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中考核心考点 命题与证明
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 宝安区）下列说法正确的是（　　）
A．若△ABC的三个内角满足：∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC为直角三角形
B．三角形三边中线的交点到三个顶点的距离相等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论成立
2．（2025春 中山市）下列命题中是真命题的是（　　）
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．垂线段最短
3．（2025春 宁河区三模）下列命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．两个锐角的和是钝角
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．（2025春 天山区）下列命题：①对顶角相等；②实数与数轴上的点一一对应；③同旁内角互补，两直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．是真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025 綦江区一模）下列命题中的真命题是（　　）
A．若a＞b，则ac＞bc
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．点到直线的距离是点到直线的垂线段
D．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形
6．（2025春 浏阳市三模）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．正方形的四边相等
C．矩形的四个角相等
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7．（2025春 市北区三模）用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　）
A．两个锐角都大于45°
B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45°
D．两个锐角都等于45°
8．（2025春 无锡三模）已知下列命题：
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
④对角线互相垂直的四边形是菱形．
其中正确的命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
9．（2025春 越秀区）下列命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．矩形的两条对角线互相垂直
D．正方形的对角线垂直平分且相等
10．（2025春 越秀区）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果a＞b，那么﹣a＞﹣b B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．如果a＞b，那么a2＞b2 D．如果a＝b＝0，那么ab＝0
二．填空题（共5小题）
11．（2025 平谷区一模）学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如表所示：
节目名称 共同合作的人数
A 5
B 4
C 3
D 2
E 1
若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要 　 　 个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有 　 　 种不同的情况．
12．（2025春 门头沟区）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 4
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 　 　 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 　 　 分钟．
13．（2025春 武汉三模）在平面直角坐标系中，已知A（﹣a，3a+2），B（2a﹣3，a+2），C（2a﹣3，a﹣2）三个点，下列四个命题：
①若AB∥x轴，则a＝0；
②若AB∥y轴，则a＝1；
③若a＝﹣1，则A、B、C三点在同一条直线上；
④若a＞1，三角形ABC的面积等于8，则点C的坐标为（，）．
其中真命题有　 　 （填序号）．
14．（2025 齐河县）某气象台发现：在某段时间里，如果白天下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么白天是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天白天是晴天，则这一段时间有　 　 天．
15．（2025 西城区校级）小胜去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解．小胜准备8：30进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计），每个场馆完整参观且只参观一次．
（1）若不考虑专业讲解的情况下，小胜最多可以完整参观　 　 个展馆；
（2）若B，E展馆必须都要参观且能赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出一种符合题意的参观顺序 　 　 ．
展馆 A B C D E F
专业讲解 无 9：30﹣11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00﹣12：00每1小时一场，共2场 无
参观所需时间（分钟） 60 30 40 30 60 80
三．解答题（共5小题）
16．（2025 蓬江区校级一模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO＝0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图3所示，此时，A′B′与水平方向的夹角为60°．
（1）求图3中点B′到地面的距离；
（2）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
（3）图4中，一辆宽1.6m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．
（参考数据：，π≈3.14，所有结果精确到0.1）
17．（2025春 射阳县三模）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，点D是AC上一点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长．
18．（2025 龙岩）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，E在CA的延长线上．现给出以下三个条件：
①AC是⊙O的直径，②EB是⊙O的切线，③∠ABE＝∠C．
（1）请你从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明；
（2）在（1）的条件下，若AB＝AE，求∠C的度数．
19．（2025春 黄浦区三模）如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD．
（1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题；
（2）选择（1）中的一个真命题加以证明．
20．（2025 射阳县一模）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），其中x1＜x2．
[实践操作]（1）若P1，P2是抛物线y＝x2﹣2x上的点，下列命题正确的有 　 　 ．
①若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2
②若|x1﹣1|＞|x2﹣1|．则y1＜y2
③若|x1﹣1|＝|x2﹣1|．则y1＝y2
④若|x1﹣1|＜|x2﹣1|．则y1＞y2
[实践思考]（2）若P1，P2是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的点，对称轴为直线x＝t．
若|x1﹣t|　 　 |x2﹣t|，y1＞y2；若|x1﹣t|　 　 |x2﹣t|，y1＝y2；若|x1﹣t|　 　 |x2﹣t|，则y1＜y2．
[实践应用]（3）在（2）的条件下，
①若该抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
②若对于x1+x2＜3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
命题与证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 宝安区）下列说法正确的是（　　）
A．若△ABC的三个内角满足：∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC为直角三角形
B．三角形三边中线的交点到三个顶点的距离相等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论成立
【考点】反证法；线段垂直平分线的性质．
【专题】反证法．
【答案】C
【分析】A、根据比例设∠A、∠B、∠C分别为3k、2k、k，然后根据三角形内角和定理列式进行计算求出k值，再求出最大的角∠A即可得解；
B、根据线段垂直平分线的性质判断即可；
C、根据等边三角形的判定定理进行判断．
D、根据反证法的解题步骤进行判断．
【解答】解：A、设∠A、∠B、∠C分别为3k、k、k，
则kk+3k＝180°，
解得k≈33°，
所以，最大的角∠A≈3×33°＝99°，
所以，这个三角形是钝角三角形．
故原说法错误；
B、三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故原说法错误；
C、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故原说法正确；
D、反证法的第一步是假设，即假设命题结论的反面成立，故原说法错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反证法和线段垂直平分线的性质，属于基础题．
2．（2025春 中山市）下列命题中是真命题的是（　　）
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．垂线段最短
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；垂线段最短；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行公理、平行线的性质与判定判断、垂线段的性质等逐项判断即可．
【解答】解：A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，
故A选项是假命题，不符合题意；
B．两条平行线线被第三条直线所截，同位角相等，
故B选项是假命题，不符合题意；
C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
故C选项是假命题，不符合题意；
D．垂线段最短，
故D选项是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理，对顶角、邻补角，垂线段最短，同位角、内错角、同旁内角，平行公理及推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质等是解答本题的关键．
3．（2025春 宁河区三模）下列命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．两个锐角的和是钝角
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；平行公理及推论；平行线的性质．
【专题】应用题；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，对顶角的定义，锐角和的范围，平行公理逐项判断即可．
【解答】解：根据相关知识点逐项分析判断如下：
A．两直线平行，同旁内角互补，故A选项命题是假命题，不符合题意；
B．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故B选项命题是假命题，不符合题意；
C．两个锐角的和可能为锐角、直角、钝角，故C选项命题是假命题，不符合题意；
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了命题和定理，熟练掌握平行线的性质，对顶角的定义，锐角和的范围，平行公理是解题的关键．
4．（2025春 天山区）下列命题：①对顶角相等；②实数与数轴上的点一一对应；③同旁内角互补，两直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．是真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；实数与数轴；平行线的判定与性质．
【专题】实数；几何图形；应用意识．
【答案】C
【分析】根据对顶角的性质，实数与数轴，平行线的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：①对顶角相等；是真命题；
②实数与数轴上的点一一对应；是真命题；
③同旁内角互补，两直线平行；是真命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．不是命题．
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，对顶角的性质，实数与数轴，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
5．（2025 綦江区一模）下列命题中的真命题是（　　）
A．若a＞b，则ac＞bc
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．点到直线的距离是点到直线的垂线段
D．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形
【考点】命题与定理；点到直线的距离；菱形的判定；中点四边形．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】依据不等式性质，绝对值性质，点到直线的距离以及中点四边形的判定定理逐项分析判断即可．
【解答】解：A．a＞b，当c＞0时，ac＞bc，当c＜0时，ac＜bc，当c＝0时，ac＝bc，
故命题是假命题，该选项不符合题意；
B．|a|＝|b|时，a＝b或a＝﹣b，
故命题是假命题，该选项不符合题意；
C．点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，
故命题是假命题，该选项不符合题意；
D．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形，
故命题是真命题，该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理，点到直线的距离，菱形的判定，中点四边形，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理以及中点四边形的性质．
6．（2025春 浏阳市三模）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．正方形的四边相等
C．矩形的四个角相等
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【考点】命题与定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质．
【专题】应用题；推理能力．
【答案】B
【分析】先写出各个选项的逆命题，逐个进行判断即可．
【解答】解：A、逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，故选项不符合题意；
B、逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”，是假命题，故选项符合题意；
C、逆命题为“四个角都相等的四边形是矩形”，是真命题，故选项不符合题意；
D、逆命题为“如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形”，是真命题，故选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、直角三角形的性质，解题的关键是正确写出各个命题的逆命题，再进行判断．
7．（2025春 市北区三模）用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　）
A．两个锐角都大于45°
B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45°
D．两个锐角都等于45°
【考点】反证法；直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，有两个锐角，
∴用反证法证明命题“直角三角形中的两个锐角中至少有一个角不小于45°“时，首先应假设这个直角三角形中两个锐角都小于45°．
故答案为：B．
【点评】本题考查了反证法，直角三角形的性质，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．（2025春 无锡三模）已知下列命题：
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
④对角线互相垂直的四边形是菱形．
其中正确的命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；②对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
正确的命题有1个，
故选：A．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相关四边形的判定方法，难度不大．
9．（2025春 越秀区）下列命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．矩形的两条对角线互相垂直
D．正方形的对角线垂直平分且相等
【考点】命题与定理；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】依据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一分析即可．
【解答】解：A、平行四边形的对边相等，
故该命题是真命题，不符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，
故该命题是真命题，不符合题意；
C、矩形的对角线不垂直，
故该命题是假命题，符合题意；
D、正方形的对角线垂直平分且相等，
故该命题是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题与定理，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的性质，正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质．
10．（2025春 越秀区）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果a＞b，那么﹣a＞﹣b B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．如果a＞b，那么a2＞b2 D．如果a＝b＝0，那么ab＝0
【考点】命题与定理；绝对值；不等式的性质．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可．
【解答】解：A．逆命题为：如果﹣a＞﹣b，那么a＞b，
∴该选项中的命题是假命题，不符合题意；
B．逆命题为：如果a＝b，那么|a|＝|b|，
∴该选项中的命题是真命题，符合题意；
C．逆命题为：如果a2＞b2，那么a＞b，
∴该选项中的命题是假命题，不符合题意；
D．逆命题为：如果ab＝0，那么a＝b＝0，
∴该选项中的命题是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了命题与定理，绝对值，不等式的性质，解答本题的关键是熟练掌握不等式的性质．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 平谷区一模）学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如表所示：
节目名称 共同合作的人数
A 5
B 4
C 3
D 2
E 1
若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要 　5　 个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有 　24　 种不同的情况．
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】5，24．
【分析】根据题意推理即可．
【解答】解：节目A需要5个人；
节目B需要4个人，可以让参加A节目的5人中的4个人接着参加节目，先考虑人员安排；
节目C 需要3个人，可以让参加A节目的5人中的3个人参加节目；
节目D需要2个人，可以从前面参加过的人中选2个人参加节目；
节目E需要1 个人，可以从前面参加过的人中选2个人参加节目；
所以完成节目至少需要5人；
当第二个节目是B时，若第三个节目是C，第四个节目是D，第五个节目是E；若第三个节目是C，第四个节目是E，第五个节目是D；若第三个节目是D，第四个节目是C，第五个节目是E；若第三个节目是D，第四个节目是E，第五个节目是C；若第三个节目是E，第四个节目是C，第五个节目是D；若第三个节目是E，第四个节目是D，第五个节目是C；有6种情况；
同理，第三个节目是C、D、E时，分别有6种情况，
∴一共有24种顺序；
故答案为：5，24．
【点评】本题考查推理与论证，关键是理解题意，逻辑严密，正确推理．
12．（2025春 门头沟区）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 4
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 　53　 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 　28　 分钟．
【考点】推理与论证．
【专题】实数；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．
【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+4＝55（分钟），
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要55分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要11分钟，
最后甲学生做工序F，乙学生同时做工序E，需要8分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+11+8＝28（分钟），
故答案为：55，28．
【点评】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．
13．（2025春 武汉三模）在平面直角坐标系中，已知A（﹣a，3a+2），B（2a﹣3，a+2），C（2a﹣3，a﹣2）三个点，下列四个命题：
①若AB∥x轴，则a＝0；
②若AB∥y轴，则a＝1；
③若a＝﹣1，则A、B、C三点在同一条直线上；
④若a＞1，三角形ABC的面积等于8，则点C的坐标为（，）．
其中真命题有　①②③④　 （填序号）．
【考点】命题与定理；坐标与图形性质；三角形的面积．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】①②③④．
【分析】①根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出a 的值，再判断即可；
②根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同求出a的值，再判断即可；
③根据a ＝1，求出A，B，C三点坐标即可判断；
④根据B、C横坐标相同，可判断BC//y轴，得出BC＝4，再表示出点A到BC的距离，再根据三角形ABC的面积等于8列出关系式求出a的值即可求出点C的坐标．
【解答】解：对于①：∵AB//x轴，
∴3a+2＝a+2，
∴a＝0，
故①正确；
对于②：∵AB//y轴，
∴﹣a＝2a﹣3，
∴a＝1，
故②正确；
对于③：
∵a＝1，
∴A（﹣1，5），B（﹣1，3），C（﹣1，﹣1），
∵A、B、C三点的横坐标相同，
∴A、B、C三点在同一条直线上，
故③正确；
对于④：∵B（2a﹣3，a+2），C （2a﹣3，a﹣2），
∴BC//y轴，
∴BC＝4，
∵A （﹣a，3a+2），a＞1，
∴点A到BC的距离为：2a﹣3﹣（﹣a） ＝3a﹣3，
由三角形ABC的面积等于8，可得：
4×（3a﹣3）＝6a﹣6＝8，
∴a，
∴点C的坐标为（），
故④正确；
综上分析可知，真命题为①②③④，
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了点的坐标，三角形的面积，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，是解题的关键．
14．（2025 齐河县）某气象台发现：在某段时间里，如果白天下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么白天是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天白天是晴天，则这一段时间有　11　 天．
【考点】推理与论证．
【答案】见试题解答内容
【分析】解法一：根据题意设有x天白天下雨，这一段时间有y天；有9天下雨，即白天下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，①总天数﹣白天下雨＝白天晴天；②总天数﹣晚上下雨＝晚上晴天；列方程组解出即可．
解法二：列三元一次方程组，解出即可．
【解答】解：解法一：设有x天白天下雨，这一段时间有y天，
根据题意得：，
①+②得：2y＝22，
y＝11．
所以一共有11天；
解法二：设一共有x天，白天下雨的有y天，晚上下雨的有z天，
根据题意得：，
解得：．
所以一共有11天．
故答案为：11．
【点评】此题考查了推理与论证，本题以天气为背景，考查了学生生活实际问题，恰当准确设未知数是本题的关键；根据生活实际可知，白天和晚上要么下雨，要么晴天；本题也可以用算术方法求解：（9+6+7）÷2＝11．
15．（2025 西城区校级）小胜去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解．小胜准备8：30进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计），每个场馆完整参观且只参观一次．
（1）若不考虑专业讲解的情况下，小胜最多可以完整参观　4　 个展馆；
（2）若B，E展馆必须都要参观且能赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出一种符合题意的参观顺序 　F→C→B→E　 ．
展馆 A B C D E F
专业讲解 无 9：30﹣11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00﹣12：00每1小时一场，共2场 无
参观所需时间（分钟） 60 30 40 30 60 80
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）4；（2）F→C→B→E．
【分析】（1）根据小胜有3.5个小时时间参观，由此判断即可；
（2）根据B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，时间3.5小时可得结论．
【解答】解：（1）准备8：30进科技馆，12：00离开，共有3.5个小时时间参观，
40+30+30+60＝160分钟，40+30+30+60+60＝220分钟＞210分钟，
∴小胜最多可以完整参观4个展馆．
故答案为：4；
（2）根据B、E展馆必须参观，时间为90分钟，
还有120分钟，所以可以选择F和C．
一种符合题意的参观顺序：F→C→B→E．
故答案为：F→C→B→E．
【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是理解题意，学会合理安排．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 蓬江区校级一模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO＝0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图3所示，此时，A′B′与水平方向的夹角为60°．
（1）求图3中点B′到地面的距离；
（2）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
（3）图4中，一辆宽1.6m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．
（参考数据：，π≈3.14，所有结果精确到0.1）
【考点】轨迹；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；矩形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）点B′到地面的距离约为2.8m；
（2）点C所经过的路径约为3.1m；
（3）汽车能安全通过，理由见解析．
【分析】（1）过点B′作B'N⊥OM于点N，交AB于点E，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．
（2）根据弧长公式解答即可；
（3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．
【解答】解：（1）如图1，过点B′作B′N⊥O M于点N，交AB于点E，
依题意得：∠B′AE＝60°，AB′＝AB＝3m，∠BAB′＝60°，
在Rt△AEB′中，，
∴B′E＝AB′ sin∠BAB′＝3×sin60°＝32.598（m），
∴B′N＝B′E+E N＝2.598+0.2≈2.8 m，
答：点B′到地面的距离约为2.8m；
（2）∵点C′是点C绕点D旋转60°得到的，
∴点C经过的路径长为π≈3.1（m），
答：点C所经过的路径约为3.1m．
（3）汽车能安全通过．
在OM上取MK＝0.4m，KF＝1.6m，作FG⊥OM于点F，交AB于点H，交AB′于点G，
即汽车与BC保持安全距离MK＝0.4m，汽车的宽KF＝1.6m，
∴O F＝3﹣1.6﹣0.4＝1m，
依题意得：∠AHG＝90°，∠GAH＝60°，四边形AOFH是矩形，
∴AH＝OF＝1m，HF＝OA＝0.2m，
在Rt△AGH中，，
∴GH＝AH tan∠GAH＝1×tan60°1.732（m），
∴G F＝G H+H F≈1.732+0.2＝1.932（m），
∵汽车高度为1.6m，1.932＞1.6，
∴汽车能安全通过，
【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．
17．（2025春 射阳县三模）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，点D是AC上一点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长．
【考点】轨迹；旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】点E运动的路径长为．
【分析】根据△BDE是等边三角形，得出点E运动的路径长等于点D运动的路径长，即为AC的长，根据勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵点B为定点，
∴BE可以看作是BD绕点B顺时针旋转60°而来，
∴点E运动的路径长等于点D运动的路径长，即为AC的长，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC2，
∴点E运动的路径长为．
【点评】本题考查轨迹，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹．
18．（2025 龙岩）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，E在CA的延长线上．现给出以下三个条件：
①AC是⊙O的直径，②EB是⊙O的切线，③∠ABE＝∠C．
（1）请你从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明；
（2）在（1）的条件下，若AB＝AE，求∠C的度数．
【考点】命题与定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】几何图形；运算能力．
【答案】（1）选择①②作为条件，③作为结论；选择①③作为条件，②作为结论；证明见解析；
（2）30°．
【分析】（1）选择①②作为条件，③作为结论：如图所示，连接OB，根据切线的性质和圆周角定理得到∠ABC＝∠OBE＝90°，则可得∠OBC＝∠ABE，再由等边对等角得到∠C＝∠OBC，由此可得∠ABE＝∠C；
选择①③作为条件，②作为结论：如图所示，连接OB，由圆周角定理得到∠OBC+∠OBA＝90°，由等边对等角得到∠C＝∠OBC，由此即可得到∠OBC＝∠ABE，进一步得到∠OBE＝90°，则EB是⊙O的切线；
（2）证明∠ABE＝∠C＝∠E，再由∠ABE+∠C+∠E+∠ABC＝180°进行求解即可．
【解答】解：（1）选择①②作为条件，③作为结论：
如图所示，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，EB是⊙O的切线，
∴∠ABC＝∠OBE＝90°，
∴∠OBC＝∠ABE，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC，
∴∠ABE＝∠C；
选择①③作为条件，②作为结论：
如图所示，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90，
∴∠OBC+∠OBA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠ABE＝∠C；
∴∠OBC＝∠ABE，
∴∠ABE+∠OBA＝90°，即∠OBE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴EB是⊙O的切线；
（2）∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
又∵∠ABE＝∠C，
∴∠ABE＝∠C＝∠E，
∵∠ABE+∠C+∠E+∠ABC＝180°，
∴3∠C+90°＝180°，
∴∠C＝30°．
【点评】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知切线的性质与判定条件是解题的关键．
19．（2025春 黄浦区三模）如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD．
（1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题；
（2）选择（1）中的一个真命题加以证明．
【考点】命题与定理；平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可；
（2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可．
【解答】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD，该命题是真命题；
选择①③为题设，②为结论，命题为：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C，该命题是真命题；
选择②③为题设，①为结论，命题为：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2，该命题是真命题；
（2）证明：选择①②为题设，③为结论，
由条件可知∠2＝∠CGD，
∴CE∥BF，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠BFD，
∴AB∥CD；
选择①③为题设，②为结论，
由条件可知∠2＝∠CGD，
∴CE∥BF，
∴∠C＝∠BFD，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∴∠B＝∠C；
选择②③为题设，①为结论，
由平行线性质可知∠B＝∠BFD，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝∠BFD，
∴CE∥BF，
∴∠2＝∠CGD，
又∵∠1＝∠CGD，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（2025 射阳县一模）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），其中x1＜x2．
[实践操作]（1）若P1，P2是抛物线y＝x2﹣2x上的点，下列命题正确的有 　①③　 ．
①若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2
②若|x1﹣1|＞|x2﹣1|．则y1＜y2
③若|x1﹣1|＝|x2﹣1|．则y1＝y2
④若|x1﹣1|＜|x2﹣1|．则y1＞y2
[实践思考]（2）若P1，P2是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的点，对称轴为直线x＝t．
若|x1﹣t|　＞　 |x2﹣t|，y1＞y2；若|x1﹣t|　＝　 |x2﹣t|，y1＝y2；若|x1﹣t|　＜　 |x2﹣t|，则y1＜y2．
[实践应用]（3）在（2）的条件下，
①若该抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
②若对于x1+x2＜3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【考点】命题与定理；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）①③；
（2）＞，＝，＜；
（3）①x1＝0，x2＝2；
②t．
【分析】（1）根据抛物线图象性质，可得出结果；
（2）做法同（1）；
（3）①当y1＝y2时，有|x1﹣1|＝|x2﹣1|，所以x1＝0，x2＝2；
②根据抛物线的性质列出不等式求解．
【解答】解：（1）∵抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴距对称轴越近，函数值就越小，距对称距离相等，函数值就相等，
故正确命题为：①③，
故答案为：①③；
（2）由抛物线的性质得：|x1﹣t|＞|x2﹣t|，y1＞y2；若|x1﹣t|＝|x2﹣t|，y1＝y2；若|x1﹣t|＜|x2﹣t|，则y1＜y2，
故答案为：＞，＝，＜；
（3）①当x＝0时，y＝c，1﹣0＝2﹣1，
所以x1，x2的值分别为：0，2；
②∵y1＜y2，则|x1﹣t|＜|x2﹣t|，
∴（x1﹣t）2＜（x2﹣t）2，
即（x1﹣x2）（x1+x2﹣2t）＜0，
∵x1﹣x2＜0，
∴x1+x2﹣2t＞0，即x1+x2＞2t，
∵x1+x2＜3，
∴t．
【点评】本题考查了命题与定理，掌握二次函数的图形和性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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