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中考核心考点 四边形
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 仪征市三模）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF＝90°，OE＝6，OF＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B． C． D．4
2．（2025春 宿豫区三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD上一点，AE＝3，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，则线段EF取得最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025 拱墅区一模）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，线段EF不经过点O，且EF∥BC，EF分别与边AB，CD交于点G，H，EG＝FH，连接AE．若AD＝2，EF＝4，点O在线段AE的垂直平分线上，则AG GB＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2025春 广州三模）下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（　　）
A．长度为2的线段
B．边长为2的等边三角形
C．斜边为2的直角三角形
D．面积为4的菱形
5．（2025春 嵩县三模）如图， ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．24
6．（2025春 宁海县三模）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
7．（2025春 丹阳市三模）如图，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠ABC＝∠BCD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AB＝AD
8．（2025春 江阴市三模）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，CD＝3，DA＝4，其中E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EHFG的周长为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
9．（2025春 青山区三模）如图，点E在正方形ABCD的边AD上（不与点A，D重合），点D关于直线CE的对称点为F，作射线DF交CE于点G，连接BF．过点A作AM∥BF，交射线DF于点M，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
10．（2025春 北碚区）如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量，BC＝18cm，BE＝10cm．图中阴影部分的总面积为（　　）
A．24cm2 B．108cm2 C．112cm2 D．144cm2
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 仪征市三模）如图所示衣帽架由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节B、D之间的距离．已知调节完之后B、D间的距离为36cm，A、C间的距离为16cm，则DE与BC之间的距离为　 　 cm．
12．（2025春 江阴市三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为 　 　 ．
13．（2025 长春一模）如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点A的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是　 　 ．
14．（2025 南安市一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝5cm，AC＝6cm，则S菱形ABCD＝ 　 　 cm2．
15．（2025 海州区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 江阴市三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EHQP的三个顶点E，H，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，BH＝2，连接DP．
（1）若CQ＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DQ＝6，求△PDQ的面积．
17．（2025春 恩平市三模）已知菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，求菱形的周长和面积．
18．（2025春 思明区）[问题探究]
（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．
①求证：PD＝PB；
②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处，此时DP＝QP，试探究AQ与OP的数量关系，并说明理由；
[迁移探究]
（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．
19．（2024秋 建平县三模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，，求菱形ADCF的面积．
20．（2024秋 张店区三模）如图，在 ABCD中，E，F为对角线AC上的两点（点E在点F的上方），AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当DE⊥AC时，且DE＝3，DF＝5，求B，D两点之间的距离．
四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 仪征市三模）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF＝90°，OE＝6，OF＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B． C． D．4
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】连接AE，利用中位线性质可得AE＝8，∠AEO＝90°，根据勾股定理计算出OA＝10，根据矩形性质OD＝OA＝10，利用线段和差求出DE长即可．
【解答】解：如图，连接AE，
由条件可知OF是△ACE的中位线，
∴OFAE，OF∥AE，
∴AE＝8，∠AEO＝90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO10，
根据矩形的性质可知AO＝OD＝10，
∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形中位线性质定理，熟练掌握以上知识点是关键．
2．（2025春 宿豫区三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD上一点，AE＝3，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，则线段EF取得最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】矩形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过点P作PM∥EF交AD于点M，易知EF是△APM的中位线，可得PM＝2EF，当PM取得最小值时，EF最小，根据垂线段最短求出最小值即可．
【解答】解：过点P作PM∥EF交AD于点M，
由条件可知EF是△APM的中位线，
∴AM＝2AE＝6，PM＝2EF，
当PM取得最小值时，EF最小，
当PM⊥AD时，PM最小，此时PM＝AB＝6，
∴EF最小PM最小3．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（2025 拱墅区一模）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，线段EF不经过点O，且EF∥BC，EF分别与边AB，CD交于点G，H，EG＝FH，连接AE．若AD＝2，EF＝4，点O在线段AE的垂直平分线上，则AG GB＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OE、OF、BF，作直线OP⊥EF，垂足为P，利用条件证明出点A、E、B、C、F、D共圆，再利用条件判定△EGA∽△BGF，根据相似三角形性质得到AG GB＝GF EG＝3×1＝3即可．
【解答】解：如图，连接OE、OF、BF，作直线OP⊥EF，垂足为P，
在矩形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，
直线OP垂直平分BC，
∵EF∥BC，
∴直线OP垂直平分GH，
∴PG＝PHGH＝1，
∵EF＝4，EG＝FH，
∴EG＝FH（EF﹣GH）1，
∴EP＝FP＝2，
∴OE＝OF，
∵点O在线段AE的垂直平分线上，
∴OA＝OE，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF，
∴点A、E、B、C、F、D共圆，
∵∠EAG＝∠BFG，∠EGA＝∠BGF，
∴△EGA∽△BGF，
∴，
∴AG GB＝GF EG＝3×1＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定、共圆的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
4．（2025春 广州三模）下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（　　）
A．长度为2的线段
B．边长为2的等边三角形
C．斜边为2的直角三角形
D．面积为4的菱形
【考点】正方形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解．
【解答】解：∵正方形的边长为2，
∴对角线长为，
∴长度为2的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故A不符合题意；
边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B不符合题意；
斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意；
而面积为4的菱形对角线最长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，掌握相关图形的特征是解题的关键．
5．（2025春 嵩县三模）如图， ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．24
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，
∴∠OBE＝∠ODH，
又∵∠BOE＝∠DOH，
∴△OBE≌△ODH（ASA），
同理：△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，
∴S阴影＝S△BCD，
∴S△BCDS平行四边形ABCD6×4＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分．
6．（2025春 宁海县三模）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】设多边形边数为n，根据多边形内角和定理和多边形的外角和是360°，由题意列出关于n的方程，解方程即可．
【解答】解：设多边形边数为n，由题意得：180（n﹣2）＝4×360，
n﹣2＝8，
n＝10，
∴这个多边形的边数为10，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题关键是熟练掌握多边形内角和定理和外角和为360°．
7．（2025春 丹阳市三模）如图，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠ABC＝∠BCD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AB＝AD
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
8．（2025春 江阴市三模）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，CD＝3，DA＝4，其中E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EHFG的周长为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】中点四边形；三角形中位线定理．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】由三角形中位线可得，进而问题可求解．
【解答】解：在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，CD＝3，DA＝4，其中E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴，
∴四边形EHFG的周长为2FH+2FG＝10；
故选：A．
【点评】本题主要考查中点四边形，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
9．（2025春 青山区三模）如图，点E在正方形ABCD的边AD上（不与点A，D重合），点D关于直线CE的对称点为F，作射线DF交CE于点G，连接BF．过点A作AM∥BF，交射线DF于点M，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】正方形的性质；轴对称的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】设DM与AB交于点N，连接CF，过点AP⊥DM于点M，设BG＝a，∠ADM＝α，根据正方形的性质及对称性求出∠M＝45°，则△APM是等腰直角三角形，由勾股定理得AMAP，证明△DCE和△ADN全等得DE＝AN，再证明∠EDG＝∠NAP，进而可判定△EDG和△NAP全等，则DG＝AP＝a，则AMAP，据此即可得出的值．
【解答】解：设DM与AB交于点N，连接CF，过点AP⊥DM于点M，如图所示：
设BG＝a，∠ADM＝α，
∵点D与点F关于直线CE对称，
∴FG＝DG＝a，DM⊥CE，DC＝FC，∠DAC＝∠FCE，
∴DF＝2a，∠CDG+∠DCE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC＝BC，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝90°，
∴∠ABM+∠CDG＝90°，
∴∠DCE＝∠FCE＝∠ADM＝α，
∴∠DCF＝∠DCE+∠FCE＝2α，
∴∠BCF＝∠DCB﹣∠DCF＝90°﹣2α，
∵DC＝BC，DC＝FC，
∴BC＝FC，
∴∠CBF＝∠CFB（180°﹣∠BCF）（180°﹣90°+2α）＝45°+α，
∴∠ABF＝CBA﹣∠CBF＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，
∵AM∥BF，
∴∠MAB＝∠ABF＝45°﹣α，
∴∠DAM＝∠BAD+∠MAB＝90°+45°﹣α＝135°﹣α，
在△ADM中，∠M＝180°﹣（∠ADM+∠DAM）＝180°﹣（α+135°﹣α）＝45°，
∵AP⊥DM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP＝MP，
由勾股定理得：AMAP，
在△DCE和△ADN中，
，
∴△DCE≌△ADN（ASA），
∴DE＝AN，
∵AP⊥DM，DM⊥CE，
∴∠DGE＝∠APN＝∠APD＝90°，
∴∠EDG+∠DAP＝90°，
又∵∠NAP+∠DAP＝∠BAD＝90°，
∴∠EDG＝∠NAP，
在△EDG和△NAP中，
，
∴△EDG≌△NAP（AAS），
∴DG＝AP＝a，
∴AMAP，
∴．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，轴对称的性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
10．（2025春 北碚区）如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量，BC＝18cm，BE＝10cm．图中阴影部分的总面积为（　　）
A．24cm2 B．108cm2 C．112cm2 D．144cm2
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】小长方形的宽为a cm，长为b cm，则AB＝（2a+10）cm，CD＝（a+b）cm，AD＝（3a+b）cm，再根据AB＝CD，AD＝BC＝18cm，得，解此方程组得，则AB＝14cm，进而得小长方形的面积为24cm2，长方形ABCD的面积为252cm2，由此即可得出图中阴影部分的总面积．
【解答】解：小长方形的宽为a cm，长为bc m，则小长方形的面积为ab cm2，
∴AB＝（2a+10）cm，CD＝（a+b）cm，AD＝（3a+b）cm，
∵四边形ABCD是长方形，BC＝18cm，
∴AB＝CD，AD＝BC＝18cm，
∴2a+10＝a+b，3a+b＝18，
解方程组：，得：，
∴AB＝2a+10＝14（cm），
∴小长方形的面积为：ab＝2×12＝24（cm2），长方形ABCD的面积为：AB BC＝14×18＝252（cm2），
∴图中阴影部分的总面积为：252﹣6×24＝108（cm2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，准确识图，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 仪征市三模）如图所示衣帽架由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节B、D之间的距离．已知调节完之后B、D间的距离为36cm，A、C间的距离为16cm，则DE与BC之间的距离为　　 cm．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接AC、BD交于点O，连接CD，根据菱形的性质解答即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O，连接CD，
∵衣帽架由三个全等的菱形构成，
∴AC⊥BD，
∵A、C间的距离为16cm，B、D间的距离为36cm，
∴AO＝8cm，BO＝6cm，
∴BC＝AB＝10cm，
设DE与BC之间的距离为h cm，则有，
解得h．
故DE与BC之间的距离为cm．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是关键．
12．（2025春 江阴市三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为 　　 ．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【答案】．
【分析】连接AC，交EF于O，先求出AC，依题意得CF＝AE，由此可证明△FCO和△EAO全等，进而得OA＝OCAC，再根据“垂线段最短”得OG≤OA，由此得当点G于点O重合时，OG为最大，最大值为线段OA的长．
【解答】解：连接AC，交EF于O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，
由勾股定理得：AC，
∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，
∴CF＝AE，
∵AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，
在△FCO和△EAO中，
，
∴△FCO≌△EAO（AAS），
∴OA＝OCAC，
∵AG⊥直线l，
∴根据“垂线段最短”得：OG≤OA，
∴当点G于点O重合时，OG为最大，最大值为线段OA的长，
即OG的最大值为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解矩形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
13．（2025 长春一模）如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点A的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是　12　 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】线段、角、相交线与平行线；空间观念．
【答案】12．
【分析】先求出正四边形和正六边形每个内角的度数，然后根据平面镶嵌的条件求解第三块正多边形的每个内角度数，然后再结合外角和公式进行计算求解．
【解答】解：正四边形每个内角度数为360°÷4＝90°，
正六边形每个内角度数为180﹣360°÷6＝120°，
∴第三块正多边形的每个内角度数为360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴第三块正多边形的边数为360°÷（180°﹣150°）＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
14．（2025 南安市一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝5cm，AC＝6cm，则S菱形ABCD＝ 　24　 cm2．
【考点】菱形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】24．
【分析】由菱形的性质得AO＝COAC＝3（cm），BO＝DO，AC⊥BD，再由勾股定理求出BO＝4cm，则BD＝2BO＝8cm，然后由菱形面积公式列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，
∴AO＝COAC＝3（cm），BO＝DO，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴BO4（cm），
∴BD＝2BO＝8cm，
∴S菱形ABCD＝ AC BD6×8＝24（cm2），
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
15．（2025 海州区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 　　 ．
【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】过O作OH⊥BC于H，由勾股定理求出BC＝13，由平行四边形的性质推出OCAC＝6，PQ＝2PO，判定△OCH∽△BCA，推出OH：AB＝OC：BC，求出OH，由垂线段最短得到PO≥OH，因此PQ，即可得到PQ长度的最小值．
【解答】解：过O作OH⊥BC于H，
∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC13，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OCAC12＝6，PQ＝2PO，
∵∠OCH＝∠BCA，∠OHC＝∠CAB，
∴△OCH∽△BCA，
∴OH：AB＝OC：BC，
∴OH：5＝6：13，
∴OH，
∵PO≥OH，
∴PQ，
∴PQ长度的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短，关键是判定△OCH∽△BCA，推出OH：AB＝OC：BC，由垂线段最短得到PO≥OH．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 江阴市三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EHQP的三个顶点E，H，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，BH＝2，连接DP．
（1）若CQ＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DQ＝6，求△PDQ的面积．
【考点】正方形的判定与性质；三角形的面积；菱形的性质；矩形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）6．
【分析】（1）依题意得BH＝CQ＝2，∠B＝∠C＝90°，根据菱形性质得EH＝HQ，由此可依据“HL”判定Rt△BHE和Rt△CQH全等∠BEH＝∠CHQ，进而可得出∠EHQ＝90°，由此可得出结论；
（2）过点P作PF⊥CD于点F，根据DQ＝6得CQ＝2，由（1）可知此时菱形EHQP是正方形，则∠PQH＝90°，PQ＝QH，先证明∠PQF＝∠QHC，进而可依据“AAS”判定△PQF和△QHC全等，则PF＝CQ＝2，由此即可得△PDQ的面积．
【解答】（1）证明：若CQ＝2，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，AD＝6，CD＝8，
∴BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵BH＝2，
∴BH＝CQ＝2，
∵四边形EHQP是菱形，
∴EH＝HQ，
在Rt△BHE和Rt△CQH中，
，
∴Rt△BHE≌Rt△CQH（HL），
∴∠BEH＝∠CHQ，
∵∠BEH+∠BHE＝90°，
∴∠CHQ+∠BHE＝90°，
∴∠EHQ＝180°﹣（∠CHQ+∠BHE）＝90°，
∴菱形EHQP是正方形；
（2）解：若DQ＝6，过点P作PF⊥CD于点F，如图2所示：
∴∠PFQ＝∠C＝90°，
∵CD＝8，
∴CQ＝CD﹣DQ＝8﹣6＝2，
由（1）可知：此时菱形EHQP是正方形，
∴∠PQH＝90°，PQ＝QH，
∴∠PQF+∠HQC＝90°，
又∵∠QHC+∠HQC＝90°，
∴∠PQF＝∠QHC，
在△PQF和△QHC中，
，
∴△PQF≌△QHC（AAS），
∴PF＝CQ＝2，
∴△PDQ的面积是：DQ PF6×2＝6．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的性质，三角形的面积，理解菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
17．（2025春 恩平市三模）已知菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，求菱形的周长和面积．
【考点】菱形的性质．
【专题】推理能力．
【答案】周长为20、面积为24．
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长，由菱形面积公式即可求得面积．
【解答】解：由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，
∴AB＝5，
∴周长L＝4AB＝20；
∵菱形对角线相互垂直，
∴菱形面积是S＝AC×BD＝24．
综上可得菱形的周长为20、面积为24．
【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般．
18．（2025春 思明区）[问题探究]
（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．
①求证：PD＝PB；
②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处，此时DP＝QP，试探究AQ与OP的数量关系，并说明理由；
[迁移探究]
（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）①证明见解答过程；
②AQOP，理由见解答过程；
（2）AQ＝CP，理由见解答过程．
【分析】（1）①可证明△DAP≌△BAP，进而推出PD＝PB；
②作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，证明AQ＝BE，BE＝EF即可得出结论；
（2）方法一：推导出B、D、Q在以P为圆心，PB为半径的圆上，从而推出∠DPQ＝2∠ABD＝60°，从而得出△PDQ是等边三角形，进而推出△ADE≌△BCO和Rt△DEQ≌△BOP，进一步得出结论；方法二：先证明PQ＝PB，作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，可得EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，进一步即可证得结论．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，
∵AP＝AP，
∴△DAP≌△BAP（SAS），
∴PD＝PB；
②解：AQOP，理由如下：
如图1，作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠AEP＝45°，四边形OPEF是矩形，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，
∴PA＝PE，
∵PD＝PB，PD＝PQ，
∴PQ＝PB，
如图1，作PM⊥AE于点M，
则QM＝BM，AM＝EM，
∴AQ＝BE，
∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，
∴BEEF，
∴AQOP；
（2）解：AQ＝CP，理由如下：
方法一：如图2，
作DE⊥BQ于E，
∴∠AED＝∠DEQ＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AD∥BC，
∴∠ABDABC，AC⊥BD，AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，△ABC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠AED，∠AOB＝∠DEQ，∠ACB＝60°；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
由旋转得：PQ＝PD，
∴PB＝PD＝PQ，
∴B、D、Q在以P为圆心，PB为半径的圆上，
∴∠PDQ＝2∠ABD＝60°，
∴△PDQ是等边三角形，
∴DQ＝PD＝PB，
∴△ADE≌△BCO（AAS），
∴DE＝OB，OC＝AE，
∴Rt△DEQ≌Rt△BOP（HL），
∴EQ＝OP，
∴EQ+AE＝OP+OC，
∴AQ＝CP；
方法二：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴∠BAC＝60°，PD＝PB，
∵PD＝PQ，
∴PQ＝PB，
作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图3，
则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，
∴BE＝EG＝PC，
作PM⊥AB于点M，则QM＝MB，AM＝EM，
∴QA＝BE，
∴AQ＝CP．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
19．（2024秋 建平县三模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，，求菱形ADCF的面积．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；
（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．
【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DCBC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连结DF，因为，所以四边形ABDF是平行四边形，则，
所以．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
20．（2024秋 张店区三模）如图，在 ABCD中，E，F为对角线AC上的两点（点E在点F的上方），AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当DE⊥AC时，且DE＝3，DF＝5，求B，D两点之间的距离．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据平行四边形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，再由AE＝CF，可得OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，由平行四边形的判定即可证得结论；
（2）先根据勾股定理得出EF＝4，再由平行四边形的性质可得，BD＝2OD，再由勾股定理可得，最后可求出结果．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，
由题意可得：OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE⊥AC，DE＝3，DF＝5，
∴，
由题意可得：，BD＝2OD，
∴，
∴B，D两点之间的距离为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、勾股定理等知识，属于常见题型，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
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