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中考核心考点 一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2025 海珠区一模）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025春 淄川区二模）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
3．（2025春 宁海县二模）某品牌新能源汽车2022年的销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2024年的销售量比2022年增加了42.1万辆．如果设从2022年到2024年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　）
A．30（1+2x）＝42.1 B．30（1+x）2﹣30＝42.1
C．30（1+x）2＝42.1 D．30（1+2x）﹣30＝42.1
4．（2025 南安市一模）根据广东省统计局数据，广东省2024年的地区生产总值为141633.81亿元，位列全国第一，2022年的地区生产总值为129118.58亿元．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．129118.58（1+x）＝141633.81
B．129118.58（1+x）2＝141633.81
C．129118.58x2＝141633.81
D．129118.58（1+x2）＝141633.81
5．（2025春 温州二模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　）
A．﹣m B． C．m D．
6．（2025春 宁海县二模）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2025的值为（　　）
A．2024 B．2026 C．2028 D．2030
7．（2025 西宁二模）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（　　）
A．x（x﹣6）＝864 B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864 D．x（x+12）＝864
8．（2025春 肥西县二模）已知实数a，b满足a2+2ab+b2﹣3a﹣3b+2＝0，且a+b为整数，设x＝a+b，则x的值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2025春 北仑区二模）某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（　　）
A．128（1+x）2＝608
B．128（1+2x）2＝608
C．128+128（1+x）＝608
D．128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
10．（2025 盘龙区）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
二．填空题（共5小题）
11．（2025 化州市一模）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为　 　 ．
12．（2025春 芝罘区二模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为12，则该菱形的边长为 　 　 ．
13．（2025春 宁海县二模）关于x的方程ax2﹣2（a﹣1）x+a＝0有实数根，则a的取值范围 　 　 ．
14．（2025春 温州二模）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1．例如，把 （3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数﹣1，则m的值是　 　 ．
15．（2025春 嵊州市二模）已知a是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的一个实数根，求3a2+6a+2025的值为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 长兴县二模）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝2，求k的值．
17．（2025春 杭州二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0．
（1）若该方程有一个根是﹣1，求k的值．
（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（3）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝11，求k的值．
18．（2025 南安市一模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，求k的整数值．
19．（2024秋 汕尾期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+2）（m+4）＝0，求m的值．
20．（2025春 海淀区二模）小君想到了一种证明等式成立的方法．
证明过程如下：
设，，则x＝m2，y＝n2．
等号左边＝mn，等号右边．
∵m≥0，n≥0，
∴mn≥0，
∴等号右边＝mn，
∴等号左边＝等号右边，
∴等式成立．
（1）小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．解：设，，则25﹣x2＝　 　 ，17﹣x2＝　 　 ．
将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
（2）请直接写出方程的解为　 　 ．
中考核心考点 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 海珠区一模）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上可以表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】根的判别式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4m＞0，然后解不等式后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m＞0，
解得m＜1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
2．（2025春 淄川区二模）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的求根公式x，即可解答．
【解答】解：∵可以表示一元二次方程的根，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
3．（2025春 宁海县二模）某品牌新能源汽车2022年的销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2024年的销售量比2022年增加了42.1万辆．如果设从2022年到2024年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　）
A．30（1+2x）＝42.1 B．30（1+x）2﹣30＝42.1
C．30（1+x）2＝42.1 D．30（1+2x）﹣30＝42.1
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据2024年的销售量比2022年增加了42.1万辆，列方程即可．
【解答】解：由题意得：30（1+x）2﹣30＝42.1．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．
4．（2025 南安市一模）根据广东省统计局数据，广东省2024年的地区生产总值为141633.81亿元，位列全国第一，2022年的地区生产总值为129118.58亿元．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．129118.58（1+x）＝141633.81
B．129118.58（1+x）2＝141633.81
C．129118.58x2＝141633.81
D．129118.58（1+x2）＝141633.81
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为x，根据2022年的地区生产总值为129118.58亿元，2024年的地区生产总值为141633.81亿元，列出方程．
【解答】解：设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为x，
根据题意得，129118.58（1+x）2＝141633.81，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
5．（2025春 温州二模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　）
A．﹣m B． C．m D．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据x＝m满足方程ax2+bx+c＝0，得到am2+bm+c＝0，两边同时除以m2可确定所求方程的一个根．
【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根，
∴am2+bm+c＝0，
∴abc＝0，
∴（）2﹣（）b+a＝0，
∴是方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）的一个根，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
6．（2025春 宁海县二模）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2025的值为（　　）
A．2024 B．2026 C．2028 D．2030
【考点】一元二次方程的解；代数式求值．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】把x＝a代入已知方程，并求得a2+a＝1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴3a2+3a+2024＝3（a2+a）+2025＝3×1+2025＝2028．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入思想是解决此问题的关键．
7．（2025 西宁二模）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（　　）
A．x（x﹣6）＝864 B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864 D．x（x+12）＝864
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】依据它的宽比长少12步．也就是长比宽多12步，设宽为x步，则长为（x+12）步，然后根据长方形面积公式列出方程即可．
【解答】解：依据它的宽比长少12步．也就是长比宽多12步，设宽为x步，则长为（x+12）步，
由题意得，x（x+12）＝864，
故选：D．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8．（2025春 肥西县二模）已知实数a，b满足a2+2ab+b2﹣3a﹣3b+2＝0，且a+b为整数，设x＝a+b，则x的值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，由a2+2ab+b2﹣3a﹣3b+2＝0，从而（a+b）2﹣3（a+b）+2＝0，故（a+b﹣1）（a+b﹣2）＝0，则a+b＝1或a+b＝2，结合x＝a+b，且a+b为整数，故可得x＝1或2，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵a2+2ab+b2﹣3a﹣3b+2＝0．
∴（a+b）2﹣3（a+b）+2＝0．
∴（a+b﹣1）（a+b﹣2）＝0．
∴a+b＝1或a+b＝2．
又∵x＝a+b，且a+b为整数，
∴x＝1或2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键．
9．（2025春 北仑区二模）某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（　　）
A．128（1+x）2＝608
B．128（1+2x）2＝608
C．128+128（1+x）＝608
D．128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设进馆人次的月平均增长率x，先表示出第2，3个月的进馆人次，再相加即可得到方程．
【解答】解：根据题意可列方程是128+128（1+x）+128（1+x）2＝608，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
10．（2025 盘龙区）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解．
【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，
∵m2＞0，
∴m2+4＞0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 化州市一模）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为　﹣4　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】根据根的判别式列出关于k的方程，求解即可．
【解答】解：由条件可得Δ＝b2﹣4ac＝16+4k＝0，
解得k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查利用根的判别式求参数的值，熟练掌握，即可解题．
12．（2025春 芝罘区二模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为12，则该菱形的边长为 　　 ．
【考点】根与系数的关系；勾股定理；菱形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】．
【分析】设菱形的对角线长分别为a、b，根据根与系数的关系得a+b＝10，ab＝m，再根据菱形的面积公式得到ab＝12，所以m＝24，接着解方程x2﹣10x+24＝0得菱形的对角线长为4、6，由于菱形的对角线互相垂直平分线，则根据勾股定理可计算出菱形的边长．
【解答】解：设菱形的对角线长分别为a、b，
根据根与系数的关系得a+b＝10，ab＝m，
∵菱形的面积为12，
∴ab＝12，
∴m＝ab＝24，
解方程x2﹣10x+24＝0得x1＝4，x2＝6，
即菱形的对角线长为4、6，
∴菱形的边长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了解一元二次方程和菱形的性质．
13．（2025春 宁海县二模）关于x的方程ax2﹣2（a﹣1）x+a＝0有实数根，则a的取值范围 　　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】解一元一次方程，当a＝0时，原方程为2x＝0，此时原方程有实数根；当a≠0时，原方程为一元二次方程，则Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a2≥0，据此求解即可．
【解答】解：当a＝0时，原方程为2x＝0，解得x＝0，原方程有实数根，符合题意；
当a≠0时，原方程为一元二次方程，则Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a2≥0，
∴4a2﹣8a+4﹣4a2≥0，
∴且a≠0；
综上，，a≠0，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的应用是关键．
14．（2025春 温州二模）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1．例如，把 （3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数﹣1，则m的值是　0或2　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0或2．
【分析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为﹣1，列式求值即可．
【解答】解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1＝﹣1，
m2﹣2m＝0，
m（m﹣2）＝0，
解得m＝0或2．
故答案为：0或2．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．
15．（2025春 嵊州市二模）已知a是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的一个实数根，求3a2+6a+2025的值为 　2031　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2031．
【分析】由题意易得a2+2a＝2，然后整体代入求解即可．
【解答】解：由题意得：a2+2a＝2，
∴3a2+6a+2025＝3×2+2025＝2031；
故答案为：2031．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解．熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 长兴县二模）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝2，求k的值．
【考点】根与系数的关系；绝对值；一元二次方程的定义；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）﹣5或．
【分析】（1）讨论：当k+1＝0时，方程化为﹣4x﹣4＝0，解得x＝﹣1；当k+1≠0时，即k≠﹣1，计算根的判别式的值得到Δ＝（k﹣3）2，则Δ≥0，则方程有两个实数根，从而可判断无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝﹣1，x2，再利用|x1﹣x2|＝2得到|1|＝2，然后解方程1＝2和方程1＝﹣2即可．
【解答】（1）证明：当k+1＝0时，即k＝﹣1，此时方程化为﹣4x﹣4＝0，
解得x＝﹣1；
当k+1≠0时，即k≠﹣1，
∵Δ＝（3k﹣1）2﹣4（k+1）（2k﹣2）
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴方程有两个实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：∵x（k≠﹣1），
∴x1＝﹣1，x2，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴|1|＝2，
当1＝2，解得k，
经检验k为原方程的解，
当1＝﹣2，解得k＝﹣5，
经检验k＝﹣5为原方程的解，
综上所述，k的值为﹣5或．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式．
17．（2025春 杭州二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0．
（1）若该方程有一个根是﹣1，求k的值．
（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（3）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝11，求k的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）0或﹣2；
（2）k≥﹣2；
（3）5．
【分析】（1）把x＝﹣1代入关于x的一元二次方程得1+2（k+1）+k2﹣3＝0，然后解关于k的一元二次方程即可；
（2）根据根的判别式的意义得到Δ＝4（k+1）2﹣4（k2﹣3）≥0，然后解不等式即可；
（3）先根据根与系数的关系得x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2﹣3，再利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝11得到k2﹣3﹣2（k+1）+1＝11，解得k1＝5，k2＝﹣3，然后利用k≥﹣2确定k的值．
【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0得1+2（k+1）+k2﹣3＝0，
整理得k2+2k＝0，
解得k1＝0，k2＝﹣2，
即k的值为0或﹣2；
（2）根据题意得Δ＝4（k+1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得k≥﹣2，
即k的取值范围为k≥﹣2；
（3）根据根与系数的关系得x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2﹣3，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝11，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝11，
∴k2﹣3﹣2（k+1）+1＝11，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5，k2＝﹣3，
∵k≥﹣2，
∴k的值为5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式．
18．（2025 南安市一模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，求k的整数值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）k≤0；
（2）整数k的值为﹣1或0．
【分析】（1）由一元二次方程的根的情况列得Δ≥0，由此求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，代入得到不等式，求解即可．
【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac
＝22﹣4×1×（k+1）
＝﹣4k，
由已知得，﹣4k≥0，
所以k≤0；
（2）由根与系数的关系可知，x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，
因为x1+x2﹣x1x2＜﹣1，
所以，﹣2﹣（k+1）＜﹣1，
解得，k＞﹣2，
所以，﹣2＜k≤0，
所以，整数k的值为﹣1或0．
【点评】此题考查了一元二次方程根的求出求参数，根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键．
19．（2024秋 汕尾期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+2）（m+4）＝0，求m的值．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m＜2；
（2）m＝﹣4．
【分析】（1）由方程根的情况可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；
（2）根据一元二次方程解的定义得到p2﹣2p＝1﹣m，代入等式，整理后再解方程即可求得．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
解得：m＜2；
（2）由条件可知p2﹣2p+m﹣1＝0，即p2﹣2p＝1﹣m，
代入（p2﹣2p+2）（m+4）＝0中，得：
（1﹣m+2）（m+4）＝0，
解得：m1＝3或m2＝﹣4，
∵m＜2，
∴m＝﹣4．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
20．（2025春 海淀区二模）小君想到了一种证明等式成立的方法．
证明过程如下：
设，，则x＝m2，y＝n2．
等号左边＝mn，等号右边．
∵m≥0，n≥0，
∴mn≥0，
∴等号右边＝mn，
∴等号左边＝等号右边，
∴等式成立．
（1）小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．解：设，，则25﹣x2＝　9　 ，17﹣x2＝　1　 ．
将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
（2）请直接写出方程的解为　x＝﹣0.5　 ．
【考点】无理方程；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二元一次方程组的解．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】（1）9；1；（2）x＝﹣0.5．
【分析】（1）依据题意，由，，从而m+n＝4，m2﹣n2＝8，又m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝8，则m﹣n＝2，求出m，n后即可判断得解；
（2）依据题意，由，从而x+6+3x+2﹣23x+7+x+1﹣2，则，故3x2+20x+12＝3x2+10x+7，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵，，
∴m+n＝4，m2﹣n2＝8．
∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝8，
∴m﹣n＝2．
∴m＝3，n＝1．
∴25﹣x2＝9，17﹣x2＝1．
故答案为：9；1．
（2）由题意，∵，
∴x+6+3x+2﹣23x+7+x+1﹣2．
∴．
∴3x2+20x+12＝3x2+10x+7．
∴10x＝﹣5．
∴x＝﹣0.5．
经检验：x＝﹣0.5是原方程的解．
故答案为：x＝﹣0.5．
【点评】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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