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中考核心考点 因式分解
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 深圳二模）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1
C．
D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2
2．（2025春 深圳二模）若多项式x2+ax+b可因式分解为（x+9）（x﹣6），则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣54 D．54
3．（2025春 镇海区二模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．2ax2﹣8ay2＝2a（x+2y）（x﹣2y）
D．a2﹣a﹣12＝（a﹣3）（a+4）
4．（2025 光明区二模）已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 临高县三模）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣1）+1
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
6．（2024秋 漳州三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 B．x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4
C．y2+2y﹣1＝y（y+2）﹣1 D．y2﹣9＝（y+3）（y﹣3）
7．（2025春 管城区二模）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2025 乌鲁木齐）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为12＝42﹣22，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是（　　）
A．48 B．50 C．52 D．54
9．（2025春 碑林区二模）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+3ac+b2＝2ab+3bc，则此三角形的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．（2025春 雁塔区二模）若k为任意整数，则（k+5）2﹣（k﹣2）2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
二．填空题（共5小题）
11．（2025 綦江区一模）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“励志数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数M′．规定．例如：M＝1435，∵1+4＝5，3+5＝8，∴1435是“励志数”．则．那么“励志数”N＝3226，则F（N）＝ 　 　 ；已知S＝1000a+100b+10c+d是“励志数”，（1≤a，b≤4，1≤c，d≤7且a，b，c，d均为整数），若F（S）恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 　 　 ．
12．（2025春 镇海区二模）已知x、y是自然数，且x＞y，xy2+6xy+9x﹣128y＝0，则x+y＝ 　 　 ．
13．（2025春 成都二模）若关于x的多项式x2+ax+2能够被多项式x﹣1整除，则常数a的值为　 　 ．
14．（2025春 龙泉驿区二模）若x2﹣x﹣3＝0，则x3+x2﹣5x+2025＝ 　 　 ．
15．（2025春 成都二模）已知长方形ABCD的周长是10，面积是6，a和b分别是长方形的长和宽，则a2b+ab2＝ 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 鲤城区二模）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
（1）【验证】（3+1）2﹣（3﹣1）2＝　 　 ；
（2）【证明】设两个正整数为m、n，则（m+n）2﹣（m﹣n）2＝　 　 ；一定　 　 4的倍数（填“是”或“不是”）；
（3）【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
17．（2024秋 旬阳市三模）[阅读材料]
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组：二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用”3+1”分组；若无法构成，则采用”2+2”“分组．
例如，x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）；
am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．
[应用知识]
（1）因式分解：a2﹣ab+bc﹣ac；
（2）因式分解：﹣a2﹣6ab﹣9b2+9；
[拓展应用]
（3）已知一三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
18．（2025春 碑林区二模）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　 　 ；
（2）若每块小矩形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为50cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．
19．（2025春 金水区二模）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
任务：
（1）若多项式x2﹣16x+k是一个完全平方式，则常数k＝　 　 ；
（2）用配方法分解因式：x2﹣6x+5；
（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+5有最大值？并求出这个最大值．
20．（2025春 姑苏区二模）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如M＝4x2﹣2x+6与N＝﹣4x2+2x﹣3，M+N＝3，则M与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3．
（1）下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是　 　 （填序号）；
①3x2﹣2与3x2+2；②x﹣9与﹣x+8；③﹣5xy2+2xy+2与5xy2﹣2xy．
（2）多项式A＝（x﹣m）2与B＝nx2+4x+n（m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”；
（3）（3）关于x的多项式C＝﹣mx2﹣6x+7m与D＝m（x﹣1）（x+n）的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；若不能，请说明理由．
中考核心考点 因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 深圳二模）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1
C．
D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2
【考点】因式分解的意义．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行求解即可．
【解答】解：根据因式分解的定义：
A、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，属于整式的乘法，A不符合题意；
B、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，
故B不符合题意；
C、，等式右边不是整式，不是因式分解，
故C不符合题意；
D、x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，属于因式分解，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
2．（2025春 深圳二模）若多项式x2+ax+b可因式分解为（x+9）（x﹣6），则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣54 D．54
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据因式分解﹣十字相乘法解答即可．
【解答】解：∵（x+9）（x﹣6）＝x2+3x﹣54，且多项式x2+ax+b可因式分解为（x+9）（x﹣6），
∴a＝3，b＝﹣54，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025春 镇海区二模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．2ax2﹣8ay2＝2a（x+2y）（x﹣2y）
D．a2﹣a﹣12＝（a﹣3）（a+4）
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义，逐项分析判断即可．
【解答】解：A、原运算不是因式分解，是整式的乘法运算，不符合题意；
B、等号右侧不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、a2﹣a﹣12＝（a﹣4）（a+3），是因式分解，但分解错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是关键．
4．（2025 光明区二模）已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（　　）
A． B． C． D．
【考点】因式分解的应用；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】设这两个实数分别是a、b，a﹣b＝m，表示出两个数平均数的平方为，表示出平方的平均数为，然后求出差，化简计算即可．
【解答】解：设这两个实数分别是a、b，
a﹣b＝m，
．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是表示出两个数平均数的平方、两个数平方的平均数．
5．（2024秋 临高县三模）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣1）+1
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【解答】解：A、运算是是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、运算是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意；
C、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，是因式分解，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键．
6．（2024秋 漳州三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 B．x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4
C．y2+2y﹣1＝y（y+2）﹣1 D．y2﹣9＝（y+3）（y﹣3）
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】首先要理解因式分解的概念，即把一个多项式转换为几个因式乘积的形式．因此，对于给定的选项，需要判断哪些选项展示的是因式分解，即从多项式形式变为几个多项式乘积的形式．
【解答】解：A、这个等式左边是两个一次多项式的乘积，右边是一个二次多项式．这是一个典型的展开过程，不是因式分解．因此A选项不是因式分解．
B、这个等式右边是一个完全平方公式加上一个常数，它不是一个多项式乘积的形式，所以B选项不是因式分解．
C、这个等式右边是y乘以一个一次多项式再减去一个常数，这也不是一个多项式的乘积形式，因此C选项不是因式分解．
D、y2﹣9＝（y+3）（y﹣3），这个等式左边是一个二次多项式，右边是两个一次多项式的乘积．因此D选项是一个正确的因式分解．
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的判定，熟练掌握因式分解的定义是关键．
7．（2025春 管城区二模）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】先求出a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，然后把原式变形为，再代入计算即可．
【解答】解：∵a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴原式
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握因式分解是关键．
8．（2025 乌鲁木齐）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为12＝42﹣22，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是（　　）
A．48 B．50 C．52 D．54
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】设连续两个偶数为2n、2n+2（n为整数），这两个数的平方差是（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4，根据选项，可得8n+4＝48、8n+4＝50、8n+4＝52、8n+4＝54，求出n，选择符合题意的n的值．
【解答】解：设连续两个偶数为2n、2n+2（n为整数），
（2n+2）2﹣（2n）2
＝4n2+4+8n﹣4n2
＝8n+4，
对于A，8n+4＝48，n，不符合题意；
对于B，8n+4＝30，n，不符合题意；
对于C，8n+4＝52，n＝6，2n＝12，2n+2＝14，52＝142﹣122，符合题意；
对于D，8n+4＝54，n，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是求出两个偶数的平方差的代数式是多少．
9．（2025春 碑林区二模）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+3ac+b2＝2ab+3bc，则此三角形的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】因为a2+3ac+b2＝2ab+3bc，所以a2+b2﹣2ab＝3bc﹣3ac，即（b﹣a）（b﹣a﹣3c）＝0，若b﹣a＝0，得b＝a，此时三角形为等腰三角形；若b﹣a﹣3c＝0，此时不能组成三角形．
【解答】解：因为a2+3ac+b2＝2ab+3bc，
所以a2+b2﹣2ab＝3bc﹣3ac，
即（b﹣a）2＝3c（b﹣a），
即（b﹣a）（b﹣a﹣3c）＝0，
若b﹣a＝0，得b＝a，
此时三角形为等腰三角形；
若b﹣a﹣3c＝0，
则a＝b﹣3c，
因为b﹣3c＞0，b＞3c．
因为a+c＞b，
b﹣3c+c＞b，
得c＜0，
此时不满足题意．
所以三角形的形状是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将式子进行因式分解计算．
10．（2025春 雁塔区二模）若k为任意整数，则（k+5）2﹣（k﹣2）2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】因为（k+5）2﹣（k﹣2）2＝（k+5+k﹣2）（k+5﹣k+2）＝7（2k+3），据此判断（k+5）2﹣（k﹣2）2的值总能被7整除．
【解答】解：（k+5）2﹣（k﹣2）2
＝（k+5+k﹣2）（k+5﹣k+2）
＝（2k+3）×7
＝7（2k+3），
因为k为任意整数，
所以7（2k+3）是7的倍数，能被7整除．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用平方差公式将要求的式子进行因式分解．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 綦江区一模）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“励志数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数M′．规定．例如：M＝1435，∵1+4＝5，3+5＝8，∴1435是“励志数”．则．那么“励志数”N＝3226，则F（N）＝ 　﹣6　 ；已知S＝1000a+100b+10c+d是“励志数”，（1≤a，b≤4，1≤c，d≤7且a，b，c，d均为整数），若F（S）恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 　2655　 ．
【考点】因式分解的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】因式分解；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】﹣6，2655．
【分析】根据“励志数”的定义进行求解即可；由题意可得c﹣a+d﹣b＝3，从而可求得F（S）＝9c﹣9a+3，再结合F（S）恰好能被 8 整除，即9c﹣9a+3＝8（c﹣a）+（c﹣a+3）能被 8 整除，对当c﹣a+3＝0时，当c﹣a+3＝8时，分别对此进行分析即可求解．
【解答】解：∵规定．N＝3226，
∴“励志数”N前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数为2632，
∴；
已知S＝1000a+100b+10c+d是“励志数”，（1≤a，b≤4，1≤c，d≤7且a，b，c，d均为整数），
∴a+b＝5，c+d＝8，
∴c﹣a+d﹣b＝3，
∵S′＝1000c+100d+10a+b，
∴，
∵F（S）恰好能被8整除，
∴9c﹣9a+3＝8（c﹣a）+（c﹣a+3）能被8整除，
即c﹣a+3能被8整除，
当c﹣a+3＝0时，
故当a＝4，c＝1时，b＝1，d＝7，则自然数S为：4117；
当c﹣a+3＝8时，
故当a＝1，c＝6时，b＝4，d＝2，则自然数S为：1462；
当a＝2，c＝7时，b＝3，d＝1，则自然数S为：2371；
当a＝3，c＝8不符合题意，舍去；
当a＝4，c＝9不符合题意，舍去；
综上所述，所有满足条件的自然数S的值为4117或1462或2371，
其中最大的数为4117，最小的数为1462，差为2655，
故答案为：﹣6，2655．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚“励志数”的定义．
12．（2025春 镇海区二模）已知x、y是自然数，且x＞y，xy2+6xy+9x﹣128y＝0，则x+y＝ 　9或15　 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】9或15．
【分析】因为x、y是自然数，且x＞y，xy2+6xy+9x﹣128y＝0，求出，找出满足题意的解为：y＝1，x＝8或y＝5时，x＝10，求出x+y即可．
【解答】解：xy2+6xy+9x﹣128y＝0，
即x（y2+6y+9）﹣128y＝0，
x（y+3）2＝128y，
解得：，
因为x、y是自然数，且x＞y，
所以当y＝1时，x＝8，此时满足题意，
所以当y＝5时，x＝10，此时满足题意，
x+y＝1+8＝9或x+y＝5+10＝15．
故答案为：9或15．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是用x表示y．
13．（2025春 成都二模）若关于x的多项式x2+ax+2能够被多项式x﹣1整除，则常数a的值为　﹣3　 ．
【考点】因式分解的应用；整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】因为关于x的多项式x2+ax+2能够被多项式x﹣1整除，设x2+ax+2＝（x﹣1）（x+b），将式子展开可得原式＝x2+x（b﹣1）﹣b，因此，求出a即可．
【解答】解：设x2+ax+2＝（x﹣1）（x+b），
则（x﹣1）（x+b）
＝x2+bx﹣x﹣b
＝x2+x（b﹣1）﹣b，
所以，
解得．
答：常数a的值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整式的除法，解决本题的关键是设x2+ax+2＝（x﹣1）（x+b）．
14．（2025春 龙泉驿区二模）若x2﹣x﹣3＝0，则x3+x2﹣5x+2025＝ 　2031　 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2031．
【分析】由x2﹣x﹣3＝0，得x2＝x+3，x2﹣x＝3，将两式子代入x3+x2﹣5x+2025可得原式＝x×（x+3）+x2﹣5x+2025，代入数据计算即可．
【解答】解：因为x2﹣x﹣3＝0，
所以x2＝x+3，x2﹣x＝3，
x3+x2﹣5x+2025
＝x x2+x2﹣5x+2025
＝x （x+3）+x2﹣5x+2025
＝x2+3x+x2﹣5x+2025
＝2x2﹣2x+2025
＝2（x2﹣x）+2025
＝2×3+2025
＝2031．
故答案为：2031．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据已知式子将要求式子进行因式分解．
15．（2025春 成都二模）已知长方形ABCD的周长是10，面积是6，a和b分别是长方形的长和宽，则a2b+ab2＝ 　30　 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；应用意识．
【答案】30．
【分析】因为长方形的周长＝（长+宽）×2，长方形的面积＝长×宽，a和b分别是长方形的长和宽，长方形ABCD的周长是10，面积是6，所以（a+b）×2＝10，ab＝6，所以a+b＝5，因为a2b+ab2＝ab（a+b），代入数据计算即可．
【解答】解：因为（a+b）×2＝10，
所以a+b＝5，
因为ab＝6，
所以a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝6×5
＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用长方形的周长、面积公式．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 鲤城区二模）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
（1）【验证】（3+1）2﹣（3﹣1）2＝　12　 ；
（2）【证明】设两个正整数为m、n，则（m+n）2﹣（m﹣n）2＝　4mn　 ；一定　是　 4的倍数（填“是”或“不是”）；
（3）【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
【考点】因式分解的应用；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）12；（2）4mn，是；（3）这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
【分析】（1）先算括号中的加减，再算平方，最后算减法；
（2）根据平方差公式，将两个式子展开，求出结果即可；
（3）设m＝2a+1，n＝2a﹣1，mn＝（2a+1）（2a﹣1）＝4a2﹣1，很显然两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
【解答】解：（1）（3+1）2﹣（3﹣1）2
＝16﹣4
＝12，
故答案为：12．
（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2
＝m2+2mn+n2﹣（m2﹣2mn+n2）
＝m2+2mn+n2﹣m2+2mn﹣n2
＝4mn，
4mn÷4＝mn，
因为m、n为正整数，
所以4mn一定是4的倍数．
即（m+n）2﹣（m﹣n）2一定是4的倍数．
故答案为：4mn，是．
（3）设m＝2a+1，n＝2a﹣1，
mn
＝（2a+1）（2a﹣1）
＝4a2﹣1，
所以这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
【点评】本题考查了因式分解的应用、列代数式，解决本题的关键是将式子展开求出结果即可．
17．（2024秋 旬阳市三模）[阅读材料]
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组：二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用”3+1”分组；若无法构成，则采用”2+2”“分组．
例如，x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）；
am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．
[应用知识]
（1）因式分解：a2﹣ab+bc﹣ac；
（2）因式分解：﹣a2﹣6ab﹣9b2+9；
[拓展应用]
（3）已知一三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【考点】因式分解的应用．
【专题】阅读型；推理能力．
【答案】（1）（a﹣b）（a﹣c）；
（2）（3+a+2b）（3﹣a﹣2b）；
（3）这个三角形是等边三角形．
【分析】（1）把所给式子“2+2”分组后提取公因式，继续提公因式分解即可；
（2）把所给式子“3+1”分组后用完全平方公式因式分解，整理后继续用平方差公式分解即可；
（3）把所给等式整理成2个完全平方式相加得0的形式，进而可得a，b．c的关系，即可得到这个三角形的形状．
【解答】解：（1）a2﹣ab+bc﹣ac
＝（a2﹣ab）+（bc﹣ac）
＝a（a﹣b）﹣c（a﹣b）
＝（a﹣b）（a﹣c）；
（2）﹣a2﹣6ab﹣9b2+9
＝（﹣a2﹣6ab﹣9b2）+9
＝9﹣（a2+6ab+9b2）
＝32﹣（a+3b）2
＝（3+a+3b）（3﹣a﹣3b）；
（3）这个三角形是等边三角形，理由如下：
∵2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），
∴2a2＝2ac﹣c2+2ab﹣b2，
∴2a2﹣2ac+c2﹣2ab+b2＝0，
（a2﹣2ac+c2）+（a2﹣2ab+b2）＝0
（a﹣c）2+（a﹣b）2＝0，
∴a﹣c＝0，a﹣b＝0，
∴a＝c，a＝b，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用，理解分组分解法的两种分法是解决本题的关键．
18．（2025春 碑林区二模）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　（m+2n）（2m+n）　 ；
（2）若每块小矩形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为50cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．
【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景；因式分解的意义．
【专题】整式；应用意识．
【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42厘米．
【分析】（1）根据长方形的面积公式，将式子进行因式分解即可；
（2）因为每块小矩形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为50cm2，可得mn＝12，2m2+2n2＝50，即m2+n2＝25，根据完全平方公式，求出m+n＝7，所有裁剪线（虚线部分）的长度之和＝6m+6n＝6（m+n），代入数据计算即可．
【解答】解：（1）2m2+5mn+2n2＝（m+2n）（2m+n），
所以代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n），
故答案为：（m+2n）（2m+n）．
（2）因为每块小矩形的面积为12cm2，
所以mn＝12，
因为四个正方形的面积和为50cm2，
所以2m2+2n2＝50，
即m2+n2＝25，
（m+n）2＝m2+n2+2mn＝25+24＝49，
因为m＞n＞0，
所以m+n＝7，
所有裁剪线（虚线部分）的长度之和是：
（2m+n）×2+（m+2n）×2
＝4m+2n+2m+4n
＝6m+6n
＝6（m+n）
＝6×7
＝42（厘米）．
答：图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和是42厘米．
【点评】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景、因式分解的意义，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式．
19．（2025春 金水区二模）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
任务：
（1）若多项式x2﹣16x+k是一个完全平方式，则常数k＝　64　 ；
（2）用配方法分解因式：x2﹣6x+5；
（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+5有最大值？并求出这个最大值．
【考点】因式分解的应用；完全平方式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）64；（2）（x﹣1）（x﹣5）；（3）x＝﹣1时，多项式有最大值7．
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣4，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（3）﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x2+2x+1）+2+5，所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，多项式﹣2x2﹣4x+5有最大值7．
【解答】解：（1）因为多项式x2﹣16x+k是一个完全平方式，
x2﹣16x+64＝（x﹣8）2，
所以x2﹣16x+k＝x2﹣16x+k，
所以k＝64．
故答案为：64．
（2）x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+9﹣4
＝（x﹣3）2﹣4
＝（x﹣3+2）（x﹣3﹣2）
＝（x﹣1）（x﹣5）；
（3）﹣2x2﹣4x+5
＝﹣2（x2+2x）+5
＝﹣2（x2+2x+1）+2+5
＝﹣2（x+1）2+7，
所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，
多项式﹣2x2﹣4x+5有最大值，
最大值是0+7＝7．
【点评】本题考查了因式分解的应用、完全平方式，熟练运用完全平方公式是解决本题的关键．
20．（2025春 姑苏区二模）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如M＝4x2﹣2x+6与N＝﹣4x2+2x﹣3，M+N＝3，则M与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3．
（1）下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是　②③　 （填序号）；
①3x2﹣2与3x2+2；②x﹣9与﹣x+8；③﹣5xy2+2xy+2与5xy2﹣2xy．
（2）多项式A＝（x﹣m）2与B＝nx2+4x+n（m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”；
（3）（3）关于x的多项式C＝﹣mx2﹣6x+7m与D＝m（x﹣1）（x+n）的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；若不能，请说明理由．
【考点】因式分解的应用；多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）②③；
（2）3；
（3）能，m＝1，n＝7．
【分析】（1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
（2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解；
（3）先求C+D得，（﹣6+mn﹣m）x+7m﹣mn，再将根据“组合数”为0，列方程解方程即可．
【解答】解：（1）∵3x2﹣2+3x2+2＝6x2，6x2不是常数，
∴①组多项式不是互为“组合多项式”；
∵x﹣9+（﹣x+8）＝﹣1，﹣1是常数，
∴②组多项式是互为“组合多项式”；
∵﹣5xy2+2xy+2+5xy2﹣2xy＝2，2是常数，
③组多项式是互为“组合多项式”，
故答案为：②③；
（2）（x﹣m）2+nx2+4x+n
＝x2﹣2mx+m2+nx2+4x+n，
＝（1+n）x2+（4﹣2m）x+m2+n，
∵A＝（x﹣m）2与B＝nx2+4x+n（m，n为常数）互为“组合多项式”，
∴1+n＝0，4﹣2m＝0，m2+n为常数，
解得：n＝﹣1，m＝2，
∴m2+n＝3，
它们的“组合数”为3；
（3）能为0，理由如下：
∵C＝﹣mx2﹣6x+7m，D＝m（x﹣1）（x+n），
∴C+D＝﹣mx2﹣6x+7m+m（x﹣1）（x+n）
＝﹣mx2﹣6x+7m+m（x2+nx﹣x﹣n）
＝﹣mx2﹣6x+7m+mx2+mnx﹣mx﹣mn
＝（﹣6+mn﹣m）x+7m﹣mn，
若C和D的“组合数”能为0，
∴，
解得：．
【点评】本题主要考查了整式四则混合运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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