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中考核心考点 二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．（2025 海珠区一模）某公司组织员工去电影院看电影，已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张40元，该公司的40名员工购买电影票共用去1550元，求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则下列方程组中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2025春 新市区）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025春 渝北区三模）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当m＝4时，方程组的解也是x﹣y＝﹣3m+14的解；②无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若3x﹣5y＝6，则，其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025春 台江区三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载着这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？若设每头牛、每只羊分别值金x两和y两，根据题意列方程组得（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025春 诸暨市三模）依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．例如H2+O22H2O就表示两份H2（氢气）与一份O2（氧气）点燃生成两份的H2O（水）．已知xC6H6+yO26xCO2+3xH2O，由此可列出关于x，y的二元一次方程为（　　）
A．x+y＝6x+3x B．x+y＝6x+2×3x
C．2y＝6x+3x D．2y＝2×6x+3x
6．（2025春 九龙坡区三模）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当a＝0时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，a＝﹣3；③不论a取什么实数，7x+2y的值始终不变；④若a＝1，则x2+4y＝0．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
7．（2025春 青秀区）七年级（1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有3人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费120元；第二组有2人选择“九天揽月”活动，4人选择“深海探幽”活动，共花费150元；若设每张“九天揽月”活动的票价为x元，每张“深海探幽”活动的票价为y元，可列方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2025春 江北区）已知是方程x+3y＝10的一个解，则m的值是（　　）
A．16 B．6 C． D．4
9．（2025春 思明区）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法错误的是（　　）
A．设绳长为x尺，所列方程为
B．设井深为x尺，所列方程为3（x+4）＝4（x+1）
C．设绳长为x尺，并深为y尺，所列方程组为
D．设井深为x尺，绳长为y尺，所列方程组为
10．（2025春 潍坊三模）有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童x人，竹竿y根．根据题意，列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 龙口市三模）你喜欢足球运动吗？足球一般是用32块黑、白两种颜色的皮块缝制而成．如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．设一个球上有白色皮块x块、黑色为y块，求白色皮块和黑色皮块分别为多少块？由此列出的方程组可以为 　 　 ．
12．（2025春 洛江区三模）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于x，y，z的三元一次方程组，若5x+2y﹣z为定值，则t与m的关系为 　 　 ．
13．（2025春 新市区）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k﹣1|+y+1＝0是二元一次方程，则k＝　 　 ．
14．（2025春 武汉三模）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则m﹣2n的值为　 　 ．
15．（2025春 拱墅区）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为 　 　 ，AB与CD的差为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 阎良区二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共25道题，答对一题得4分，答错或不答一题扣2分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是70分，求她答对了多少道题？
17．（2025春 綦江区三模）某地有一片蔬果采摘园，小美一家决定去采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬菜一共30千克，共支付了120元．
（1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克？
（2）为了让小美去体验生活，父母决定让小美将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售价格分别是每千克7元和每千克3.5元，求西红柿和土豆全部售出后共计获利多少元？
18．（2025春 洛江区三模）下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程：
甲同学：①﹣②，得2y＝﹣12， ∴y＝﹣6． 乙同学：由①，得5x＝3y+4③， 将③代入②，得﹣3y+4﹣y＝8， ∴y＝﹣1．
（1）甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方．
（2）请你改正并完善两名同学的解题过程．
19．（2025春 洛江区三模）定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：ax+by＝c的“换参方程”为cx+by＝a或ax+cy＝b．
（1）方程x+2y＝4与它的“换参方程”组成的方程组的解为　 　 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值；
（3）已知整数m，n，t，满足条件t＜n＜m+4，并且（3m﹣t）x+2025y＝m+2t是关于x，y的二元一次方程（6+n）x+2025y＝2m﹣1的“换参方程”，求m的值．
20．（2025春 鲤城区）已知二元一次方程mx+3y+n＝0（m，n均为常数，且m≠0）．
（1）当m＝2，n＝﹣4时，用x的代数式表示y；
（2）若是该二元一次方程的一个解；
①探索m与n关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与m，n的取值无关，请求出这个解．
二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 海珠区一模）某公司组织员工去电影院看电影，已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张40元，该公司的40名员工购买电影票共用去1550元，求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则下列方程组中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用总价＝单价×数量，结合40名员工购买电影票共用去1550元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵共40名员工去看电影，
∴x+y＝40，
∵该电影甲种票每张35元，乙种票每张40元，且购票恰好用去1550元，
∴35x+40y＝1550，
则根据题意可列出方程组：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2025春 新市区）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据图1的算筹图知第一行为第一个方程，前两个数分别为x、y的系数，第三个数为方程右侧常数的十位，第四个数为方程右侧常数的个位，然后根据图2所示的算筹图列出二元一次方程组即可．
【解答】解：列出二元一次方程组为，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
3．（2025春 渝北区三模）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当m＝4时，方程组的解也是x﹣y＝﹣3m+14的解；②无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若3x﹣5y＝6，则，其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先利用加减消元法解方程组，然后再根据四个小题的条件，进行分析判断即可．
【解答】解：，
①×2，得4x﹣2y＝6m﹣4③，
②+③，得5x＝7m，
解得：，
把代入①，得，
解得：．
①当m＝4时，，，
∴，﹣3m+14＝﹣3×4+14＝2，
∴x﹣y≠﹣3m+14，故①错误；
③若x＝﹣y，则，
解得：，
∴，，
∴x，y互为相反数，故②错误；
③，为自然数，
∴m＝0，5，10，
当m＝0时，x＝0，y＝2﹣0＝2，
当m＝5时，，，
当m＝10时，，y，
∴x，y为自然数的解有3对，故③正确；
④∵3x﹣5y＝6，
∴，
解得：，故④错误，
∴其中正确的有③，共1个．
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
4．（2025春 台江区三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载着这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？若设每头牛、每只羊分别值金x两和y两，根据题意列方程组得（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据“5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：由题意可得，．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
5．（2025春 诸暨市三模）依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．例如H2+O22H2O就表示两份H2（氢气）与一份O2（氧气）点燃生成两份的H2O（水）．已知xC6H6+yO26xCO2+3xH2O，由此可列出关于x，y的二元一次方程为（　　）
A．x+y＝6x+3x B．x+y＝6x+2×3x
C．2y＝6x+3x D．2y＝2×6x+3x
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】结合题干的化学式，观察得出C，H原子的个数在方程左右两边不需要用y表示，唯有O的原子个数是用y表示，且同一元素原子个数在方程左右两边是相等的，故列方程2y＝2×6x+3x，即可作答．
【解答】解：由条件可知2y＝2×6x+3x，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意是关键．
6．（2025春 九龙坡区三模）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当a＝0时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，a＝﹣3；③不论a取什么实数，7x+2y的值始终不变；④若a＝1，则x2+4y＝0．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可．
【解答】解：①当a＝0时，方程组为，
①+②得，3x＝6，
解得：x＝2，
将x＝2代入②得，2﹣y＝5，
解得：y＝﹣3，
∴方程组的解为：，
把代入得，
∴是方程的一个解，①符合题意；
②关于x，y的方程组，
①+②得，3x＝2a+6，
解得：，
将代入②得，，
∴方程组的解为：，
当x与y互为相反数时，，
解得：，故②不符合题意；
③，不论a取什么实数，7x+2y的值始终不变，③符合题意；
④当a＝1时，方程组的解为：，
则，④不符合题意．
所以以上四种说法中正确的有①③．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值
7．（2025春 青秀区）七年级（1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有3人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费120元；第二组有2人选择“九天揽月”活动，4人选择“深海探幽”活动，共花费150元；若设每张“九天揽月”活动的票价为x元，每张“深海探幽”活动的票价为y元，可列方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意列出方程组即可．
【解答】解：根据题意得，．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确地理解题意列出方程组是解题的关键．
8．（2025春 江北区）已知是方程x+3y＝10的一个解，则m的值是（　　）
A．16 B．6 C． D．4
【考点】二元一次方程的解．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入方程x+3y＝10中即可求出m的值．
【解答】解：把代入方程x+3y＝10中，得﹣2+3m＝10，
解得m＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
9．（2025春 思明区）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法错误的是（　　）
A．设绳长为x尺，所列方程为
B．设井深为x尺，所列方程为3（x+4）＝4（x+1）
C．设绳长为x尺，并深为y尺，所列方程组为
D．设井深为x尺，绳长为y尺，所列方程组为
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】用代数式表示绳长或井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【解答】解：A、设绳长为x尺，所列方程为x﹣4x﹣1，不符合题意；
B、设井深为x尺，所列方程为3（x+4）＝4（x+1），不符合题意；
C、设绳长为x尺，并深为y尺，所列方程组为，不符合题意；
D、设井深为x尺，绳长为y尺，所列方程组为，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组和一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
10．（2025春 潍坊三模）有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童x人，竹竿y根．根据题意，列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据“每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完”即可得出方程组．
【解答】解：根据题意得，．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 龙口市三模）你喜欢足球运动吗？足球一般是用32块黑、白两种颜色的皮块缝制而成．如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．设一个球上有白色皮块x块、黑色为y块，求白色皮块和黑色皮块分别为多少块？由此列出的方程组可以为 　　 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】设设一个球上有白色皮块x块、黑色为y块，根据“足球一般是用32块黑、白两种颜色的皮块缝制而成”与“黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形”列方程组即可．
【解答】解：设一个球上有白色皮块x块、黑色为y块，根据题意可列式为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系．
12．（2025春 洛江区三模）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于x，y，z的三元一次方程组，若5x+2y﹣z为定值，则t与m的关系为 　3t+m＝﹣1　 ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】3t+m＝﹣1．
【分析】根据矩阵定义列方程组可解答．
【解答】解：由题意得：，
①×3+②得：5x+2y+3tz+mz＝11，
∵5x+2y﹣z为定值，
∴3t+m＝﹣1．
故答案为：3t+m＝﹣1．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，二元一次方程组的定义，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键．
13．（2025春 新市区）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k﹣1|+y+1＝0是二元一次方程，则k＝　0　 ．
【考点】二元一次方程的定义；绝对值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【解答】解：依题意，k﹣2≠0，|k﹣1|＝1，
解得：k＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，熟练掌握该概念是关键．
14．（2025春 武汉三模）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则m﹣2n的值为　3　 ．
【考点】二元一次方程组的解；代数式求值．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据题意，把x＝﹣2，y＝1分别代入方程组中，求出m，n的值，然后把m，n的值分别代入m﹣2n进行计算即可大小答案．
【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，
∴2×（﹣2）+3×1＝m，﹣2n﹣1＝3，
解得：m＝﹣1，n＝﹣2，
∴m﹣2n＝﹣1﹣2×（﹣2）＝﹣1+4＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
15．（2025春 拱墅区）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为 　6　 ，AB与CD的差为 　3　 ．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】6，3．
【分析】设小长方形的长为x、宽为y，则大长方形的长为x+3y、宽为x+y，根据大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：如图，设小长方形的长为x、宽为y，则大长方形的长为x+3y、宽为x+y，
由题意得：，
解得：，
∴x+3y＝9，
∴AB+EF＝6，CD+EF＝9﹣6＝3，
∴AB﹣CD＝6﹣3＝3，
故答案为：6，3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 阎良区二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共25道题，答对一题得4分，答错或不答一题扣2分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是70分，求她答对了多少道题？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】她答对了20道题．
【分析】设她答对了x道题，则她答错或不答一题为（25﹣x）道，根据题意4x﹣2（25﹣x）＝70，解得x＝20，即可得到答案．
【解答】解：设她答对了x道题，根据题意得4x﹣2（25﹣x）＝70，
解得x＝20，
答：她答对了20道题．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
17．（2025春 綦江区三模）某地有一片蔬果采摘园，小美一家决定去采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬菜一共30千克，共支付了120元．
（1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克？
（2）为了让小美去体验生活，父母决定让小美将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售价格分别是每千克7元和每千克3.5元，求西红柿和土豆全部售出后共计获利多少元？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）西红柿采摘了10kg，土豆采摘了20kg；
（2）西红柿和土豆全部售出后共计获利20元．
【分析】（1）设西红柿采摘了x kg，土 豆采摘了y kg，根据题意列出二元一次方程组，解答即可；
（2）根据题意列出算式求值获得的利润即可．
【解答】解：（1）设西红柿采摘了x kg，土豆采摘了y kg．
根据题意列方程组得，，
解得．
所以西红柿采摘了10kg，土豆采摘了20kg，
答：西红柿采摘了10kg，土豆采摘了20kg；
（2）根据题意列式得，
10×（7﹣6）+20×（3.5﹣3）
＝10+20×0.5
＝10+10
＝20（元），
答：西红柿和土豆全部售出后共计获利20元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键．
18．（2025春 洛江区三模）下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程：
甲同学：①﹣②，得2y＝﹣12， ∴y＝﹣6． 乙同学：由①，得5x＝3y+4③， 将③代入②，得﹣3y+4﹣y＝8， ∴y＝﹣1．
（1）甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方．
（2）请你改正并完善两名同学的解题过程．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】运算能力．
【答案】（1）甲，乙两名同学的解题过程都错误，错误的地方见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）结合加减消元法和代入消元法的求解方法逐步判断即可作答；
（2）利用加减消元法和代入消元法求解即可．
【解答】解：（1）甲同学的解题过程有错误，
①﹣②时未给②中等号前面的式子添括号致错，用的加减消元法；
乙同学的解题过程也有错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错；
（2）甲同学：①﹣②，得4y＝﹣12，
解得y＝﹣3，
将y＝﹣3代入①，得﹣5x+3×（﹣3）＝﹣4，
解得x＝﹣1，
∴原方程组的解为；
乙同学：由①得5x＝3y+4③，
将③代入②，得﹣（3y+4）﹣y＝8，
解得y＝﹣3，
将y＝﹣3代入①，得x＝﹣1，
∴原方程组的解为．
【点评】本题主要考查了采用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的知识，熟练掌握消元的方法是解答本题的关键．
19．（2025春 洛江区三模）定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：ax+by＝c的“换参方程”为cx+by＝a或ax+cy＝b．
（1）方程x+2y＝4与它的“换参方程”组成的方程组的解为　或　 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值；
（3）已知整数m，n，t，满足条件t＜n＜m+4，并且（3m﹣t）x+2025y＝m+2t是关于x，y的二元一次方程（6+n）x+2025y＝2m﹣1的“换参方程”，求m的值．
【考点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；代数式求值．
【专题】运算能力．
【答案】（1），；
（2）2025；
（3）m＝3．
【分析】（1）先根据定义写出方程x+2y＝4的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可；
（2）先求出ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入mx+ny＝p，得到p，m，n的关系，再代入（m+n）m﹣p（n+p）+2023即可求解；
（3）先写出（6+n）x+2025y＝2m﹣1的“交换系数方程”，令（3m﹣t）x+2025y＝m+2t的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可．
【解答】解：（1）由题意知，方程x+2y＝4的“交换系数方程”为4x+2y＝1或x+4y＝2，
∴方程3x+2y＝4与它的“交换系数方程”组成的方程组为：①或②，
解方程组①，得，解方程组②，得，
故答案为：或；
（2）ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组为：①或②，
解方程组①，得，
由a+b+c＝0，得，
因此方程组①的解为，
解方程组②，得，
由a+b+c＝0，得，
∴方程组②的解为，
∴ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组为，
将代入mx+ny＝p，得﹣（m+n）＝p，
∴（m+n）m﹣p（n+p）+2025＝2025；
（3）关于x，y的二元一次方程（6+n）x+2025y＝2m﹣1的“交换系数方程”为（6+n）x+（2m﹣1）y＝2025，或（2m﹣1）x+2025y＝6+n，
当（6+n）x+（2m﹣1）y＝2025与（3m﹣t）x+2025y＝m+2t的各系数相等时，
可得方程组，
∴，不满足t＜n＜m+4，故舍去；
当（2m﹣1）x+2025y＝6+n与（3m﹣t）x+2025y＝m+2t的各系数相等时，
可得方程组，
解得，
∵t＜n＜m+4，
∴m+1＜3m﹣4＜m+4，
即，
解得，
∵m为整数，
∴m＝3．
【点评】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键．
20．（2025春 鲤城区）已知二元一次方程mx+3y+n＝0（m，n均为常数，且m≠0）．
（1）当m＝2，n＝﹣4时，用x的代数式表示y；
（2）若是该二元一次方程的一个解；
①探索m与n关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与m，n的取值无关，请求出这个解．
【考点】二元一次方程的解；等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）①m＝n，理由见解析；
②．
【分析】（1）把m＝2，n＝﹣4代入方程mx+3y+n＝0，得出2x+3y﹣4＝0，再根据等式的性质，得出用含x的代数式表示y即可；
（2）①把x＝2，y＝﹣n代入方程mx+3y+n＝0，整理即可得出m﹣n＝0；
②由①得出m﹣n＝0，得出m＝n，代入方程变形，然后根据方程组的解与m，n的取值无关，进行计算即可．
【解答】解：（1）把m＝2，n＝﹣4代入方程mx+3y+n＝0，得2x+3y﹣4＝0，
∴3y＝4﹣2x，
∴；
（2）①m﹣n＝0．理由如下：
把x＝2，y＝﹣n代入方程mx+3y+n＝0，得2m﹣3n+n＝0，
解得：m﹣n＝0；
②由①得m﹣n＝0，则m＝n，
把m＝n代入方程mx+3y+n＝0，
∴mx+3y+m＝0，
∴m（x+1）+3y＝0，
∵该方程有一个解与m，n的取值无关，
∴x+1＝0，y＝0，
∴x＝﹣1，
∴这个解为．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，等式的性质，掌握二元一次方程的解，等式的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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