考查了数字类规律探究，理解规律的运算方法是解答本题的关键．
20．（2025春 深圳）小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶．请你帮助小深完成下列问题：
动力源 纯油动 纯电动
行驶里程 a千米 a千米
总耗油（电）量 50升 70千瓦时
油（电）单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时
每千米费用 元
　　 元
（1）纯电动力时每千米费用为 　　 元；
（2）若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元．
①求出a的值；
②若行驶这a千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米？
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）①500；②200．
【分析】（1）根据“总耗电量×电单价÷行驶里程”列式计算即可；
（2）①根据题意列关于a的分式方程并求解即可；
②分别求出纯油动和纯电动每千米费用，设汽车纯电动行驶了x千米，则纯油动行驶了（500﹣x）千米，根据题意列关于x的一元一次方程并求解即可．
【解答】解：（1）纯电动力时每千米费用为（元）．
故答案为：．
（2）①根据题意，得0.69，
解得a＝500，
经检验，a＝500是所列分式方程的解，
∴a＝500．
②纯电动每千米费用0.07（元），则纯油动每千米费用为0.07+0.69＝0.76（元），
设汽车纯电动行驶了x千米，则纯油动行驶了（500﹣x）千米，
根据题意，得0.07x+0.76（500﹣x）＝242，
解得x＝200．
答：汽车纯电动行驶了200千米．
【点评】本题考查列代数式，理解题意、掌握分式方程和一元一次方程的解法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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