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中考核心考点 锐角三角函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 琼山区）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图，在建筑物旁边有一幢高度为12米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）
A．24米 B．米
C．18米 D．15米
2．（2025春 集美区）如图是脊柱侧弯检测示意图，点E在∠O的角平分线上．在体检时为方便测出Cobb∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的一角，在利用三角函数求出该角的度数，就可得到∠O的度数．以下使用的数学表达式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 雁塔区）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC．若AB＝3，DE＝1，，则线段AD的长为（　　）
A．2 B． C． D．
4．（2025 西宁二模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
5．（2025 崂山区一模）如图，已知∠B＝90°，∠DAB＝55°，∠CAB＝45°，AB＝a，则CD的长是（　　）
A．a tan55°﹣a B．a sin55°﹣a
C．a cos55°﹣a D．
6．（2025 柳州一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π3．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（　　）
A．l12＝24Rsin15° B．l12＝24Rcos15°
C．l12＝24Rsin30° D．l12＝24Rcos30°
7．（2025 罗湖区一模）某仓储中心有一个斜坡AB，∠B＝18°，B、C在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形DEFG的正方体货柜，其中DE＝1.6米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离BC所在水平面的高度DH的最大值）为6.2米，则BG的长度应不超过（　　）米．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
A．13.4 B．15 C．20 D．25
8．（2025春 长沙三模）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱光线从空气射入某种液体，观察到入射角（∠1）与折射角（∠2）约为4：3的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度α，β斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角γ与α，β的数学关系为（　　）
A．a+β＝γ B．α+β+γ＝180°
C． D．γ
9．（2025 淄川区一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025 罗湖区）如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角α为10°．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F（点C、D、N、F在一条直线上），经测得：DE＝27.36cm，∠ABM＝145°，则铁架台和点F的水平距离DF的长度（　　）
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
A．33.0 B．33.8 C．26.0 D．26.8
二．填空题（共5小题）
11．（2025 海珠区一模）材料阅读：
光从空气射入玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．如图1，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即．
问题求解：如图2，矩形ABCD为某透明玻璃，一束光线从点O以俯角45°射向玻璃上的点P，折射后到达玻璃底部的点Q，测得OA＝4，，BQ＝8，则折射率n＝ 　 　 ，同样的光线从点E以俯角60°射向玻璃上的点F，折射后到达玻璃底部的点G，测得，则BG＝ 　 　 ．
12．（2025春 市北区三模）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为　 　 cm．
13．（2025 成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AB＝4，AD∥BC，点E是射线AD上一点，连接CE，作△PQC与△ABC关于CE对称（点A，B的对称点为P，Q），连接EQ，若，则EQ＝　 　 ．
14．（2025 武汉）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，则古亭与古柳之间的距离AB的长约为 　 　 m．（结果精确到1m．参考数据：，
15．（2025 同安区一模）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，在⊙O中，M是的中点，MN⊥AB于点N．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：，当OA＝5，时，则的弧长l的近似值为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 海陵区一模）工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为34cm，即BF＝EF＝34cm（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子AB与地面CD的夹角∠ABD为72°．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡O，此时人与梯子的夹角∠AEO为12°．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离OE长为220cm，OA垂直于地面，垂足为点H，求灯泡到地面的高度OH．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin84°≈0.99，cos84°≈0.10，tan84°≈9.51，结果精确到1cm）
17．（2025 温江区二模）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2.2m，CF＝1.1m，∠DPE＝16°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为73°时，要使遮阳效果最佳，求AP的长．（结果精确到0.1m；参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，sin73°≈0.96，cos73°≈0.29）
18．（2024秋 宁远县三模）莽山多奇峰，假期某一天，天气晴好，热爱户外运动的胡老师到莽山公园爬山．有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，胡老师从山脚A出发，沿AB走400米到B点，再沿BC到山顶C点，已知山高CF为384米，BE∥AF，BD⊥AF，CE⊥BE交AD的延长线于点F，∠1＝30°，∠2＝50°．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求BD的长；
（2）求胡老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
19．（2025春 江北区）小字小水两人相约一起去看电影．如图，东西走向直线上有小字家点A，电影院点B，在AB之间有一家奶茶店点C，小水家点D在点A的北偏东60°方向，在点B的北偏西53°方向，奶茶店点C在小水家点D的南偏西15°，已知CD的距离为米．（参考数据：，，，1.41，）
（1）求AD的长度（结果保留根号）；
（2）小字从家先出发，步行至点C购买奶茶店后（购买奶茶时间忽略不计）立即联系在家的小水，两人同时出发，小字和小水分别由C→B和D→B的路线跑步到电影院，已知小字跑步的速度为210米/分，小水跑步的速度为240米/分，两人谁先到达电影院？请计算并说明理由（结果保留2位小数）．
20．（2025 禹州市）圭表塔是耸立在河南科技馆新馆最高的建筑，某校数学兴趣小组的同学使用卷尺和自制的1.4m高的测角仪测量圭表塔的高度，示意图如图所示，组员甲在水平地面点E处用测角仪测得圭表塔最高点B处的仰角为38.5°，组员乙从点M处沿台阶上至第4级，在点D处测得圭表塔最高点B处的仰角为45°，用卷尺测得每级台阶宽为0.3m，高为0.15m，点M，E之间的距离为222m．求圭表塔的高度BF（点M，C，B，A）在同一竖直平面内，CD⊥ME，AE⊥ME，结果精确到1m．
参考数据：（sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）．
锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 琼山区）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图，在建筑物旁边有一幢高度为12米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）
A．24米 B．米
C．18米 D．15米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设过点A的水平线于CD交于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，在Rt△ACE中，用CD表示AE，再利用AE＝BD列方程即可求出CD．
【解答】解：由题意知：四边形ABDE是矩形，如图，设过点A的水平线于CD交于点E，
∴DE＝AB＝12米，AE＝BD，
在Rt△BCD中，，
在Rt△ACE中，，
∴，
解得CD＝18，
∴建筑物CD的高为18米，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2025春 集美区）如图是脊柱侧弯检测示意图，点E在∠O的角平分线上．在体检时为方便测出Cobb∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的一角，在利用三角函数求出该角的度数，就可得到∠O的度数．以下使用的数学表达式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据解直角三角形及角平分线性质定理解答即可．
【解答】解：∵点E在∠O的角平分线上．EB⊥OB，AD与BC交于点E，
∴EA⊥OC，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴DE＝CE，
在Rt△AEC中，
cos∠AEC．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025 雁塔区）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC．若AB＝3，DE＝1，，则线段AD的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】解直角三角形；角平分线的性质．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】过点D作DF⊥AB，先利用角平分线的性质说明DF、DE的关系，再利用直角三角形的边角间关系、勾股定理求出BD、BF的长，最后利用勾股定理得结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF＝1．
在Rt△BFD中，
∵sinB，
∴BD．
∴BF
＝1．
∴AF＝AB﹣BF＝2．
在Rt△AFD中，
AD
．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、角平分线上的点到角两边的距离相等等知识点是解决本题的关键．
4．（2025 西宁二模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】过点B作AC边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，
根据勾股定理得，
BM，
CM，
在Rt△BCM中，
tan∠ACB．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，过点B作AC的垂线构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键．
5．（2025 崂山区一模）如图，已知∠B＝90°，∠DAB＝55°，∠CAB＝45°，AB＝a，则CD的长是（　　）
A．a tan55°﹣a B．a sin55°﹣a
C．a cos55°﹣a D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据正切的定义，表示出BD和BC的长，进一步表示出CD的长即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，
tan∠DAB，
所以BD＝a tan55°．
又因为∠ACB＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形，
所以BC＝AB＝a，
所以CD＝BD﹣BC＝a tan55°﹣a．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．
6．（2025 柳州一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π3．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（　　）
A．l12＝24Rsin15° B．l12＝24Rcos15°
C．l12＝24Rsin30° D．l12＝24Rcos30°
【考点】解直角三角形的应用；数学常识；规律型：图形的变化类；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先求出圆内接正十二边形的中心角，然后利用等腰三角形的性质可得∠A6OH∠A6OA7＝15°，A6A7＝2A6H，从而在Rt△OA6H中，利用锐角三角函数的定义求出A6H，进而求出A6A7，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵十二边形A1A2…A12是圆内接正十二边形，
∴∠A6OA730°，
∵OA6＝OA7，OH⊥A6A7，
∴∠A6OH∠A6OA7＝15°，A6A7＝2A6H，
在Rt△OA6H中，OA6＝R，
∴A6H＝OA6 sin15°＝Rsin15°，
∴A6A7＝2A6H＝2Rsin15°，
∴圆内接正十二边形的周长l12＝24Rsin15°，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，数学常识，解直角三角形的应用，规律型：图形变化类，熟练掌握解直角三角形的应用，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（2025 罗湖区一模）某仓储中心有一个斜坡AB，∠B＝18°，B、C在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形DEFG的正方体货柜，其中DE＝1.6米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离BC所在水平面的高度DH的最大值）为6.2米，则BG的长度应不超过（　　）米．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
A．13.4 B．15 C．20 D．25
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质以及已知条件可得∠DGM＝∠DHB＝90°，再根据三角形内角和定理得到∠GDM＝∠B＝18°，根据余弦和正切的定义求出DM、MG，根然后根据线段的和差MH，再解直角三角形求得MB，最后求得BG即可．
【解答】解：∵正方形DEFG，
∴DG＝DE＝1.6米，∠DGM＝90°，
∴∠DGM＝∠DHB＝90°，
∵∠DMG＝∠BMH，
∴∠GDM＝∠B＝18°，
∴，MG＝DG tan∠GDM＝tan18°×1.6＝0.32×1.6≈0.51，
∵DH＝6.2米，
∴HM＝DH﹣DM＝6.2﹣1.68＝4.52（米），
∵，
∴（米），
∴BG＝MG+MB＝0.51+14.58≈15（米）．
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（2025春 长沙三模）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱光线从空气射入某种液体，观察到入射角（∠1）与折射角（∠2）约为4：3的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度α，β斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角γ与α，β的数学关系为（　　）
A．a+β＝γ B．α+β+γ＝180°
C． D．γ
【考点】解直角三角形的应用；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】过B，D，F分别作水平线的垂线，则PC∥DE∥QG，依据平行线的性质以及光的折射原理，即可得到α，β，γ三者之间的数量关系．
【解答】解：如下图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则PC∥DE∥QG，
则∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝∠DBC+∠DFG，
由题可得，∠DBC∠ABP（90°﹣α），∠DFG∠HFQ（90°﹣β），
从而∠BDF（90°﹣α）（90°﹣β）（180°﹣α﹣β），
即γ＝135°（α+β），即（α+β）＝135°﹣γ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．（2025 淄川区一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】连接DE，CE，先利用勾股定理的定理证明△DCE是直角三角形，从而可得∠DCE＝90°，然后在Rt△DCE中，利用锐角三角函数的定义求出cos∠CDE，再根据题意得：DE∥AB，从而可得∠APC＝∠CDE，即可解答．
【解答】解：如图：连接DE，CE，
由题意得：DC2＝22+42＝20，
EC2＝22+12＝5，
DE2＝32+42＝25，
∴DC2+CE2＝DE2，
∴△DCE是直角三角形，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，DC2，DE5，
∴cos∠CDE，
由题意得：DE∥AB，
∴∠APC＝∠CDE，
∴cos∠APC＝cos∠CDE，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2025 罗湖区）如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角α为10°．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F（点C、D、N、F在一条直线上），经测得：DE＝27.36cm，∠ABM＝145°，则铁架台和点F的水平距离DF的长度（　　）
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
A．33.0 B．33.8 C．26.0 D．26.8
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作BT⊥CD于点T，则∠EBG＝α＝10°，∠HBM＝180°﹣（145°﹣α）＝45°＝∠BFT，则△BFT为等腰直角三角形，则BT＝TF＝DG，即可求解．
【解答】解：过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作BT⊥CD于点T，
则∠EBG＝α＝10°，∠HBM＝180°﹣（145°﹣α）＝45°＝∠BFT，
则△BFT为等腰直角三角形，则BT＝TF＝DG，
∵AB＝24cm，则BEAB＝8cm，
在△BEG中，GE＝BE sinα＝8×0.17＝1.36（cm），BG＝BE cosα＝7.84cm＝DT，
则GD＝DE﹣EG＝27.36﹣1.36＝26（cm）＝BT＝TF，
则DF＝DT+TF＝7.84+26＝33.84≈33.8（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 海珠区一模）材料阅读：
光从空气射入玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．如图1，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即．
问题求解：如图2，矩形ABCD为某透明玻璃，一束光线从点O以俯角45°射向玻璃上的点P，折射后到达玻璃底部的点Q，测得OA＝4，，BQ＝8，则折射率n＝ 　　 ，同样的光线从点E以俯角60°射向玻璃上的点F，折射后到达玻璃底部的点G，测得，则BG＝ 　　 ．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】，．
【分析】根据题意，对于直线OP，作MN⊥BC，计算出入射角和折射角的正弦值的比值，即可得到折射率；利用折射率，求出直线EF的折射角的正弦值，在Rt△GFH中，求出HG，即可得到结果．
【解答】解：如图2，过P点作MN⊥BC于N点，
∴入射角为∠MPO＝45°，折射角为∠QPN，
∵在Rt△OAP中，OA＝4，∠OPA＝45°，
∴AP＝OA＝4，
∴BN＝4，
∵BQ＝8，
∴NQ＝BQ﹣BN＝4，
∵在Rt△NQP中，PN＝AB＝2，
∴PQ2＝NQ2+PN2＝72，
∴PQ＝6，
∴sin∠QPN，
∵sin∠MPO＝sin45°，
∴折射率n；
如图2，过F点作KH⊥BC于H点，
∴入射角为∠KFE＝30°，折射角为∠GFH，
∵在Rt△AEF中，AE，∠AEF＝30°，
∴AF＝AE tan∠AEF tan30°＝1，
∴BH＝1，
∵折射率n，
∴，
即，
∴sin∠GFH，
∴在Rt△GFH中，sin∠GFH，
令GH＝x，则GF＝3x，又因FH＝AB＝2，GF2＝GH2+FH2，
∴9x2＝x2+56，
解得x，
即GH，
∴BG＝GH+BH1，
故答案为：，．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
12．（2025春 市北区三模）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为　　 cm．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】连接AC，过B作BD⊥AC于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出AC＝2AD，∠A＝∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，即可求解．
【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D，
由条件可知AC＝2AD，∠A＝∠C＝30°，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形相关性质求出对应边的长度．
13．（2025 成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AB＝4，AD∥BC，点E是射线AD上一点，连接CE，作△PQC与△ABC关于CE对称（点A，B的对称点为P，Q），连接EQ，若，则EQ＝　2　 ．
【考点】解直角三角形；平行线的性质；轴对称的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】2．
【分析】由对称可知EB＝EQ，所以将要求线段转化为EB，则解△ACE求出AE，再利用勾股定理求出EB即可得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC5，
过E作EH⊥AC于点H，
∵AE∥BC，
∴∠EAH＝∠ACB，∠BAE＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴tan∠AEH＝tan∠ACB，
∴，
∵tan∠ACE，
∴设EH＝24x，则CH＝7x，AHEH＝18x，
∴AC＝AH+CH＝25x＝5，
解得x，
在Rt△AEH中，AE30x＝6，
连接EB，
在Rt△AEB中，EB2，
∵△PQC与△ABC关于CE对称（点A，B的对称点为P，Q），
∴EQ＝EB＝2；
【点评】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等内容，将EQ转化为线段EB是解题的关键．
14．（2025 武汉）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，则古亭与古柳之间的距离AB的长约为 　137　 m．（结果精确到1m．参考数据：，
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】137．
【分析】过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C，设AC＝x米，则CD＝（x+50）米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义可得BC＝DC，从而列出关于x的方程，进行计算即可求出AC的长，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答．
【解答】解：过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C，
设AC＝x米，
∵AD＝50米，
∴CD＝AC+AD＝（x+50）米，
在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，
∴BC＝AC tan60°x（米），
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
∴tan45°1，
∴BC＝CD，
∴x＝x+50，
∴x＝2525，
∴AC＝（2525）米，
∴AB5050≈137（米），
∴古亭与古柳之间的距离AB的长约为137米．
故答案为：137．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2025 同安区一模）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，在⊙O中，M是的中点，MN⊥AB于点N．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：，当OA＝5，时，则的弧长l的近似值为 　9﹣2　 ．
【考点】解直角三角形的应用；垂径定理的应用；圆周角定理；弧长的计算．
【专题】与圆有关的计算；推理能力；应用意识．
【答案】9﹣2．
【分析】连接ON，根据是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，过点A作AG⊥OB于点G，根据三角函数求出，AG，OG和BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求出AB，再根据等面积法求出ON，MN＝OM﹣ON，代入即可作答．
【解答】解：连接ON，过点A作AG⊥OB于点G，如图：
∵是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝5，sin∠AOB，
∴AG＝4，
∴OG3，
∵OA＝OB＝5，
∴BG＝5﹣3＝2，
在Rt△ABG中，AB2，
S△AOBON ABAG OB，即ON×24×5，
∴ON＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝5﹣2，
∴l＝AB29﹣2，
故答案为：9﹣2．
【点评】本题考查圆和解直角三角形的综合应用，解题的关键是理解题意，作辅助线．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 海陵区一模）工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为34cm，即BF＝EF＝34cm（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子AB与地面CD的夹角∠ABD为72°．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡O，此时人与梯子的夹角∠AEO为12°．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离OE长为220cm，OA垂直于地面，垂足为点H，求灯泡到地面的高度OH．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin84°≈0.99，cos84°≈0.10，tan84°≈9.51，结果精确到1cm）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】灯泡到地面的高度OH为282cm．
【分析】根据题意，结合图形，在Rt△BEN中，求出EN长，在Rt△OEM中求出OM长，即可得到结果．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥OH，垂足为M，过点E作EN⊥BD，垂足为N，
∵BF＝EF＝34cm，
∴BE＝68cm，
∵在Rt△BEN中，，
∴EN＝68×sin72°≈68×0.95＝64.6（cm），
∵四边形ENHM为矩形，
∴MH＝EN＝64.6cm，
∵EM∥CD，
∴∠AEM＝∠ABD＝72°，
∴∠OEM＝12°+72°＝84°，
∵在Rt△OEM中，，
∴OM＝OE×sin 84°＝220×0.99＝217.8（cm），
∴OH＝OM+MH＝217.8+64.6＝282.4＝282（cm）．
答：灯泡到地面的高度OH为282cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
17．（2025 温江区二模）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2.2m，CF＝1.1m，∠DPE＝16°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为73°时，要使遮阳效果最佳，求AP的长．（结果精确到0.1m；参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，sin73°≈0.96，cos73°≈0.29）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】AP的长约为1.6m．
【分析】根据四边形内角和定理及所给角的度数可得∠APE的度数，进而可得∠CPF的度数，结合PF的长度，可得MP的长度，易得△CPF为等腰三角形，则PC＝2PM，取AC的长度，减去PC的长度，即为AP的长度．
【解答】解：作FM⊥CP于点M，则∠FMC＝∠FMP＝90°，
由题意得：∠A＝∠BEP＝90°，∠B＝73°，
∴∠APE＝360°﹣2×90°﹣73°＝107°，
∵∠DPE＝16°，
∴∠CPD＝180°﹣107°﹣16°＝57°，
∵PD＝2.2m，F为PD的中点，
∴PF＝1.1（m），
∴MP＝1.1×cos57°≈0.59（m），
∵CF＝1.1m，
∴FC＝FP，
∴PC＝2PM＝1.18（m），
∵AC＝2.8m，
∴AP＝2.8﹣1.18≈1.6（m），
答：AP的长约为1.6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．求得∠CPF的度数并把∠CPF整理到直角三角形中是解题的关键．
18．（2024秋 宁远县三模）莽山多奇峰，假期某一天，天气晴好，热爱户外运动的胡老师到莽山公园爬山．有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，胡老师从山脚A出发，沿AB走400米到B点，再沿BC到山顶C点，已知山高CF为384米，BE∥AF，BD⊥AF，CE⊥BE交AD的延长线于点F，∠1＝30°，∠2＝50°．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求BD的长；
（2）求胡老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）BD的长为200米；
（2）胡老师从山脚A点到达山顶C点共走了约639米．
【分析】（1）根据垂直定义可得：∠ADB＝90°，然后利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）根据已知易得：四边形BDFE是矩形，从而可得BD＝EF＝200米，进而可得EF＝184米，然后在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵BD⊥AF，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝30°，AB＝400米，
∴BDAB＝200（米），
∴BD的长为200米；
（2）∵CE⊥BE，BD⊥AF，
∴∠CEB＝∠BEF＝∠BDF＝90°，
∵BE∥AF，
∴∠AFE＝∠CEB＝90°，
∴四边形BDFE是矩形，
∴BD＝EF＝200米，
∵CF＝384米，
∴EF＝CF﹣EF＝384﹣200＝184（米），
在Rt△CBE中，∠2＝50°，
∴BC239.0（米），
∵AB＝400米，
∴AB+BC＝400+239＝639（米），
∴胡老师从山脚A点到达山顶C点共走了约639米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（2025春 江北区）小字小水两人相约一起去看电影．如图，东西走向直线上有小字家点A，电影院点B，在AB之间有一家奶茶店点C，小水家点D在点A的北偏东60°方向，在点B的北偏西53°方向，奶茶店点C在小水家点D的南偏西15°，已知CD的距离为米．（参考数据：，，，1.41，）
（1）求AD的长度（结果保留根号）；
（2）小字从家先出发，步行至点C购买奶茶店后（购买奶茶时间忽略不计）立即联系在家的小水，两人同时出发，小字和小水分别由C→B和D→B的路线跑步到电影院，已知小字跑步的速度为210米/分，小水跑步的速度为240米/分，两人谁先到达电影院？请计算并说明理由（结果保留2位小数）．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）AD的长度为（600600）米；
（2）小水先到达电影院，理由见解析部分．
【分析】（1）根据题意，作CE⊥AD，在Rt△EDC中，求出DE，在Rt△EAC中，求出AE，即可得到结果；
（2）先分别计算出两人的路程，根据两人的速度，得到所用的时间，从而得到结果．
【解答】解：（1）如图，过C点作CE⊥AD于E点，过D作DF⊥AB于F点，
根据题意，得∠DAC＝30°，∠EDF＝60°，∠FDC＝15°，
∴∠EDC＝45°，
∵在Rt△EDC中，CD＝600米，sin∠EDC，cos∠EDC，
∴CE＝600sin45°＝600（米），DE＝600cos45°＝600（米），
∵在Rt△EAC中，∠DAC＝30°，tan∠DAC，sin∠DAC，
∴AE＝600÷tan30°＝600（米），AC＝600÷sin30°＝1200（米），
∴AD＝AE+ED＝600600（米），
答：AD的长度为（600600）米；
（2）小水先到达电影院，理由如下：
∵在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，AD＝600600（米），
∴DFAD＝300300（米），AF＝AD cos30°＝900+30（米），
∴CF＝AF﹣AC＝900+3001200＝300300（米），
∵在Rt△BDF中，∠BDF＝53°，
∴FB＝DF tan∠BDF＝（300）400400（米），
BD（300）500500（米），
∵小字的路线为C→B，
∴小字的路程为BC＝CF+FB＝300300+400400＝700100≈1311（米），
∵小字跑步的速度为210米/分，
∴小字所用的时间为1311÷210≈6.24（分），
∵小水的路线为D→B，
∴小水的路程为BD＝500500≈1365（米），
∵小水跑步的速度为240米/分，
∴小水所用的时间为1365÷240≈5.69（分），
∵5.69＜6.24，
∴小水先到达电影院．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
20．（2025 禹州市）圭表塔是耸立在河南科技馆新馆最高的建筑，某校数学兴趣小组的同学使用卷尺和自制的1.4m高的测角仪测量圭表塔的高度，示意图如图所示，组员甲在水平地面点E处用测角仪测得圭表塔最高点B处的仰角为38.5°，组员乙从点M处沿台阶上至第4级，在点D处测得圭表塔最高点B处的仰角为45°，用卷尺测得每级台阶宽为0.3m，高为0.15m，点M，E之间的距离为222m．求圭表塔的高度BF（点M，C，B，A）在同一竖直平面内，CD⊥ME，AE⊥ME，结果精确到1m．
参考数据：（sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】圭表塔的高度BF约100m．
【分析】设BF＝x m，延长CD交ME于点P，作DG⊥BF于点G，CN⊥BF于点N，AH⊥BF于点H，根据每个台阶的宽度，高度，台阶的个数可得MP，DP的长度，进而可得PE和BN的长度，则可以根据∠BCN＝45°可得CN的长度，即可求得AH的长度，易得BH的长度，根据38.5°的正切值列出方程求得x的值即可．
【解答】解：设BF＝x m，延长CD交ME于点P，作DG⊥BF于点G，CN⊥BF于点N，AH⊥BF于点H，
则四边形DPFG，四边形CDGN，四边形HFEA是矩形，∠BNC＝90°，∠AHB＝90°，
∵每级台阶宽为0.3m，高为0.15m，组员乙从点M处沿台阶上至第4级，
∴MP＝0.3×4＝1.2（m），DP＝0.15×4＝0.6（m），
∵ME＝222m，
∴PE＝222﹣1.2＝220.8（m），BN＝x﹣1.4﹣0.6＝（x﹣2）m，
∵∠BCN＝45°，
∴CN＝（x﹣2）m，
∴AH＝220.8﹣（x﹣2）＝（222.8﹣x）m，
∵BH＝（x﹣1.4）m，∠BAH＝38.5°，
∴x﹣1.4＝（222.8﹣x） tan38.5°，
解得：x≈100．
答：圭表塔的高度BF约100m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．横平竖直添加辅助线构造直角三角形是解决本题的难点；关键是用含x的代数式表示出38.5°角所在的直角三角形中的对边和邻边．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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