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中考核心考点 有理数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 扬州一模）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高3℃时，气温变化记作+3℃，那么气温下降5℃时，气温变化记作（　　）
A．﹣8℃ B．﹣5℃ C．+5℃ D．+8℃
2．（2025春 永春县二模）若□＝0，则□表示的数是（　　）
A．5 B． C． D．﹣5
3．（2025春 琼山区三模）下列各数中，与2025的和为0的是（　　）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
4．（2025 长春一模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b＝0．若AB＝4，则点A表示的数为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣4
5．（2025春 瑶海区二模）数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为﹣2﹣x，2x﹣3和1，则x可能是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
6．（2025 沂源县一模）DeepSeek团队在人工智能研发过程中坚持自主创新．实验数括显示，他们的模型训练效率达到了惊人的2.4×1015次浮点运算/秒．若某次连续训练持续了1.2×104秒，则总共完成了多少次浮点运算（　　）
A．2.48×1019 B．2.88×1018 C．2.88×1019 D．2.88×1020
7．（2025 辽阳一模）当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）：
气体 氧气 氨气 氢气 氮气
液化温度/℃ ﹣183 ﹣33.5 ﹣253 ﹣196
其中液化温度最低的气体是（　　）
A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气
8．（2025 文山州二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若升高30米记作+30米，那么﹣5米表示（　　）
A．上升5米 B．下降35米 C．上升25米 D．下降5米
9．（2025 海淀区一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了5%．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为3.8×1010元，则今年的义务教育财政预算支出约为（　　）
A．3.8×1010元 B．5.7×1010元
C．3.99×1010元 D．3.99×1011元
10．（2025 孝义市一模）约公元820年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法；体现的数学思想是（　　）
A．分类思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 江北区二模）规定：对于任意有理数a与b，满足，如5*3＝3×5﹣3＝12，．若有理数x满足x*3＝15，则x的值为　 　 ．
12．（2025春 长寿区二模）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把6m长的彩绳剪成2m或1m的彩绳（允许只剪成其中一种长度），用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有　 　 种不同的剪法．
13．（2025 房山区一模）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示：
A B C
制作 10 8 12
包装 6 10 8
若由一名工人单独完成三种产品的生产、那么总共需要　 　 小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要　 　 小时．
14．（2025春 思明区二模）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、G七道工序，加工要求如下：①工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，工序F须在工序C、D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 　 　 分钟．
15．（2025 湖南）小华有一个密码小宝箱，他忘记6位数密码的一部分8904□2，且密码每一个数字和其他数字都不重复．现在小华想要打开他的宝箱，最多需要尝试 　 　 次．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 锡山区二模）定义：使a﹣b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b称为“共生有理数对”，记作（a，b）．例如：因为﹣2﹣1＝﹣2×1﹣1，所以（﹣2，1）是“共生有理数对”．
（1）判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由；
（2）若5是“共生有理数对”中的一个有理数，则这个“共生有理数对”为　 　 ；
（3）若数对（m，n）是“共生有理数对”，且m＝n+2，求（﹣2）mn的值．
17．（2025春 新华区二模）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定：（a，b）*（c，d）＝a2+c2﹣bd．例如：（1，2）*（3，4）＝12+32﹣2×4＝2．
（1）求（﹣3，2）*（2，﹣1）的值；
（2）若2x+y＝10，且（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80，求xy的值．
18．（2025 定海区一模）综合与实践
有趣的“乘法运算”
小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究．
【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘．
【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数．
例：14×94＝100×（1×9+4）+42＝1316，前积是13，后积是16
（1）26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236，前积是　 　 ，后积是　 　 ；
【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果．
（2）25×85＝　 　 ＝　 　 ；
【推理算法】记两位数分别是和，且a+b＝10，其中．
（3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明．
19．（2025春 青秀区二模）【知识背景】
某学校开展科技节活动，在操场搭建一个科技展台，并安排了施工小组按设计图制作展板．
【步骤实施】请同学们完成以下四个任务．
任务一 截取一个边长为20dm的正方形ABCD，则这个正方形ABCD的面积为　 　 dm2．
任务二 用4个相同的小正方形拼成一个面积为40dm2的大正方形EFGH，小正方形的边长为　 　 dm2．
任务三 另有一块面积为225dm2的正方形板材，要从这块板材裁出一块面积为105dm2的长方形PQMN，使长方形的长与宽的比为5：3，问能否裁出？请说明理由．
任务四
任务一、任务二、任务三组合在一起，分别构成墙面、窗户和门（如图），请用涂料涂满除门窗（正方形EFGH和长方形PQMN）外剩下的墙面．并用彩带装饰窗户的四周（即正方形EFGH的周长），在购买涂料和彩带时有以下两种方案可供选择（如表），问哪种方案更划算？请说明理由．
方案 涂料每平方分米价格（元） 彩带每分米价格（元）
方案1 15 5
方案2 12 10
20．（2025春 建邺区二模）我们规定：n个相同的非零有理数的商可以表示为a （n＝1，2，…），读作“a的圈n次方”．（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．
（1）直接写出计算结果：2025②＝ 　 　 ， 　 　 ．
（2）若n为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或﹣1．其中所有正确结论的序号是 　 　 ．
（3）试说明a ÷a ＝am﹣n（m，n为正整数，且m＞n）．
中考核心考点 有理数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 扬州一模）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高3℃时，气温变化记作+3℃，那么气温下降5℃时，气温变化记作（　　）
A．﹣8℃ B．﹣5℃ C．+5℃ D．+8℃
【考点】正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可．
【解答】解：根据题意，气温下降5℃时，气温变化记作﹣5℃．
故选：B．
【点评】本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．
2．（2025春 永春县二模）若□＝0，则□表示的数是（　　）
A．5 B． C． D．﹣5
【考点】有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据加减法是互逆运算，列式计算．
【解答】解：∵0﹣（），
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加法，理解加减法是互逆运算是解题的关键．
3．（2025春 琼山区三模）下列各数中，与2025的和为0的是（　　）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
【考点】相反数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意列式0﹣2025求值即可．
【解答】解：根据有理数减法运算法则得：0﹣2025＝﹣2025，
故答案为：B．
【点评】本题考查有理数的减法计算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数是关键．
4．（2025 长春一模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b＝0．若AB＝4，则点A表示的数为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣4
【考点】数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据AB＝4得到点A和点B到原点的距离之和为4，根据相反数的性质可知点A和点B分别位于原点两侧，到原点的距离相等，即可得到答案．
【解答】解：∵点A和点B到原点的距离之和为4，a+b＝0，
∴点A到原点的距离为2个单位，且在原点左侧，
即点A表示的数为﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查相反数的定义和性质、数轴上两点之间的距离等知识．熟练掌握以上知识点是关键．
5．（2025春 瑶海区二模）数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为﹣2﹣x，2x﹣3和1，则x可能是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据数轴上点从左到右数逐渐增大的性质，列出不等式组，求解x的取值范围，再对照选项判断．
【解答】解：因为三点依次从左向右排列，所以﹣2﹣x＜2x﹣3且2x﹣3＜1．
解不等式﹣2﹣x＜2x﹣3：得，
解不等式2x﹣3＜1：解得x＜2，
∴x的取值范围是，
故选：D．
【点评】本题考查了数轴上数的大小关系与不等式的求解，解题的关键是根据数轴上点的左右顺序列出不等式组并求解．
6．（2025 沂源县一模）DeepSeek团队在人工智能研发过程中坚持自主创新．实验数括显示，他们的模型训练效率达到了惊人的2.4×1015次浮点运算/秒．若某次连续训练持续了1.2×104秒，则总共完成了多少次浮点运算（　　）
A．2.48×1019 B．2.88×1018 C．2.88×1019 D．2.88×1020
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据有理数的运算法则求解．
【解答】解：2.4×1015×1.2×104＝2.88×1019，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
7．（2025 辽阳一模）当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）：
气体 氧气 氨气 氢气 氮气
液化温度/℃ ﹣183 ﹣33.5 ﹣253 ﹣196
其中液化温度最低的气体是（　　）
A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气
【考点】有理数大小比较；正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度．
【解答】解：∵﹣253℃＜﹣196℃＜﹣183℃＜﹣33.5℃，∴液化温度最低的气体是氢气．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是关键．
8．（2025 文山州二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若升高30米记作+30米，那么﹣5米表示（　　）
A．上升5米 B．下降35米 C．上升25米 D．下降5米
【考点】正数和负数；数学常识．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D
【分析】利用正数和负数的意义，数字常识解答．
【解答】解：升高30米记作+30米，那么﹣5米表示下降5米．
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，数字常识，解题的关键是掌握正数和负数的意义，数字常识．
9．（2025 海淀区一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了5%．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为3.8×1010元，则今年的义务教育财政预算支出约为（　　）
A．3.8×1010元 B．5.7×1010元
C．3.99×1010元 D．3.99×1011元
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3.8×1010×（1+5%）＝3.99×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（2025 孝义市一模）约公元820年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法；体现的数学思想是（　　）
A．分类思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
【考点】数学常识．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】C
【分析】由“对消”和“还原”的方法，即“合并同类项”，“移项”，即可得体现的数学思想是转化思想．
【解答】解：“对消”和“还原”的方法，即“合并同类项”，“移项”，体现的数学思想是转化思想．
故选：C．
【点评】本题主要考查了数学思想，解题关键是正确判断．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 江北区二模）规定：对于任意有理数a与b，满足，如5*3＝3×5﹣3＝12，．若有理数x满足x*3＝15，则x的值为　6　 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】新定义；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据新定义的运算进行列方程，再解方程即可．
【解答】解：由新定义可得：①当x≥3时，
3x﹣3＝15，
解得：x＝ 6；
②当x＜3时，
x﹣3×3＝15，
解得：x＝ 24（舍去）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算进行解答．
12．（2025春 长寿区二模）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把6m长的彩绳剪成2m或1m的彩绳（允许只剪成其中一种长度），用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有　4　 种不同的剪法．
【考点】有理数的加法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据题意列出方程，再解方程即可．
【解答】解：设截成2m的彩绳x根，1m的彩绳y根，
由题意可得2x+y＝6，
因为不造成浪费，
∴x，y是正整数，
x＝0，y＝6；
x＝1，y＝4；
x＝2，y＝2；
x＝3，y＝0．
则共有4种不同截法，
故答案为：4．
【点评】本题考查了有理数的加法，解题的关键是根据题意列出方程．
13．（2025 房山区一模）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示：
A B C
制作 10 8 12
包装 6 10 8
若由一名工人单独完成三种产品的生产、那么总共需要　54　 小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要　26　 小时．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】54，26．
【分析】本题主要考查对生产时间的计算，第一问是单人完成生产的总时间计算，直接将三种产品制作和包装时间累加即可；第二问是两人合作的最短时间计算，关键在于合理分配任务，让两人的工作时间尽可能均衡且不出现等待时间．
【解答】解：一名工人单独完成，总时间为三种产品制作时间与包装时间之和，即（10+8+12）+（6+10+8）＝30+24＝54小时．
设两名工人为甲、乙．
为使时间最短，安排甲按B、A、C顺序制作产品，乙负责包装．
甲制作产品B用时8小时，此时乙等待8小时候开始包装B，用时10小时，
甲接着制作产品A用时10小时，此时乙包装B还剩10﹣8＝2小时，甲制作A过程中乙完成B包装后开始包装A，乙包装A用时6小时，在甲制作A的10小时内乙可完成A包装；
甲再制作产品C用时12小时，乙包装C用时8小时．
整个过程总用时为甲制作产品BAC的时间加上乙包装产品C的时间，即8+10+12﹣（10﹣8））﹣（6）+8＝26小时．
故答案为：54，26．
【点评】本题将实际生产场景转化为数学计算问题，既考查了基本的加法运算能力，又对逻辑规划能力有一定要求．第一问较为基础，是简单的时间求和．第二问难度提升，需要思考如何合理安排任务流程以达到最短时间，这种问题有助于培养学生的统筹规划思维，在实际生产生活中也有很强的应用价值，可引导学生将数学知识与实际应用相结合．
14．（2025春 思明区二模）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、G七道工序，加工要求如下：①工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，工序F须在工序C、D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 　28　 分钟．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】28．
【分析】假设这两名学生为甲、乙，推导出甲学生做工序A，乙学生做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，同时乙学生做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，据此进一步解答．
【解答】解：假设这两名学生为甲，乙，
∵工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，
∴甲学生做工序A，乙学生做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，同时乙学生做工序C，
乙学生工序C完成后接着做工序G，
此时需要9分钟，
最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，
此时需要10分钟，
则9+9+10＝28（分钟），
即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要28分钟．
故答案为：28．
【点评】本题考查有理数的运算，结合题意进行正确的推理是解题的关键．
15．（2025 湖南）小华有一个密码小宝箱，他忘记6位数密码的一部分8904□2，且密码每一个数字和其他数字都不重复．现在小华想要打开他的宝箱，最多需要尝试 　5　 次．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据题意即可找到可以填的数字．
【解答】解：根据密码每一个数字和其他数字都不重复，
所以方框里只能填：1，3，5，6，7，
故答案为：5．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意找到可以填的数字．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 锡山区二模）定义：使a﹣b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b称为“共生有理数对”，记作（a，b）．例如：因为﹣2﹣1＝﹣2×1﹣1，所以（﹣2，1）是“共生有理数对”．
（1）判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由；
（2）若5是“共生有理数对”中的一个有理数，则这个“共生有理数对”为　（5，1）或（﹣1，5）　 ；
（3）若数对（m，n）是“共生有理数对”，且m＝n+2，求（﹣2）mn的值．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）不是；（2）（5，1）或（﹣1，5）；（3）﹣8．
【分析】（1）代入定义式，看等式是否成立即可；
（2）设这个共生数对为（5，a）或（a，5），代入定义式，求出a，表示出数对即可；
（3）数对（m，n）是“共生有理数对”，所以m﹣n＝mn﹣1，因为m＝n+2，两式联立求出mn＝3，求出结果即可．
【解答】解：（1），
，
，
数对不是“共生有理数对”．
（2）设这个共生数对为（5，a）或（a，5）．
当数对为（5，a）时，
5﹣a＝5a﹣1，
可得：a＝1；
这个数对时（5，1）；
当数对为（a，5）时，
a﹣5＝5a﹣1，
解得：a＝﹣1，
这个数对时（﹣1，5）．
故答案为：（5，1）或（﹣1，5）．
（3）因为（m，n）是“共生有理数对”，
所以m﹣n＝mn﹣1，
因为m＝n+2，
所以n+2﹣n＝mn﹣1，
得：mn＝3，
（﹣2）mn＝（﹣2）3＝﹣8．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是按照“共生有理数对”的公式计算．
17．（2025春 新华区二模）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定：（a，b）*（c，d）＝a2+c2﹣bd．例如：（1，2）*（3，4）＝12+32﹣2×4＝2．
（1）求（﹣3，2）*（2，﹣1）的值；
（2）若2x+y＝10，且（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80，求xy的值．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）15；（2）5．
【分析】（1）因为（a，b）*（c，d）＝a2+c2﹣bd，所以（﹣3，2）*（2，﹣1）＝（﹣3）2+22﹣2×（﹣1），求出结果即可；
（2）因为（a，b）*（c，d）＝a2+c2﹣bd，（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80，所以即（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2）＝80，
得4x2+y2＝80，因为2x+y＝10，所以sxy＝（2x+y）2﹣（4x2+y2）＝20，求出xy＝5．
【解答】解：（1）（﹣3，2）*（2，﹣1）
＝（﹣3）2+22﹣2×（﹣1）
＝9+4+2
＝15；
（2）因为（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80，
即（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2）＝80，
得4x2+y2＝80，
因为2x+y＝10，
所以（2x+y）2﹣（4x2+y2）
＝4x2+y2+4xy﹣4x2﹣y2
＝4xy，
4xy＝102﹣80＝20，
xy＝5．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据示例的运算法则计算．
18．（2025 定海区一模）综合与实践
有趣的“乘法运算”
小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究．
【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘．
【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数．
例：14×94＝100×（1×9+4）+42＝1316，前积是13，后积是16
（1）26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236，前积是　22　 ，后积是　36　 ；
【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果．
（2）25×85＝　100（2×8+5）+52　 ＝　2125　 ；
【推理算法】记两位数分别是和，且a+b＝10，其中．
（3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】阅读型；规律型；实数；运算能力；推理能力．
【答案】（1）22；36；（2）100×（2×8+5）+52；2125；（3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且a+b＝10，其中，那么100（ab+c）+c2.证明见解析．
【分析】（1）利用题干中的示例的方法解答即可；
（2）仿照例题的解答过程运算即可；
（3）利用多项式乘以多项式的法则运算即可．
【解答】解：（1）∵26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236，
∴前积是22，后积是36．
故答案为：22；36；
（2）25×85＝100×（2×8+5）+52＝2125．
故答案为：100×（2×8+5）+52；2125；
（3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且a+b＝10，其中，那么100（ab+c）+c2．
证明：∵，
∴
＝（10a+c）（10b+c）
＝100ab+10（a+b）c+c2，
∵a+b＝10，
∴
＝100ab+100c+c2
＝100（ab+c）+c2．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，数字变化的规律，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
19．（2025春 青秀区二模）【知识背景】
某学校开展科技节活动，在操场搭建一个科技展台，并安排了施工小组按设计图制作展板．
【步骤实施】请同学们完成以下四个任务．
任务一 截取一个边长为20dm的正方形ABCD，则这个正方形ABCD的面积为　400　 dm2．
任务二 用4个相同的小正方形拼成一个面积为40dm2的大正方形EFGH，小正方形的边长为　　 dm2．
任务三 另有一块面积为225dm2的正方形板材，要从这块板材裁出一块面积为105dm2的长方形PQMN，使长方形的长与宽的比为5：3，问能否裁出？请说明理由．
任务四
任务一、任务二、任务三组合在一起，分别构成墙面、窗户和门（如图），请用涂料涂满除门窗（正方形EFGH和长方形PQMN）外剩下的墙面．并用彩带装饰窗户的四周（即正方形EFGH的周长），在购买涂料和彩带时有以下两种方案可供选择（如表），问哪种方案更划算？请说明理由．
方案 涂料每平方分米价格（元） 彩带每分米价格（元）
方案1 15 5
方案2 12 10
【考点】有理数的混合运算；算术平方根．
【专题】实数；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】任务一：400；任务二：；任务三：能够裁出．理由见解析；任务四：方案2更划算，理由见解析．
【分析】任务一．利用正方形的面积公式解答即可；
任务二．利用正方形的面积公式和算术平方根的意义解答即可；
任务三．设长方形的长为5x dm，则宽为3x dm，利用长方形的面积公式求得长方形的长，通过比较与正方形的边长的大小得出结论；
任务四．通过计算两个方案的费用，比较大小即可得出结论．
【解答】解：任务一：∵正方形ABCD的边长为20dm，
∴这个正方形ABCD的面积为400dm2．
故答案为：400；
任务二：∵4个相同的小正方形拼成一个面积为40dm2的大正方形EFGH，
∴每个小正方形的面积为10dm2，
∴小正方形的边长为dm．
故答案为：；
任务三：能够裁出．理由：
∵长方形的长与宽的比为5：3，
∴设长方形的长为5x dm，则宽为3x dm，
∵长方形的面积为105dm2，
∴5x 3x＝105，
∵x＞0，
∴x，
∴长方形的长为5dm，则宽为3dm，
∵正方形的面积为225dm2，
∴正方形的边长为15dm，
∵5，15，
∴515，
∴能够裁出．
任务四：方案2更划算，理由：
由题意：除门窗（正方形EFGH和长方形PQMN）外剩下的墙面面积为：400﹣40﹣105＝255（dm2），
正方形EFGH的周长为88×3.2＝25.6（dm），
利用方案1的费用为：255×15+25.6×5＝3825+128＝3953（元），
利用方案2的费用为：255×12+25.6×10＝3060+256＝3316（元）．
∵3953＞3316，
∴方案2更划算．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，有理数的混合运算，算术平方根的应用，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
20．（2025春 建邺区二模）我们规定：n个相同的非零有理数的商可以表示为a （n＝1，2，…），读作“a的圈n次方”．（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．
（1）直接写出计算结果：2025②＝ 　1　 ， 　4　 ．
（2）若n为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或﹣1．其中所有正确结论的序号是 　②④　 ．
（3）试说明a ÷a ＝am﹣n（m，n为正整数，且m＞n）．
【考点】有理数的乘方；正数和负数；有理数；有理数的除法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）1，4；
（2）②④；
（3）见解答．
【分析】（1）根据新规定求解；
（2）根据新规定求解；
（3）根据新规定和同底数幂的运算证明．
【解答】解：（1）∵2025②＝2025÷2025＝1， （） ＝4，
故答案为：1，4；
（2）①∵（﹣1）÷（﹣1）＝1＞﹣1，
故①是错误的；
②奇数个负数相除还是负数，偶数个负数相除是正数，
故②是正确的；
③∵（﹣2）÷（﹣2）＝1，2÷2＝1，
故③是错误的；
④∵a ，（） ＝an﹣2，
故④是正确的；
⑤圈n次方等于它本身的数是1，
故⑤是错误的；
故答案为：②④．
（3）证明：原式am﹣n．
【点评】本题考查了新运算，理解新运算和掌握幂的运算法则是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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