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中考核心考点 一次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 海州区一模）已知点A（a，b），B（3，c）在直线y＝﹣2x+k（k为常数，k≠0）上，则ab的最大值为8，则c的值为（　　）
A．﹣4或﹣12 B．4或12 C．2或﹣14 D．﹣2或14
2．（2025 阎良区二模）在平面直角坐标系中，直线y1＝﹣2x与直线y2＝kx+3（k为常数，k≠0）相交于点A（﹣1，m），则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
3．（2025春 莲湖区二模）如图，直线y＝kx+b（k≠0，且k，b是常数）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，2），则不等式kx+b＞0的解集为（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
4．（2024秋 渭城区期末）已知一次函数y＝kx+b，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　）
x …… ﹣1.5 0 1 2 ……
y …… 6 3 1 ﹣1 ……
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．一次函数y＝kx+b的图象可由一次函数y＝﹣2x的图象向上平移2个单位长度得到
D．该函数的图象与y轴的交点是（0，3）
5．（2025春 沙坪坝区三模）若直线AB的解析式为y＝﹣3x﹣1，则点M（1，1）关于直线AB的对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，﹣1） C． D．（﹣2，0）
6．（2025春 集美区二模）第11届中国矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观，途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间，车修好后，他们继续开车赶往会展中心，以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象，分析图中信息，下列说法正确的是（　　）
A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是800m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
7．（2025春 海淀区二模）平面直角坐标系中，过点（3，2）的直线l经过第二、四象限，若点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1）都在直线l上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＞b B．a＜2 C．b＜2 D．c＞3
8．（2025春 越秀区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B均在x轴上，点D在y轴上，点C在第一象限，已知直线AD的函数解析式为：，点P是直线BD上一动点，则AP+OP的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
9．（2025春 青岛二模）已知不等式kx+b≥0的解集是x≤3，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025春 五华区二模）关于函数y＝2x﹣1的图象，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．与y轴的交点的坐标为（0，1）
C．可以由y＝2x的图象平移得到
D．经过第一、二、三象限
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 思明区二模）直线y＝﹣2x上有两点（1，y1），（3，y2），则y1　 　 y2（填“＞”、“＝”、“＜”）．
12．（2025 海珠区一模）如图，已知直线l1：y＝2x﹣5与l2：y＝kx+b都经过x轴上的点A，分别与y轴交于C，B两点，且B，C两点关于原点对称，则直线l2的解析式是 　 　 ．
13．（2025春 朝阳区三模）小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了12分钟后，小颖以3倍的速度跑向学校，小亮以2倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离S和他们所用时间t的图象如图所示，请问下列结论正确的是 　 　 ．
①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远；
②a＝2000；
③加速后，v颖＝250m/min，v亮＝200m/min；
④两人从家出发12分钟时，相距150米．
14．（2025春 青岛二模）已知一次函数y＝ax+b的两个变量x与y的部分对应值如下表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 0 ﹣1 …
则关于x的不等式ax+b＜0的解集是 　 　 ．
15．（2025春 昌平区二模）长方形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，4），点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m（m＞0）个单位，若平移后的直线将长方形OABC的面积分成1：5的两部分，则m的值为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 宝安区二模）在平面直角坐标系xOy中，过点（m，0）作垂直于x轴的直线l，将函数图象位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移n（n≥0）个单位得到新的函数图象M'，我们称这种变换为轴移变换，记作：T{m，n}．由M与M'组成的新的图象对应的函数叫做“距美函数”．某学习小组研究直线y＝2x+1经过 T{﹣1，1}得到的“距美函数”，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：
首先通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究．
如表y与x的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 3 1 ﹣1 ﹣1 1 3 5 7 9 …
（1）如图，根据“轴移变换”的定义，在平面直角坐标系中，描出函数经过轴移变换后各对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出轴移变化后的函数图象；并观察“距美函数”的图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 　 　 ；
（2）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m＝ 　 　 ；
（3）当距美函数的y值满足：﹣1＜y≤3时，自变量x的取值范围是 　 　 ；
（4）已知点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），当直线y＝kx+3（k＜0）经过T{0，0}得到的“距美函数”的图象与线段AB的恰好有1个交点，直接写出k的取值范围 　 　 ．
17．（2025 阎良区二模）据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到56m处，悬停4min拍照，又匀速下降到32m处，悬停3min拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度y（m）和时间x（min）的函数图象如图所示．
（1）填空：无人机上升时的速度是　 　 m/min，n＝　 　 ；
（2）求DE段的函数表达式；
（3）无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？
18．（2025春 深圳二模）灵蛇献瑞，已蛇呈祥．新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜．某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知2件坚果礼盒和3件糖果礼盒进价660元，3件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价690元．
（1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？
（2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
19．（2025 昆明）繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示；
（1）求出当0≤x≤60和x＞60时，y与x的函数关系；
（2）若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？
20．（2025春 思明区二模）已知y与x之间成正比例关系，且图象经过点A（﹣2，6）．
（1）求y与x之间的函数解析式．
（2）画出该函数的图象．
（3）图象上有两点B（x1，y1）、C（x2，y2），如果x1＞x2，则y1　 　 y2．
中考核心考点 一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 海州区一模）已知点A（a，b），B（3，c）在直线y＝﹣2x+k（k为常数，k≠0）上，则ab的最大值为8，则c的值为（　　）
A．﹣4或﹣12 B．4或12 C．2或﹣14 D．﹣2或14
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】代入点A（a，b），B（3，c）坐标可得b＝﹣2a+k，c＝﹣6+k，将ab＝﹣2a2+ak看作二次函数，根据二次函数的最值可得k＝±8，继而得到具体的直线解析式从而求出c值即可．
【解答】解：∵点A（a，b），B（3，c）在直线y＝﹣2x+k（k为常数，k≠0）上，
∴b＝﹣2a+k，c＝﹣6+k，
∴ab＝a（﹣2a+k）＝﹣2a2+ak，
这是自变量为a的二次函数，开口向下，当a时，函数取得最大值，
∴ab最大＝﹣2×（）28，
∴k2＝64，
∴k＝±8，
当k＝8时，直线解析式为y＝﹣2x+8，代入点B（3，c）坐标得c＝﹣6+8＝2，
当k＝﹣8时，直线解析式为y＝﹣2x﹣8，代入点B（3，c）坐标得c＝﹣6﹣8＝﹣14，
综上分析可知，c的值为2或﹣14．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是关键．
2．（2025 阎良区二模）在平面直角坐标系中，直线y1＝﹣2x与直线y2＝kx+3（k为常数，k≠0）相交于点A（﹣1，m），则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先把x＝﹣1代入y1＝﹣2x求出m，再把x＝﹣1，y＝2代入y2＝kx+3即可求出k的值．
【解答】解：由条件可得m＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴A（﹣1，2），
把x＝﹣1，y＝2代入y2＝kx+3得，2＝﹣k+3，
∴k＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，熟练选用合适的方法准确计算是解题的关键．
3．（2025春 莲湖区二模）如图，直线y＝kx+b（k≠0，且k，b是常数）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，2），则不等式kx+b＞0的解集为（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】A
【分析】根据直线y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和函数的图象得出不等式的解集即可．
【解答】解：由图象可得：不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质和一次函数与一元一次不等式，能根据A点的坐标和函数的图象得出不等式的解集是解此题的关键．
4．（2024秋 渭城区期末）已知一次函数y＝kx+b，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　）
x …… ﹣1.5 0 1 2 ……
y …… 6 3 1 ﹣1 ……
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．一次函数y＝kx+b的图象可由一次函数y＝﹣2x的图象向上平移2个单位长度得到
D．该函数的图象与y轴的交点是（0，3）
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据信息的，求出一次函数表达式，根据一次函数图象与性质逐项判断即可得到答案．
【解答】解：将（0，3）和（1，1）代入直线解析式得到，解得，
∴一次函数为y＝﹣2x+3，
A、由k＝﹣2＜0可知，y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意；
B、该函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意；
C、一次函数y＝kx+b的图象可由一次函数y＝﹣2x的图象向上平移3个单位长度得到，该选项错误，不符合题意；
D、当x＝0时，y＝3，函数图象与y轴的交点是（0，3），该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图象与性质，平移，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
5．（2025春 沙坪坝区三模）若直线AB的解析式为y＝﹣3x﹣1，则点M（1，1）关于直线AB的对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，﹣1） C． D．（﹣2，0）
【考点】一次函数的性质；坐标与图形变化﹣对称．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】记点M（1，1）关于直线AB的对称点为N，设N（m，n），MN与直线AB交于点D，连接CM，由对称得D为MN中点，CM＝CN，则，将代入y＝﹣3x﹣1得N（m，﹣3m﹣6），可求，由CM＝CN得，整理得，再利用平方根的性质解方程即可，即可求解对称点坐标．
【解答】解：记点M（1，1）关于直线AB的对称点为N，设N（m，n），MN与直线AB交于点D，连接CM，直线AB与x轴交点记为点C，
由对称得D为MN中点，CM＝CN，
∴，
将D点坐标代入直线解析式得：，
整理得：n＝﹣3m﹣6，
∴N（m，﹣3m﹣6），
对于y＝﹣3x﹣1，当y＝0时，﹣3x﹣1＝0，
解得：，
∴，
∵CM＝CN，
∴，
整理得：3m2+11m+10＝0，
整理得：，
解得：m＝﹣2或（舍），
∴N（﹣2，0），
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及轴对称的性质，两点之间距离公式，坐标公式等知识点，把握轴对称的性质是解题的关键．
6．（2025春 集美区二模）第11届中国矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观，途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间，车修好后，他们继续开车赶往会展中心，以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象，分析图中信息，下列说法正确的是（　　）
A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是800m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据所给图象，逐个判断即可．
【解答】解：A、途中修车所花时间为9：30﹣9：10＝20min，故A不正确，不符合题意；
B、9：10﹣9：00＝10（min），6000÷10＝600（m/min），故B不正确，不符合题意；
C、9：38﹣9：30＝8（min），（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不正确，不符合题意；
D、900÷600＝1.5，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了根据函数图象获取信息，认真读取题意从图象中获得正确信息是关键．
7．（2025春 海淀区二模）平面直角坐标系中，过点（3，2）的直线l经过第二、四象限，若点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1）都在直线l上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＞b B．a＜2 C．b＜2 D．c＞3
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵过点（3，2）的直线l经过第二、四象限，
∴一次函数经过第一、二、四象限，
∴一次函数y＝kx+b，k＜0，b＞0，y随x的增大而减小，
A、∵0＞﹣1，
∴b＞a，故选项判断错误，不符合题意；
B、a＞2，选项判断错误，不符合题意；
C、b＞2，选项判断错误，不符合题意；
D、c＞3，选项判断正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．
8．（2025春 越秀区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B均在x轴上，点D在y轴上，点C在第一象限，已知直线AD的函数解析式为：，点P是直线BD上一动点，则AP+OP的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
【考点】一次函数的性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】由求出D（0，4），A（﹣3，0），然后通过勾股定理求得AD＝5，连接AC，交BD于点E，连接OC交BD于点F，连接AF，过C作CH⊥x轴于点H，当点P与F重合，即O、F、C三点共线时AP+OP由最小值OC，最后由勾股定理即可求解．
【解答】解：已知直线AD的函数解析式为：，A、B均在x轴上，点D在y轴上，
当y＝0时，x＝﹣3，
当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣3，0），D（0，4），
∴OA＝3，OD＝4，
在直角三角形AOD中，由勾股定理得：，
连接AC，交BD于点E，连接OC交BD于点F，连接AF，过C作CH⊥x轴于点H，
∴∠OHC＝∠HOD＝∠ODC＝90°，
∴四边形ODCH是矩形，
∴OD＝CH＝4，OH＝DC＝AD＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝5，BD垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∴当点P与F重合，即O、F、C三点共线时AP+OP由最小值OC，
在Rt△OCH中，由勾股定理得：，
∴AP+OP的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，轴对称﹣最短路线问题，掌握知识点的应用是解题的关键．
9．（2025春 青岛二模）已知不等式kx+b≥0的解集是x≤3，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】A
【分析】利用数形结合的数学思想，得出函数y＝kx+b在x轴上方的部分所对应的自变量取值范围是x＜3，据此可解决问题．
【解答】解：因为不等式kx+b≥0的解集是x≤3，
所以函数y＝kx+b的图象在x轴上方的部分所对应的自变量的取值范围是x＜3，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，熟知一次函数与一元一次不等式之间的关系是解题的关键．
10．（2025春 五华区二模）关于函数y＝2x﹣1的图象，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．与y轴的交点的坐标为（0，1）
C．可以由y＝2x的图象平移得到
D．经过第一、二、三象限
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的图象；一次函数的性质；正比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据所给一次函数解析式，结合一次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：因为一次函数解析式为y＝2x﹣1，且2＞0，
所以y随x的增大而增大．
故A选项不符合题意．
将x＝0代入y＝2x﹣1得，
y＝﹣1，
所以一次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．
故B选项不符合题意．
将一次函数y＝2x的图象沿y轴向下平移1个单位长度可得一次函数y＝2x﹣1的图象，
故C选项符合题意．
因为一次函数y＝2x﹣1与y轴交于点（0，﹣1），且y随x的增大而增大，
所以此一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的图象、一次函数的性质及正比例函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 思明区二模）直线y＝﹣2x上有两点（1，y1），（3，y2），则y1　＞　 y2（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】＞．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：正比例函数y＝﹣2x的k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，
∵1＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
12．（2025 海珠区一模）如图，已知直线l1：y＝2x﹣5与l2：y＝kx+b都经过x轴上的点A，分别与y轴交于C，B两点，且B，C两点关于原点对称，则直线l2的解析式是 　y＝﹣2x+5　 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题；关于原点对称的点的坐标；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】y＝﹣2x+5．
【分析】根据待定系数法求解．
【解答】解：当y＝0时，0＝2x﹣5，
解得：x＝2.5，
当x＝0时，y＝﹣5，
∴A（2.5，0），B（0，5），C（0，﹣5），
∴2.5k+5＝0，
解得：k＝﹣2，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+5，
故答案为：y＝﹣2x+5．
【点评】本题考查了待定系数法与一次函数，掌握待定系数法是解题的关键．
13．（2025春 朝阳区三模）小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了12分钟后，小颖以3倍的速度跑向学校，小亮以2倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离S和他们所用时间t的图象如图所示，请问下列结论正确的是 　②③　 ．
①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远；
②a＝2000；
③加速后，v颖＝250m/min，v亮＝200m/min；
④两人从家出发12分钟时，相距150米．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】②③．
【分析】①观察图象判断即可；
②根据速度＝路程÷时间求出加速前小亮的速度，从而求出其加速后的速度，再根据路程＝速度×时间求出a的值即可；
③设加速前，小颖的速度为v米/分钟，则加速后的速度为3v米/分钟，根据小颖加速前后的路程之和为a列关于v的方程并求解，从而求出其加速后的速度即可；
④计算两人前12分钟的路程差即可．
【解答】解：（1）小颖家到学校距离与小亮家到学校的距离相等，
∴①不正确，不符合题意；
加速前小亮的速度为1200÷12＝100（米/分钟），则加速后小亮的速度为100×2＝200（米/分钟），
1200+200×（16﹣12）＝2000（米），
∴a＝2000，
∴②正确，符合题意；
设加速前，小颖的速度为v米/分钟，则加速后的速度为3v米/分钟，
则12v+（16﹣12）×3v＝2000，
解得v，
3250（米/分钟），
∴加速后小颖的速度是250米/分钟，
由①可知，加速后小亮的速度为200米/分钟，
∴③正确，符合题意；
两人从家出发12分钟时，相距（100）×12＝200（米），
∴④不正确，不符合题意．
故答案为：②③．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
14．（2025春 青岛二模）已知一次函数y＝ax+b的两个变量x与y的部分对应值如下表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 0 ﹣1 …
则关于x的不等式ax+b＜0的解集是 　x＞2　 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力．
【答案】x＞2．
【分析】通过一次函数与一元一次不等式的关系可知，kx+b＜0，即为y＜0．即可得到对应的x的取值范围．
【解答】解：当x＝2时y＝0，
根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＜的解等是x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键在于通过不等式与一次函数的增减性得到x的取值范围．
15．（2025春 昌平区二模）长方形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，4），点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m（m＞0）个单位，若平移后的直线将长方形OABC的面积分成1：5的两部分，则m的值为 　2或5　 ．
【考点】一次函数图象与几何变换；矩形的性质．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】2或5．
【分析】依据题意，先由A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，4），可得矩形OABC的面积＝6×4＝24，又直线沿y轴向上平移m（m＞0）个单位，可得平移后的直线为yx+m，结合矩形的对角线将矩形面积分成相等的部分，从而平移后直线将长方形面积分成1：5，可得两种情形，最后结合图形分析计算可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，4），
∴OA＝6，OC＝4．
∴矩形OABC的面积＝6×4＝24．
又∵直线沿y轴向上平移m（m＞0）个单位，
∴平移后的直线为yx+m．
∵矩形的对角线将矩形面积分成相等的部分，
∴平移后直线将长方形面积分成1：5，可得两种情形．
①如图1，设直线与x轴、y轴分别交于F、E．
∴E（0，m），F（2m，0）．
∴OE＝m，OF＝2m．
∴S△EOFOE OFm 2m＝m2．
又∵平移后直线将长方形面积分成1：5，
∴S△EOFS矩形OACB24＝4．
∴m2＝4．
∴m＝2（m＝﹣2＜0，舍去）．
②如图2，设直线与CB轴、AB分别交于G、H．
∵A（6，0），C（0，4），
∴G（2（m﹣4），4），F（6，m﹣3）．
∴BG＝6﹣2（m﹣4）＝14﹣2m，BH＝4﹣（m﹣3）＝7﹣m．
∴S△GBHBG BH（14﹣2m） （7﹣m）＝（7﹣m）2．
又∵平移后直线将长方形面积分成1：5，
∴S△GBHS矩形OACB24＝4．
∴（7﹣m）2＝4．
∴m＝5（m＝9＞7，舍去）．
综上，m＝2或5．
故答案为：2或5．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 宝安区二模）在平面直角坐标系xOy中，过点（m，0）作垂直于x轴的直线l，将函数图象位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移n（n≥0）个单位得到新的函数图象M'，我们称这种变换为轴移变换，记作：T{m，n}．由M与M'组成的新的图象对应的函数叫做“距美函数”．某学习小组研究直线y＝2x+1经过 T{﹣1，1}得到的“距美函数”，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：
首先通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究．
如表y与x的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 3 1 ﹣1 ﹣1 1 3 5 7 9 …
（1）如图，根据“轴移变换”的定义，在平面直角坐标系中，描出函数经过轴移变换后各对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出轴移变化后的函数图象；并观察“距美函数”的图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 　x≤﹣2　 ；
（2）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m＝ 　﹣9　 ；
（3）当距美函数的y值满足：﹣1＜y≤3时，自变量x的取值范围是 　﹣4≤x＜﹣2或﹣1＜x≤1　 ；
（4）已知点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），当直线y＝kx+3（k＜0）经过T{0，0}得到的“距美函数”的图象与线段AB的恰好有1个交点，直接写出k的取值范围 　﹣2＜k　 ．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）作图见解析，x≤﹣2；（2）﹣9；（3）﹣4≤x＜﹣2或﹣1＜x≤1；（4）﹣2＜k．
【分析】（1）依据题意，结合“距美函数”，进而可以作图，进而可以判断得解；
（2）依据题意，当x≥﹣1时，y＝2x+1，从而当x＝6时，y＝n＝13，又当x≤﹣2时，y＝kx+b，则，进而计算可得，则此时函数为y＝﹣2x﹣5，又令y＝n＝13，则﹣2m﹣5＝13，进而计算可以得解；
（3）依据题意，结合表格数据可得，当y＝3时，x＝﹣4或x＝1，又根据函数的图象可得，当﹣1＜y≤3时，﹣4≤x＜﹣2或﹣1＜x≤1，进而得解；
（4）依据题意，由直线为y＝kx+3，可得直线必过（0，3），再画出直线y＝kx+3（k＜0）经过T{0，0}得到的“距美函数”的图象，又A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），可得A关于y轴对称的点A'为（3，﹣1），B关于y轴的对称点为B'（﹣2，﹣1），结合图象可得当直线过A'时，则3k+3＝﹣1，即k；当直线过B时，则2k+3＝﹣1，即k＝﹣2，最后根据“距美函数”的图象与线段AB的恰好有1个交点，可得﹣2＜k，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，作图如下，
结合图象可得，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小．
故答案为：x≤﹣2．
（2）由题意，当x≥﹣1时，y＝2x+1，
∴当x＝6时，y＝n＝13．
设当x≤﹣2时，y＝kx+b，
∴．
∴．
∴此时函数为y＝﹣2x﹣5．
令y＝n＝13，
∴﹣2m﹣5＝13．
∴m＝﹣9．
故答案为：﹣9．
（3）由题意，结合表格数据可得，
当y＝3时，x＝﹣4或x＝1．
根据函数的图象可得，
∴当﹣1＜y≤3时，﹣4≤x＜﹣2或﹣1＜x≤1．
（4）由题意，∵直线为y＝kx+3，
∴直线必过（0，3）．
如图，画出直线y＝kx+3（k＜0）经过T{0，0}得到的“距美函数”的图象如下．
∵A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），
∴A关于y轴对称的点A'为（3，﹣1），B关于y轴的对称点为B'（﹣2，﹣1）．
当直线过A'时，则3k+3＝﹣1，
∴k．
当直线过B时，则2k+3＝﹣1，
∴k＝﹣2．
∵“距美函数”的图象与线段AB的恰好有1个交点，
∴﹣2＜k．
故答案为：﹣2＜k．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
17．（2025 阎良区二模）据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到56m处，悬停4min拍照，又匀速下降到32m处，悬停3min拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度y（m）和时间x（min）的函数图象如图所示．
（1）填空：无人机上升时的速度是　8　 m/min，n＝　17　 ；
（2）求DE段的函数表达式；
（3）无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？
【考点】一次函数的应用；函数关系式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）8；17；
（2）y＝﹣10x+202；
（3）20.2min．
【分析】（1）根据题意，结合图象即可得出答案；
（2）用待定系数法，将点（17，32），（18，22）代入求解即可；
（3）令（2）中所求表达式y＝0，即可求解．
【解答】解：（1）无人机上升时的速度是_56÷7＝8（m/min），n＝14+3＝17，
故答案为：8；17；
（2）设直线DE为y＝kx+b，由条件可得，
解得，
∴y＝﹣10x+202；
（3）令﹣10x+202＝0，
∴x＝20.2．
答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2min．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数的表达式，正确理解题意，从图中获取信息是解答本题的关键．
18．（2025春 深圳二模）灵蛇献瑞，已蛇呈祥．新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜．某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知2件坚果礼盒和3件糖果礼盒进价660元，3件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价690元．
（1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？
（2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）150，120；
（2）200，14000．
【分析】（1）分别设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价为未知数，列二元一次方程组并求解即可；
（2）设购进坚果礼盒x件，则购进糖果礼盒（500﹣x）件，列关于x的一元一次不等式组并求其解集，设获得利润为W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最大，求出其最大值即可．
【解答】解：（1）设每件坚果礼盒进价a元，每件糖果礼盒进价b元．
根据题意，得，
解得．
答：每件坚果礼盒进价150元，每件糖果礼盒进价120元．
（2）设购进坚果礼盒x件，则购进糖果礼盒（500﹣x）件，
根据题意，得，
解得200≤x≤220，
设获得利润为W元，则W＝（175﹣150）x+（150﹣120）（500﹣x）＝﹣5x+15000，
∵﹣5＜0，
∴W随x的减小而增大，
∵200≤x≤220，
∴当x＝200时W值最大，W最大＝﹣5×200+15000＝14000．
答：坚果礼盒购进200件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是14000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法、一次函数的增减性是解题的关键．
19．（2025 昆明）繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示；
（1）求出当0≤x≤60和x＞60时，y与x的函数关系；
（2）若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）设购进甲种道具为a件，则购进乙种道具（120﹣a）件，根据题意可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与道具的购进量之间的函数关系可以得出最少费用为多少．
【解答】解：（1）当0≤x≤60时，设y＝k1x，根据题意得60k1＝2640，
解得k1＝44；
∴y＝44x；
当x＞60时，设y＝k2x+b，
根据题意得，
，
解得，
∴y＝38x+360，
∴综上，y与x的函数关系为y；
（2）设购进甲种道具a件，则购进乙种道具（120﹣a）件，
∵甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，
∴，
解得75≤a≤85，
∵a＞60，
∴w＝38a+360+40（120﹣a）＝38a+360+4800﹣40a＝﹣2a+5160，
∵﹣2＜0，
∴当a＝85时，w最小，最小值为4990，
120﹣85＝35（件），
答：购进甲种道具为85件，购进乙种道具35件，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
20．（2025春 思明区二模）已知y与x之间成正比例关系，且图象经过点A（﹣2，6）．
（1）求y与x之间的函数解析式．
（2）画出该函数的图象．
（3）图象上有两点B（x1，y1）、C（x2，y2），如果x1＞x2，则y1　＜　 y2．
【考点】待定系数法求正比例函数解析式；正比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣3x；
（2）见解析；
（3）＜．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的表达式；
（2）过原点和点A（﹣2，6）作直线即可求解；
（3）由k＝﹣3＜0，y随x的增大而减小，再结合x1＞x2，即可得出y1＜y2．
【解答】解：（1）设正比例函数为y＝kx（k≠0），
将（﹣2，6）代入y＝kx，得：6＝﹣2k，
解得：k＝﹣3，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣3x；
（2）该函数的图象经过A（﹣2，6）和原点，
该函数的图象如图所示：
（3）∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，解题的关键是：（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出正比例函数的表达式；（2）牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．
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