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中考核心考点 圆
一．选择题（共10小题）
1．（2025 蜀山区二模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，点C为中点，若的度数为60°，点O到AD的距离为2，则OE的长为（　　）
A． B． C．3 D．2
2．（2025 綦江区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，连接AC，以点C为圆心，CD为半径作弧交BC于点E，连接AE．则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 肥西县二模）一个扇形的半径为4，弧长等于3π，则扇形的圆心角度数为（　　）
A．120° B．135° C．150° D．270°
4．（2025 黄埔区一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（　　）
A．8 B．10 C．4 D．4
5．（2025 南安市）我国伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为CD的中点，连接BG，CF，BG交CF于点P，若，则PG的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 大足区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以点D为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接DE，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 岳池县）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 雁塔区）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（　　）
A．63° B．61° C．53° D．65°
9．（2025 方城县）一把精美的扇子如图所示，扇子打开后扇形的圆心角为120°，且2OA＝AB＝6，这个环形扇面的面积是（　　）
A．21π B．23π C．24π D．25π
10．（2025 广安）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π B．8π C．π D．π
二．填空题（共5小题）
11．（2025 九龙坡区）如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，AD＝CD＝2，BD＝4，∠BAD＝∠BCD＝90°，过C、D两点的⊙O与AB相切于点G．E为CD中点，连接EO并延长，交AB于点F，则BF的长度为　 　 ；⊙O的半径为　 　 ．
12．（2025春 青山区二模）如图，一个圆锥的高AO＝2.4，底面半径OB＝0.7，则AB＝　 　 ．
13．（2025春 芝罘区二模）如图，扇形AOB的圆心角为120°，C是OA中点，CD⊥OA交弧AB于点D，若弧AB的长为8π，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
14．（2024秋 丹徒区期末）如图，已知⊙O的半径为10，现有正方形ABCD的边CD与⊙O相切，切点为E，且点A、B在⊙O上，则正方形ABCD的边长为 　 　 ．
15．（2025 北碚区）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，过点E作⊙O的切线，分别交DC，BA的延长线于点F和点G，连接BE交CD于点P，连接BD．若BD∥FG，，CD＝4，则PH＝ 　 　 ，AG＝ 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 贵州）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于E，连接OA交BC于点D，连接AC，OC．
（1）求证∠ACE＝∠ABC；
（2）探究AC，BC与CD的数量关系，并说明理由；
（3）若tan∠DCO，CE＝6，求⊙O的半径．
17．（2025 温江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，⊙O与边BC相切于点D，与AB，AC分别相交于点E，F，AD与OE相交于点G．
（1）求证：∠C＝∠ADE；
（2）若CF＝4，sinC，求⊙O的半径和DG的长．
18．（2025 蜀山区二模）如图，BC是⊙O的直径，AB，AD与⊙O相切于点B，D，过点C作CE∥AD分别交AB，AO于E，F两点，连接CD．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若⊙O的半径为，AD＝5，求AE的长．
19．（2025 滨江区一模）已知，AB，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，且，连接BC，AD．
（1）如图1，若AB是⊙O的直径，求∠C的度数．
（2）如图2，求证：①CD＝CB．
②AE+AD＝BE．
20．（2025 双城区一模）△ABC内接于⊙O，F为上一点，连接OF、CF，OF交弦AB于点D，若∠ACF＝∠BCF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接AO，若AB＝AC，求证：AO⊥BC．
（3）在（2）的条件下，延长FO交⊙O于点E，过点F作FN⊥AC垂足为N，过点E作EM⊥AC垂足为M，若AN＝3cm，MN＝20cm，求DF的长．
中考核心考点 圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 蜀山区二模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，点C为中点，若的度数为60°，点O到AD的距离为2，则OE的长为（　　）
A． B． C．3 D．2
【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】连接AO，过O作OH⊥AD于H，得到OH＝2，由垂径定理推出CD⊥AB，由圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝60°，由圆周角定理求出∠ODH＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到OHOD，OEOA，得到OE＝OH＝2．
【解答】解：连接AO，过O作OH⊥AD于H，
∵点O到AD的距离为2，
∴OH＝2，
∵CD为⊙O的直径，C为中点，
∴CD⊥AB，
∵的度数为60°，C为中点，
∴∠AOC＝60°，
∴∠ODH∠AOC＝30°，
∵∠OHD＝90°，
∴OHOD，
∵∠OAE＝90°﹣60°＝30°，
∴OEOA，
∵OA＝OD，
∴OE＝OH＝2．
故选：D．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质推出OHOD，OEOA．
2．（2025 綦江区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，连接AC，以点C为圆心，CD为半径作弧交BC于点E，连接AE．则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】利用特殊角的三角函数求出∠ACB＝30°，再根据矩形的性质求出∠ACD的度数，最后利用阴影部分面积S＝S△ACE+S扇形DCE﹣2S扇形ECF求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
在直角三角形ABC中，AB＝4，，
∴，
∴∠ACB＝∠ECF＝30°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣30°＝60°．
∴阴影部分面积S＝S△ACE+S扇形DCE﹣2S扇形ECF
．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
3．（2025春 肥西县二模）一个扇形的半径为4，弧长等于3π，则扇形的圆心角度数为（　　）
A．120° B．135° C．150° D．270°
【考点】弧长的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】设扇形的圆心角度数为n°，根据弧长公式列关于n的方程并求解即可．
【解答】解：设扇形的圆心角度数为n°，
根据题意，得2π×4＝3π，
解得n＝135，
∴扇形的圆心角度数为135°．
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键．
4．（2025 黄埔区一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（　　）
A．8 B．10 C．4 D．4
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，根据垂径定理求出AE＝BE＝4，根据勾股定理求出OA2＝OE2+AE2，得出R2＝（R﹣2）2+42，求出R，再求出CE，最后根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，
∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，
由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，
∴AC4，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
5．（2025 南安市）我国伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为CD的中点，连接BG，CF，BG交CF于点P，若，则PG的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正多边形和圆；确定圆的条件．
【专题】正多边形与圆；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】设正六边形ABCDEF的外接圆的圆心为O，连接OA、OB、OG、OD，则∠COF＝3×60°＝180°，所以圆心O在CF上，由点G为的中点，得∠COG＝∠DOG∠COD＝30°，可求得∠GCP＝75°，由△BOC是等边三角形，得∠OCB＝60°，则∠CBG∠COG＝15°，所以∠GPC＝∠GCP＝75°，则PG＝CG，作PI⊥CF交BC于点I，则∠PIC＝30°，所以∠IPB＝∠CBG＝15°，则CI＝2CP1，BI＝PICP，于是得CO＝BC，再证明△CGP∽△COG，得，则PG＝CG，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图2，设正六边形ABCDEF的外接圆的圆心为O，连接OA、OB、OG、OD，
∵∠AOF＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD360°＝60°，
∴∠COF＝3×60°＝180°，∠CGP∠BOC＝30°，
∴圆心O在CF上，
∵点G为的中点，
∴∠COG＝∠DOG∠COD＝30°，
∵OC＝OG，
∴∠GCP＝∠OGC（180°﹣30°）＝75°，
∵OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∵∠CBG∠COG＝15°，
∴∠GPC＝∠OCB+∠CBG＝75°＝∠GCP，
∴PG＝CG，
作PI⊥CF交BC于点I，则∠CPI＝90°，
∴∠PIC＝90°﹣60°＝30°，CP，
∴∠IPB＝∠PIC﹣∠CBG＝15°＝∠CBG，CI＝2CP＝2×（）1，
∴BI＝PICP（），
∴CO＝BC1，
∵∠CGP＝∠COG，∠PCG＝∠GPO，
∴△CGP∽△COG，
∴，
∴PG＝CG，
故选：B．
【点评】此题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
6．（2025春 大足区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以点D为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接DE，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】根据条件，先求出∠ADE＝∠DEC＝30°，再利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以点D为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接DE，
∴CD＝1，DE＝2，∠C＝90°，
∴∠DEC＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝30°，
∴S阴影．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质，熟练掌握扇形面积公式是解答本题的关键．
7．（2025 岳池县）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理可以求得AC和AB的长，再观察图形可知，S阴影＝S△ABC+S扇形CBE﹣S扇形ABF，然后代入数据计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝1，BC
由图可得，
S阴影＝S△ABC+S扇形CBE﹣S扇形ABF
π
π，
故选：D．
【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2025 雁塔区）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（　　）
A．63° B．61° C．53° D．65°
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】由垂径定理可得，由定理可得∠AOC＝∠BOC＝42°，，求出∠DOE＝96°，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【解答】解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，∠BOC＝42°，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝42°，
∴，∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOC＝96°，
∴∠OED＝180°﹣∠D﹣∠DOE＝63°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理与垂径定理．
9．（2025 方城县）一把精美的扇子如图所示，扇子打开后扇形的圆心角为120°，且2OA＝AB＝6，这个环形扇面的面积是（　　）
A．21π B．23π C．24π D．25π
【考点】扇形面积的计算；圆环．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意，用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为2OA＝AB＝6，
所以OA＝3，
所以OB＝9，
则大扇形的面积为：；
小扇形的面积为：，
所以这个环形扇面的面积是27π﹣3π＝24π．
故选：C．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算及圆环，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
10．（2025 广安）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π B．8π C．π D．π
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系求出扇形的半径、圆心角度数，由扇形面积的计算公式进行计算即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC120°＝∠BAF，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
同理∠FAE＝30°，
∴∠EAC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
过点B作BM⊥AC 于点M，则AM＝MCAC，∠ABM＝60°，
在Rt△ABM 中，AB＝4，∠ABM＝60°，
∴AMAB＝2，
∴AC＝2AM＝4，
∴S阴影＝S扇形8π，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 九龙坡区）如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，AD＝CD＝2，BD＝4，∠BAD＝∠BCD＝90°，过C、D两点的⊙O与AB相切于点G．E为CD中点，连接EO并延长，交AB于点F，则BF的长度为　　 ；⊙O的半径为　　 ．
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】方程思想；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】，．
【分析】作FH⊥BC于点H，如图1所示，由垂径定理推论可得OE⊥CD．进而可得四边形CEFH为矩形，CE＝FH1．由已知可得∠ABD＝∠CBD＝30°，BC.BF.连接OG、OD，设BD交EF于点H，由切线性质可得∠FGO＝90°．∠BFH＝30°，所以BH，HC＝BC﹣BH，EF＝HC，再导角证明△BJF为等腰三角形，所以BF＝JF.设JO＝x，则OF＝FJ+JOx，半径GO＝sin60°×OF（x）＝1OD，OE＝EF﹣FO（x）．在Rt△ODE中，由勾股定理可得（）2+1＝（1）2，解得x或（不合题意，舍去），故GO＝1（）．
【解答】解：作FH⊥BC于点H，如图1所示，
∵E为CD中点，OE为过圆心的直线，
∴由垂径定理推论可得OE⊥CD．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴四边形CEFH为矩形，CE＝FH1．
∵AD＝CD＝2，BD＝4，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，BC．
∴BF．
连接OG、OD，设BD交EF于点H，如图1所示，
由切线性质可得∠FGO＝90°．
∵∠BFH＝30°，
∴BH，
∴HC＝BC﹣BH．
∵四边形CEFH为矩形，
∴EF＝HC．
∵∠JDE＝60°，∠JED＝90°，
∴∠DJE＝30°＝∠FJB，
∵∠FBD＝30°，
∴BF＝JF．
设JO＝x，则OF＝FJ+JOx，
∵∠BFH＝30°，∠HFE＝90°，
∴∠GFO＝60°，
故半径GO＝sin60°×OF（x）＝1OD，
OE＝EF﹣FO（x）．
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：OE2+DE2＝OD2，
即（）2+1＝（1）2，整理得，
解得x或（不合题意，舍去），
故GO＝1（）．
故答案为：，．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的推论，矩形的判定与性质，切线的性质，熟练掌握以上内容并能作出恰当的辅助线是解题关键．
12．（2025春 青山区二模）如图，一个圆锥的高AO＝2.4，底面半径OB＝0.7，则AB＝　2.5　 ．
【考点】圆锥的计算．
【专题】运算能力．
【答案】2.5．
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为圆锥的高AO＝2.4，底面半径OB＝0.7，
所以AB2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题主要考查了圆锥的计算，熟知勾股定理是解题的关键．
13．（2025春 芝罘区二模）如图，扇形AOB的圆心角为120°，C是OA中点，CD⊥OA交弧AB于点D，若弧AB的长为8π，则图中阴影部分的面积为 　　 ．
【考点】扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质；弧长的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】连接OD，设OA＝OB＝OD＝r，根据弧长公式列出方程求出r的值，再解Rt△COD求出∠COD的度数，进而求出CD的长，最后根据S阴影＝S扇形AOD﹣S△OCD列式计算即可．
【解答】解：如图所示，连接OD，设OA＝OB＝OD＝r，
由条件可知，
∴r＝12，
∴OA＝OD＝12，
∵C是OA中点，
∴，
∴，
∴∠COD＝60°，
∴，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△OCD
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了求不规则图形面积，弧长公式，解直角三角形，熟练掌握原式知识点是关键．
14．（2024秋 丹徒区期末）如图，已知⊙O的半径为10，现有正方形ABCD的边CD与⊙O相切，切点为E，且点A、B在⊙O上，则正方形ABCD的边长为 　16　 ．
【考点】切线的性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】16．
【分析】连接并延长EO交AB于点F，连接OB，由切线的性质得CD⊥OE，可证明四边AFED是矩形，则OF⊥AB，所以AF＝BFAB，设正方形ABCD的边长为m，则EF＝AD＝AB＝m，BFm，而OB＝OE＝10，所以OF＝m﹣10，由勾股定理得（m﹣10）2102，求得m＝16，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接并延长EO交AB于点F，连接OB，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴CD⊥OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝∠DEF＝90°，
∴四边AFED是矩形，
∴∠AFE＝90°，
∴OF⊥AB，
∴AF＝BFAB，
设正方形ABCD的边长为m，则EF＝AD＝AB＝m，BFm，
∵⊙O的半径为10，
∴OB＝OE＝10，
∴OF＝m﹣10，
∵∠OFB＝90°，
∴OF2+BF2＝OB2，
∴（m﹣10）2102，
解得m＝16或m＝0（不符合题意，舍去），
∴正方形ABCD的边长为16，
故答案为：16．
【点评】此题重点考查正方形的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（2025 北碚区）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，过点E作⊙O的切线，分别交DC，BA的延长线于点F和点G，连接BE交CD于点P，连接BD．若BD∥FG，，CD＝4，则PH＝ 　　 ，AG＝ 　　 ．
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】几何图形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】，．
【分析】连接OE、OD、AE，如图，设⊙O的半径为r，则OH＝r，根据垂径定理得到CH＝DH＝2，则利用勾股定理计算得BD，利用勾股定理得到方程（r）2+22＝r2，解方程得r，再根据切线的性质得到∠OEG＝90°，接着证明Rt△OEG∽Rt△DHB，利用相似三角形的性质得到OG，GE，所以AG，然后证明△GEA∽△GBE，则，最后证明△BPH∽△BAE得到，所以PHBH．
【解答】解：连接OE、OD、AE，如图，设⊙O的半径为r，则OH＝r，
∵AB⊥CD，
∴CH＝DHCD＝2，在Rt△OHD中，（r）2+22＝r2，
解得r，
在Rt△BDH中，∵BH，DH＝2，
∴BD，∵
GF为⊙O的切线，
∴OE⊥GF，
∴∠OEG＝90°，
∵BD∥FG，
∴∠G＝∠DBH，
∴Rt△OEG∽Rt△DHB，
∴，即，
解得OG，GE，
∴AG＝OG﹣OA，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠GEA+∠AEO＝90°，∠AEO+∠OEB＝90°，
∴∠GEA＝∠OEB，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠GEA＝∠OBE，
∵∠EGA＝∠BGE，
∴△GEA∽△GBE，
∴，
∵∠HBP＝∠EBA，∠BHP＝∠BEA，
∴△BPH∽△BAE，
∴，
∴，
∴BH．
故答案为：，．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和勾股定理．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 贵州）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于E，连接OA交BC于点D，连接AC，OC．
（1）求证∠ACE＝∠ABC；
（2）探究AC，BC与CD的数量关系，并说明理由；
（3）若tan∠DCO，CE＝6，求⊙O的半径．
【考点】圆的综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）AC，BC与CD的数量关系为AC2＝CD BC，理由见解析；（3）4．
【分析】（1）利用晕这就对了，等腰直角三角形的性质，圆的切线的性质定理和直角三角形的性质解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）过点A作AF⊥EC于点F，过点B作BG⊥OA于点G，利用直角三角形的边角关系定理得到tan∠DCO，设OD＝x，则OC＝3x，利用正方形的判定与性质得到OA＝OC＝AF＝FC＝3x，AC＝3x，AD＝OA﹣OD＝2x，利用（2）的结论求得BD，利用直角三角形的边角关系定理求得BG，AG，再利用相似三角形的判定与性质求得EF，最后利用EC＝EF+CF列出方程求得x值，则⊙O的半径＝OC＝3x＝4．
【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠OCA＝45°，
∴∠ACE＝∠ABC；
（2）解：AC，BC与CD的数量关系为AC2＝CD BC，理由：
由（1）知：∠ACE＝∠ABC，∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠ABC，
∵∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CD BC．
（3）解：过点A作AF⊥EC于点F，过点B作BG⊥OA于点G，如图，
∵tan∠DCO，∠AOC＝90°，
∴tan∠DCO，
设OD＝x，则OC＝3x，
∴CDx．
由（1）知：∠AOC＝90°，OC⊥EC，
∵AF⊥EC，
∴四边形AOCF为矩形，
∵OA＝OC，
∴四边形AOCF为正方形，
∴OA＝OC＝AF＝FC＝3x，
∴AC＝3x，AD＝OA﹣OD＝2x．
由（2）知：AC2＝CD BC，
∴，
∴BCx，
∴BD＝BC﹣CDx，
∵∠BGD＝∠AOC＝90°，
∴BG∥OC，
∴∠DBG＝∠DCO，
∴tan∠DBG＝tan∠DCO，
∵tan∠DBG，
∴，
设DG＝k，则BG＝3k，
∴BD，
∴k，
∴BGx，AG＝AD﹣DGx．
∵四边形AOCF为正方形，
∴OA∥CE，
∴∠BAG＝∠E，
∵∠BGA＝∠EFA＝90°，
∴△BGA∽△AFE，
∴，
∴，
∴EFx，
∴EC＝EF+CF3x＝6，
∴x．
∴⊙O的半径＝OC＝3x＝4．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
17．（2025 温江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，⊙O与边BC相切于点D，与AB，AC分别相交于点E，F，AD与OE相交于点G．
（1）求证：∠C＝∠ADE；
（2）若CF＝4，sinC，求⊙O的半径和DG的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）⊙O的半径为6；DG．
【分析】（1）连接OD，根据切线性质得∠ODB＝90°，则∠BDE+∠ODA+∠ADE＝90°，由弦切角定理得∠BDE＝∠BAD，根据OA＝OD得∠ODA＝∠OAD，进而得∠BAC+∠ADE＝90°，然后根据∠C+∠BAC＝90°即可得出结论；
（2）延长OE交CB的延长线于点P，过点O作OH∥BC交AD于点H，在Rt△ODC中，根据sinC，设OD＝3k，OC＝5k，则CD＝4k，进而得OA＝OD＝OF＝3k，CF＝2k，根据CF＝4，得k＝2，则⊙O的半径为6；再求出OC＝5k＝10，CD＝4k＝8，AC＝16，证明△ODC和△ABC相似，利用相似三角形性质得AB，CB，BD，则AD，证明∠P＝∠C得△OPC是等腰三角形，则PD＝CD＝8，再证明△AOH和△ACD相似，利用相似三角形性质得AH，OH＝3，则DH＝AD﹣AH，然后证明△OH和△PDG相似得，设HG＝3x，DG＝8x，则DH＝HG+DG＝11x＝3√5，由此求出x即可得出DG的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵⊙O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
即∠BDE+∠ODA+∠ADE＝90°，
由弦切角定理得：∠BDE＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠BAD+∠OAD+∠ADE＝90°，
即∠BAC+∠ADE＝90°，
在Rt△ABC中，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ADE；
（2）延长OE交CB的延长线于点P，过点O作OH∥BC交AD于点H，如图2所示：
∵OD⊥BC，
∴在Rt△ODC中，sinC，
设OD＝3k，OC＝5k，
由勾股定理得：CD4k，
∴OA＝OD＝OF＝3k，
∴CF＝OC﹣OF＝5k﹣3k＝2k，
∵CF＝4，
∴2k＝4，
解得：k＝2，
∴OA＝OD＝OF＝3k＝6，
故⊙O的半径为6；
∵OC＝5k＝10，CD＝4k＝8，
∴AC＝OA+OC＝6+10＝16，
∵OD⊥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，
∴OD∥AB，
∴△ODC∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB，CB，
∴BD＝CB﹣CD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD，
在Rt△PBE中，∠P+∠PEB＝90°，
∴∠PEB＝∠AEO，
∴∠P+∠AEO＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠AEO＝∠BAC，
∴∠P+∠BAC＝90°，
又∵∠C+∠BAC＝90°，
∴∠P＝∠C，
∴△OPC是等腰三角形，
∵OD⊥BC，
∴PD＝CD＝8，
∵OH∥BC，
∴△AOH∽△ACD，
∴，
由，得AH AC＝AD OA，
∴，
∴AH，
由，得：OH AC＝CD OA，
∴OH×16＝8×6，
∴OH＝3，
∴DH＝AD﹣AH，
∵OH∥BC，
∴△OHG∽△PDG，
∴，
设HG＝3x，DG＝8x，
∴DH＝HG+DG＝11x，
∴，
∴DG＝8x．
【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造相似三角形是解决问题的难点．
18．（2025 蜀山区二模）如图，BC是⊙O的直径，AB，AD与⊙O相切于点B，D，过点C作CE∥AD分别交AB，AO于E，F两点，连接CD．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）若⊙O的半径为，AD＝5，求AE的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）AE的长为2．
【分析】（1）连接OD，利用切线的性质定理和全等三角形的判定与性质得到∠AOB＝∠AODBOD，利用圆周角定理得到∠AOB＝∠BCD，再利用平行线的判定定理和平行四边形的判定定理解答即可；
（2）利用（1）的结论和全等三角形的性质定理得到∠BAO＝∠DAO，AB＝AD＝5，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理得到AE＝EF，利用平行四边形的性质定理得到FC＝AD＝5，设AE＝EF＝x，则BE＝AB﹣AE＝5﹣x，EC＝EF+FC＝5+x，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB，AD与⊙O相切于点B，D，
∴OB⊥AB，OD⊥AD，
∴∠ABO＝∠ADO＝90°，
在Rt△ABO和Rt△ADO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△ADO（HL），
∴∠AOB＝∠AODBOD，
∵∠BCDAOD，
∴∠AOB＝∠BCD，
∴AO∥CD，
∵CE∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：由（1）知：Rt△ABO≌Rt△ADO，
∴∠BAO＝∠DAO，AB＝AD＝5，
∵CE∥AD，
∴∠AFE＝∠DAO，
∴∠AFE＝∠BAO，
∴AE＝EF，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴FC＝AD＝5，
设AE＝EF＝x，则BE＝AB﹣AE＝5﹣x，EC＝EF+FC＝5+x，
∵⊙O的半径为，
∴BC＝2．
∵∠ABC＝90°，
∴BE2+BC2＝EC2，
∴，
∴x＝2．
∴AE的长为2．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
19．（2025 滨江区一模）已知，AB，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，且，连接BC，AD．
（1）如图1，若AB是⊙O的直径，求∠C的度数．
（2）如图2，求证：①CD＝CB．
②AE+AD＝BE．
【考点】圆的综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）60°；（2）①证明见解析；②证明见解析．
【分析】（1）连接AC，利用圆周角定理解答即可；
（2）①取的中点F，连接AC，AF，CF，利用圆周角定理得到∠ACE+∠CAE＝90°，可得CF为⊙O的直径，再利用垂径定理解答即可得出结论；
②在BE上取一点F，使EF＝AE，连接DF并延长交BC于点G，利用相等的垂直平分线的性质，垂直的定义和圆周角定理得到∠BGF＝∠CGD＝∠BEC＝∠AED＝90°，利用全等三角形的判定与性质和等式的性质得到BG＝DE，最后再利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）解：连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵，
∴∠BCD＝2∠ACD，
∴∠BCDBCD＝90°，
∴∠BCD＝60°．
∴∠C的度数为60°；
（2）证明：①取的中点F，连接AC，AF，CF，如图，
则．
∵，
∴，
∴∠ACD＝∠DCF＝∠BAF，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE+∠BAF＝90°，
∴∠CAF＝90°，
∴CF为⊙O的直径，
∵，
∴，
∴CD＝CB；
②在BE上取一点F，使EF＝AE，连接DF并延长交BC于点G，如图，
∵EF＝AE，CD⊥AB，
∴CD垂直平分AF，
∴AD＝DF，
∴∠A＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFG，
∴∠BFG＝∠A，
∵∠A+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠B，
∴∠B+∠BFG＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴∠BGF＝∠CGD＝∠BEC＝∠AED＝90°．
在△CDG和△CBE中，
，
∴△CDG≌△CBE（AAS），
∴CG＝CE，
∴CB﹣CG＝CD﹣CE，
∴BG＝DE．
在△ADE和△BFG中，
，
∴△ADE≌△BFG（ASA），
∴AD＝BF．
∵BE＝EF+BF，
∴AE+AD＝BE．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．（2025 双城区一模）△ABC内接于⊙O，F为上一点，连接OF、CF，OF交弦AB于点D，若∠ACF＝∠BCF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接AO，若AB＝AC，求证：AO⊥BC．
（3）在（2）的条件下，延长FO交⊙O于点E，过点F作FN⊥AC垂足为N，过点E作EM⊥AC垂足为M，若AN＝3cm，MN＝20cm，求DF的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）连接OA，OB，利用圆周角定理解答即可；
（2）连接OC，OB，利用全等三角形的判定与性质得到∠CAO＝∠BAO，再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可；
（3）过点O作OH⊥AC于H，利用垂径定理得到AH＝CH，利用平行线的判定定理和平行线分线段成比例定理MH＝HN，利用等式的性质得到AN＝CM＝3cm；连接AE，BE，OB，过E作EG⊥BC于点G，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到EG＝EM，连接EC，利用全等三角形的判定与性质求得AC＝26cm，BC＝BG﹣CG＝20cm；延长AO交BC于点P，利用勾股定理求得AP，设OB＝OA＝r，则OP＝24﹣r，利用勾股定理求得r值，OD则．
【解答】（1）证明：连接OA，OB，如图，
∵，
∴∠AOF＝2∠ACF，
∵，
∠BOF＝2∠BCF，
∵∠ACF＝∠BCF
∴∠AOF＝∠BOF，
∴；
（2）证明：连接OC，OB，如图，
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB（SSS），
∴∠CAO＝∠BAO，
∴AO⊥BC；
（3）解：过点O作OH⊥AC于H，如图，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
∵EM⊥AC，OH⊥AC，FN⊥AC，
∴EM∥OH∥FN，
∴，
∵OE＝OF，
∴MH＝HN．
∴CH﹣MH＝AH﹣NH，
即AN＝CM＝3cm．
连接AE，BE，OB，过E作EG⊥BC于点G，
由（1）知：∠AOF＝∠BOF，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线．
∴AE＝BE，
∵，
∴∠EAC＝∠EBC．
在△AEM和△BEG中，
，
∴△AEM≌△BEG（AAS），
∴EG＝EM，
连接EC，
在Rt△ECG和Rt△ECM中，
，
∴Rt△ECG≌Rt△ECM（HL），
∴CG＝CM＝3cm．
∵MN＝20cm，
∴BG＝AM＝23cm．
∴AC＝26cm，BC＝BG﹣CG＝20cm，
延长AO交BC于点P，
由（2）知：AO⊥BC，
∴∠APC＝90°，
∴cm．
∴AP24（cm），
设OB＝OA＝r，则OP＝24﹣r，
在Rt△BPO中，
∵OP2+BP2＝OB2，
∴（24﹣r）2+102＝r2，
∴，
∴OBcm．
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AD＝BDAB13cm，
∴OD，
∴．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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