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中考核心考点 图形的对称
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 江阴市二模）如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，将△DAE沿DE翻折得△DFE，点A的对应点是点F，直线AF与DE交于点H，与∠CDF的平分线交于点G，连接BG，下列说法：①DH＝GH；②∠AGB＝45°；③若连接CG，则CG⊥AG；④若正方形边长为2，E为AB的中点，则点C到直线AG的距离为1．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②④
2．（2025春 长安区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，，若点P是AD上一动点，作PN⊥AC于点N，则PC+PN的最小值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 鼓楼区二模）如图，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G．若∠AEF＝40°，则∠A′GC＝（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
4．（2025春 江北区二模）如图，在正方形ABCD中，点E是边CB的一点且BE：EC＝1：2，连接AE，将AB沿AE折叠至正方形内部，得到线段AF，延长AF交BC于点G，延长EF交DC于点H，若AB＝6，连接CF，DF，则DF的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 连江县二模）如图，点E在长方形纸片ABCD的边BC上，连接AE，将长方形的纸片沿AE折叠，点B落在点B′处，设∠ADB＝α，∠BAE＝β，当AB'∥BD时，α与β之间满足的数量关系为（　　）
A． B． C．α+β＝90° D．β﹣α＝45°
6．（2025春 永春县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形．如图，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 宜兴市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（　　）
A．4.2 B．4.8 C．5 D．4.5
8．（2025春 无锡二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，点D是与点B不重合的动点，以BD为一边作正方形BDEF，连接EC、FC，则BD+EC+FC的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
9．（2025春 宝安区二模）如图所示，长方形纸片ABCD中，∠1＝65°，现将长方形纸片沿AC折叠，使点B落在点B1处，B1C与AD交于点E；再将三角形EDC沿B1C折叠，使点D落在点D1处．则∠2的度数为（　　）
A．30° B．10° C．15° D．25°
10．（2025春 市北区二模）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，若△CEB′恰好为直角三角形，则CE的长为（　　）
A．1 B．3 C．1 或 D．1 或 3
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 宝安区二模）如图，已知△ABC中∠ACB＝120°，BC＝2，AC＝2BC，将△ABC沿高CE折叠，使点B落在AB边上的点B'处，再沿CF折叠，使点A落在CB'的延长线上的点A'处．则CF的长为 　 　 ．
12．（2025春 广州二模）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，点E、F分别是BC、DC上的动点，沿EF所在直线折叠△CEF，使点C落在BD上的点C'处，AB＝16，当△BEC'是直角三角形时，DF的值为 　 　 ．
13．（2025春 宁海县二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M，N分别为射线BE，BC上的动点，若BD＝8，则CM+MN的最小值为　 　 ．
14．（2025春 西安）小明从A点出发，走到水平直线l上P点，再回到到B点，若A、B到水平直线l的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则PA+PB最小值为　 　 ．
15．（2025 温江区二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，M是BC的中点，点P是CD上一动点，连接PA，PM，则PA+PM的最小值为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 江阴市二模）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．
（1）作边AB的中点D；
（2）作∠ABC的平分线BE，交AC边于点E；
（3）作点C关于直线BE的对称点F；
（4）直接写出DF的长为 　 　 ．
17．（2025春 武汉二模）（1）王芳同学把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形按如图（1）拼在一起，就得到了一个边长为 　 　 的大正方形．
（2）图（2）是由5个边长为1的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，拼成图（4）．
①拼成的正方形图（4）的面积为 　 　 ，边长为 　 　 ；
②仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长 　 　 ；
③能否在图（5）拼成的正方形中裁剪出一个边长为1：3面积为9的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．
18．（2025春 宜兴市二模）如图，已知长方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，D、E分别为OA、BC上的两点，将长方形OABC沿直线DE折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平．
（1）点D的坐标是 　 　 ，点E的坐标是 　 　 ，点F的坐标是 　 　 ；
（2）设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线D→A→B→C向终点C运动，运动时间为t秒，当S△PDE时，求t的值．
19．（2025春 越秀区二模）如图，直角坐标系中的网格由单位为1的正方形构成．
（1）写出A、B、C的坐标；
（2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为 ABCD，画出 ABCD，并直接写出D点的坐标．
（3）在x轴上是否存在一点P，使AP+DP的值最小．若存在，请在图中找出这个点，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
20．（2025春 和平区二模）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13．
（1）如图2，点E是边BC上一点，△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合，求CE的长；
（2）如图3，点F为斜边上AB上动点，连接CF，在点F的运动过程中，若△BCF为等腰三角形，请直接写出AF的长．
中考核心考点 图形的对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 江阴市二模）如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，将△DAE沿DE翻折得△DFE，点A的对应点是点F，直线AF与DE交于点H，与∠CDF的平分线交于点G，连接BG，下列说法：①DH＝GH；②∠AGB＝45°；③若连接CG，则CG⊥AG；④若正方形边长为2，E为AB的中点，则点C到直线AG的距离为1．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②④
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；展开与折叠；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】先由折叠的性质可得∠AHD＝90°，再由角平 分线的定义可得∠FDG＝∠CDG，进而证明∠HDG＝45°，则△DHG是等腰直角三角，即可判断①；证明A、D、G、B四点共圆，即可判断 ②；证明A、B、G、C四点共圆，即可判断③；由②可知∠DGH＝45°，再说明△DFG≌△DCG，可得∠CGF＝90°，即CG就是点C到直线AG的距离，根据锐角三角函数求出AH，DH，即可得出答案，判断④．
【解答】解：根据翻折可知∠ADE＝∠EDF，点A和点F关于DE对称，
∴∠AHD＝90°．
∵DG是∠CDF的平分线，
∴∠FDG＝∠CDG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠DAE＝∠ABC＝90°，AB＝AD，
∴∠HDG＝45°，
∴∠DGH＝∠HDG＝45°，
∴DH＝GH．
故①正确；
如图1，连接BD，
∵四边形是正方形，∠DGH＝45°，
∴∠ABD＝∠AGD＝∠ADB＝45°，
∴A、D、G、B四点共圆，
∴∠AGB＝∠ADB＝45°，
故②正确；
如图1，连接AC，
∵∠ACB＝∠AGB＝45°，
∴A、B、G、C四点共圆，
∴∠AGC＝∠ABC＝90°，
∴CG⊥AG，
故③正确；
由②可知∠DGH＝45°，
在△DFG和△DCG中，
，
∴△DFG≌△DCG（SAS），
∴∠DGF＝∠CGD＝45°，
∴∠CGF＝90°，即CG就是点C到直线AG的距离．
∵AD＝2，AE＝1，
∴DE，
∴sin∠ADE，cos∠ADE，
在Rt△ADH中，sin∠ADH，cos∠ADH，
∴AH，，
∴FHHG，
∴CG＝FG，
故④不正确．
综上所述，正确的是①②③，
故选：B．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，合理构造全等三角形是解题的关键．
2．（2025春 长安区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，，若点P是AD上一动点，作PN⊥AC于点N，则PC+PN的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】作CE⊥AB于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在直角△ACE中利用三角函数求解．
【解答】解：作CE⊥AB于点E．连接PE，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PN＝PE，
∴PN+PC＝PE+PC≥EC，
当CE⊥AB时，PN+PC最短，即为CE的长度，
在直角△ACE中，CE＝AC sin∠BAC．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，角平分线的定义，根据角的平分线的性质理解CE的长是PN+PC的最小值是解答本题的关键．
3．（2025春 鼓楼区二模）如图，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G．若∠AEF＝40°，则∠A′GC＝（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】A
【分析】利用翻折变换的性质以及平行线的性质求解．
【解答】解：由翻折变换的性质可知∠AEF＝∠A′EF＝40°，
∴∠GEB＝180﹣°﹣40°﹣40°＝100°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠A′GC＝∠GEB＝100°．
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握翻折变换的性质．
4．（2025春 江北区二模）如图，在正方形ABCD中，点E是边CB的一点且BE：EC＝1：2，连接AE，将AB沿AE折叠至正方形内部，得到线段AF，延长AF交BC于点G，延长EF交DC于点H，若AB＝6，连接CF，DF，则DF的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】A
【分析】如图，连接AH交DF于点O．证明Rt△AHD≌Rt△AHF（HL），推出DH＝HF，设DH＝HF＝x，利用勾股定理构建方程求出x可得结论．
【解答】解：如图，连接AH交DF于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵BE：EC＝1：2，
∴BE＝2，EC＝4，
由翻折变换的性质可知AB＝AF，BE＝EF＝2，∠B＝∠AFE＝∠AFH＝90°，
∴AD＝AF，
∵∠ADH＝∠AFH，AH＝AH，
∴Rt△AHD≌Rt△AHF（HL），
∴DH＝HF，设DH＝HF＝x，
在Rt△ECH中，则有（2+x）2＝42+（6﹣x）2，
解得x＝3，
∴DH＝3，
∴AH3，
∵AD＝AF，HD＝HF，
∴AH垂直平分线段DF，
∴OD＝OF，
∴DF＝2．
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质．
5．（2025春 连江县二模）如图，点E在长方形纸片ABCD的边BC上，连接AE，将长方形的纸片沿AE折叠，点B落在点B′处，设∠ADB＝α，∠BAE＝β，当AB'∥BD时，α与β之间满足的数量关系为（　　）
A． B． C．α+β＝90° D．β﹣α＝45°
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】利用矩形的性质，平行线的性质，翻折变换的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝90°﹣β，
∵AB′∥BD，
∴∠DAB′＝∠ADB＝α，
∵∠EAB＝∠EAB′＝β，
∴β＝α+90°﹣β，
∴βα＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
6．（2025春 永春县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形．如图，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设AB＝2a，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得BC、AC的值，再由等边三角形的性质证得∠EAC＝90°，然后由折叠的性质知DE＝CE，设DE＝CE＝x，由勾股定理求出EC的长，最后由锐角三角函数的定义即可得出结果．
【解答】解：设AB＝2a，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝a，ACa，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝2a，∠DAB＝60°，
∴∠EAC＝60°+30°＝90°，
由折叠的性质得：DE＝EC，
设DE＝EC＝x，则AE＝2a﹣x，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2+AC2＝EC2，
即（2a﹣x）2+（a）2＝x2，
解得：xa，
∴ECa，
∴cos∠ACE，
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
7．（2025春 宜兴市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（　　）
A．4.2 B．4.8 C．5 D．4.5
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】延长AC到点M，使CM＝AC，则BC是线段AM的垂直平分线，连接BM，过点M作ME′⊥AB交D′，连接AD′，根据线段垂直平分线的性质可得：AD′+D′E′＝MD′+D′E′，根据垂线段最短，可知当ME′⊥AB时，AD′+D′E′的值最小，利用三角形的面积公式求出ME′的长度即为AD′+D′E′的最小值．
【解答】解：如图所示，延长AC到点M，使CM＝AC，连接BM，过点M作ME′⊥AB交D′，连接AD′，点 D′即为使得AD+DE取最小值的点，
由条件可知BC是AM的垂直平分线，AM＝2AC＝6，
∴AD′＝D′M，
∴AD′+D′E′＝MD′+D′E′，
∴，
，
解得：ME′＝4.8．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是关键．
8．（2025春 无锡二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，点D是与点B不重合的动点，以BD为一边作正方形BDEF，连接EC、FC，则BD+EC+FC的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出AD＝CF，进而解答即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，如图，连接AD，CF，CE，
∵四边形BDEF是正方形，
∴BD＝BF，∠DBF＝90°，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBF﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBF，
在△ABD与△CBF中，
，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴AD＝CF，
∵BD+EC+FC＝DE+EC+AD，
当A、D、E、C在同一直线上时，BD+EC+FC最小即为AC，
∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，
∴AC，
∴BD+EC+FC最小即为，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质定理，勾股定理，等腰直角三角形正方形的性质，解答本题的关键是根据SAS证明△ABD与△CBF全等．
9．（2025春 宝安区二模）如图所示，长方形纸片ABCD中，∠1＝65°，现将长方形纸片沿AC折叠，使点B落在点B1处，B1C与AD交于点E；再将三角形EDC沿B1C折叠，使点D落在点D1处．则∠2的度数为（　　）
A．30° B．10° C．15° D．25°
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；矩形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】求出∠ACB＝90°﹣65°＝25°，由折叠大的性质得到∠ACB1＝∠ACB＝25°，∠DCE＝∠D1CE，求出∠DCE＝40°，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠1＝90°﹣65°＝25°，
由折叠大的性质得到：∠ACB1＝∠ACB＝25°，∠DCE＝∠D1CE，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠ACB﹣ACB1＝90°﹣25°﹣25°＝40°，
∴∠2＝∠D1CE﹣∠ACB1＝40°﹣25°＝15°．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，矩形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2025春 市北区二模）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，若△CEB′恰好为直角三角形，则CE的长为（　　）
A．1 B．3 C．1 或 D．1 或 3
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】分为两种情况，当∠CB′E＝90°和∠CEB′＝90°时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，当∠CB′E＝90°时，
在矩形ABCD中，，
∵把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB′＝AB＝3，B′E＝BE，则点B′在AC上，
∴B′C＝AC﹣AB′＝2，
设BE＝x，则：CE＝4﹣x，B′E＝BE＝x
在Rt△B′CE中，由勾股定理可得：x2+22＝（4﹣x）2，
解得：，
∴，则，
如图，当∠CEB′＝90°时，
∴∠BEB′＝90°，
∵把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠ABE＝90°，B′E＝BE，
∴四边形ABEB′为正方形，
∴BE＝B′E＝AB＝3，则CE＝1，
综上，或1，
故选：C．
【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是分两种情况考虑，画出对应图形．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 宝安区二模）如图，已知△ABC中∠ACB＝120°，BC＝2，AC＝2BC，将△ABC沿高CE折叠，使点B落在AB边上的点B'处，再沿CF折叠，使点A落在CB'的延长线上的点A'处．则CF的长为 　　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】如图，过点A作AJ⊥BC交BC的延长线于点J．证明CF＝2CE，利用面积法求出CE即可．
【解答】解：如图，过点A作AJ⊥BC交BC的延长线于点J．
∵BC＝2，AC＝2BC，
∴AC＝4，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACJ＝60°，
∵∠J＝90°，
∴∠JAC＝30°，
∴CJAC＝2，
∴AJ2，
∴BJ＝4，
∴AB2，
由翻折变换的性质可知CE⊥BB′，∠BCE＝∠ECB′，∠ACF＝∠A′CF，
∴∠FCE∠ACB＝60°，
∴∠CFE＝30°，
∴CF＝2CE，
∵ BC AJ AB CE，
∴CE，
∴CF＝2CE．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握翻折变换的性质．
12．（2025春 广州二模）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，点E、F分别是BC、DC上的动点，沿EF所在直线折叠△CEF，使点C落在BD上的点C'处，AB＝16，当△BEC'是直角三角形时，DF的值为 　24﹣8或　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】24﹣8或．
【分析】由等边三角形的性质可得∠DBC＝30°，分∠BEC'＝90°，∠BC'E＝90°两种情况讨论，由直角三角形的性质可求BC'的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC＝30°，
∵折叠，
∴CE＝C'E，
若∠BEC'＝90°，且∠C'BE＝30°，
∴BEC'E，BC'＝2C'E，
且BE+CE＝BC＝16，
∴CE+CE＝16，
∴CE＝88＝C'E，
∴BC'＝16﹣16，BE＝24﹣8．
若∠BC'E＝90°，∠C'BE＝30°，
∴BE＝2C'E，BC'C'E，
且BE+CE＝BC＝16，
∴CEC'E，
∴BE，
故答案为：24﹣8或．
【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
13．（2025春 宁海县二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M，N分别为射线BE，BC上的动点，若BD＝8，则CM+MN的最小值为　4　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】4．
【分析】如图，作N关于BE的对称点N′，则MN＝MN′，当C，M，N′三点共线时最短即CN′，当CN′⊥BF时最短，过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，即N′与F点重合时最短，过点D作DG⊥BC于点G，根据等面积法求得CF，即可求解．
【解答】解：如图，作N关于BE的对称点N′，过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，过点D作DG⊥BC于点G，
∴MN＝MN′，当C，M，N′三点共线时CM+MN最小即CN′，
∵当CN′⊥BF时，CN′最短，
∴CF即为所求，
∵DG⊥BC，Rt△ABC是等腰直角三角形，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DG，
∵AC＝AB，
设AD＝a，则，
在直角三角形ABD中，，
由勾股定理得：BD2＝AD2+AB2，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴
＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形，作出辅助线是解题的关键．
14．（2025春 西安）小明从A点出发，走到水平直线l上P点，再回到到B点，若A、B到水平直线l的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则PA+PB最小值为　5　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【答案】5．
【分析】首先作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时AP+PB最小；然后可得AP+PB的最小值＝A′B，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
【解答】解：A、B到水平直线l的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，如图，作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时AP+PB最小；
由题意得：PA＝PA′，
∴AP+PB＝PA′+PA＝A′B，
过点B作BC⊥AA′于点C，
则OA′＝OA＝2，OC＝1，BC＝4，
∴A′C＝OA′+OC＝2+1＝3，
∴，
∴AP+PB最小值＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，解答本题的关键是准确找到点P的位置．
15．（2025 温江区二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，M是BC的中点，点P是CD上一动点，连接PA，PM，则PA+PM的最小值为　4　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】4．
【分析】根据题意，作点A关于CD的对称点N，然后根据两点之间线段最短，可知AN就是PA+PM的最小值，推导出△ABM≌△ADE（AAS），求得AM＝AE＝2，进而推导出AN的值．
【解答】解：如图，作点M关于CD的对称点N，连接AN，交CD于点E，则AN就是PA+PM的最小值，连接AM，AC，
∴AN⊥CD，AN＝2AE，
在菱形ABCD 中，AB＝4，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABC是等边三角形，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴△ABM≌△ADE（AAS），AMAB＝2，
∴AE＝AM＝2，
∴AN＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 江阴市二模）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．
（1）作边AB的中点D；
（2）作∠ABC的平分线BE，交AC边于点E；
（3）作点C关于直线BE的对称点F；
（4）直接写出DF的长为 　3　 ．
【考点】作图﹣轴对称变换；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）见解答；
（4）3．
【分析】（1）作AB的中垂线即可；
（2）根据作角的平分线的基本作法作图；
（3）根据等腰三角形的性质作图；
（4）根据中点的定义及线段的和差求解．
【解答】解：（1）如图：D即为所求；
（2）BE即为所求；
（3）点F即为所求；
（4）∵D为AB的中点，
∴BDAB＝5，
由作图得：BF＝BC＝8，
∴DF＝BF﹣BD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了轴对称变换，掌握常见的基本作图和等腰三角形的性质是解题的关键．
17．（2025春 武汉二模）（1）王芳同学把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形按如图（1）拼在一起，就得到了一个边长为 　　 的大正方形．
（2）图（2）是由5个边长为1的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，拼成图（4）．
①拼成的正方形图（4）的面积为 　5　 ，边长为 　　 ；
②仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长 　　 ；
③能否在图（5）拼成的正方形中裁剪出一个边长为1：3面积为9的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．
【考点】图形的剪拼；正方形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）；
（2）①5，；②见解析，；③不能，理由见解析．
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题；
（2）①理由数形结合的思想解决问题；
②作一个边长为的正方形即可；
③不能，设长方形的边长分别为x，3x．构建方程求出x，即可判断．
【解答】解：（1）王芳同学把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形按如图（1）拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形．
故答案为：；
（2）图（2）是由5个边长为1的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，拼成图（4）．
①拼成的正方形图（4）的面积为5，边长为；
故答案为：5，；
②图形如图所示拼成的正方形边长；
故答案为：；
③不能．
理由：设长方形的边长分别为x，3x．
则有3x2＝9，
∴x，
∵3x＝3，
∴不能裁剪出一个边长为1：3面积为9的长方形．
【点评】本题考查图形的拼剪，正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2025春 宜兴市二模）如图，已知长方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，D、E分别为OA、BC上的两点，将长方形OABC沿直线DE折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平．
（1）点D的坐标是 　（3，0）　 ，点E的坐标是 　（5，4）　 ，点F的坐标是 　（，）　 ；
（2）设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线D→A→B→C向终点C运动，运动时间为t秒，当S△PDE时，求t的值．
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）（3，0），（5，4），（，）；
（2）t的值为2.5或9.5或14.5．
【分析】（1）设OD＝m，则AD＝8m，利用勾股定理求出m，可得点D坐标，再证明CD＝CE＝5，可得点E坐标，作FH⊥BC于点H，利用面积法求出FH，可得点F的坐标；
（2）分四种情形分别求解即可．
【解答】解：（1）∵OA＝8，OC＝4，
∴B（8，4），
设OD＝m，则AD＝8m，
根据翻折的性质可得CD＝AD＝16﹣m，∠ADE＝∠CDE，
∵OC2+OD2＝CD2，
∴42+m2＝（8﹣m）2，
解得m＝3，
∴D（3，0），CD＝AD＝8﹣m＝5，
∵BC∥OA，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD＝5，
∴E（5，4），
过点F作FH⊥CE于点H．
∵△CEF的面积CF×EFCE×FH，
∴FH，
∴CH，
∴F（，）．
故答案为：（3，0），（5，4），（，）；
（2）当点P在线段DA上，DP时，满足条件，
此时t＝2.5．
当点P在AB上，△PDE的面积的最小值3×4＝6＞5，不满足条件，
当点P在线段BE上，BP＝0.5时，满足条件，此时t＝5+4+0.5＝9.5．
当点P在线段EC上时，EP＝2.5时，满足条件，此时t＝5+4+5.5＝14.5．
综上所述，满足条件的t的值为2.5或9.5或14.5．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19．（2025春 越秀区二模）如图，直角坐标系中的网格由单位为1的正方形构成．
（1）写出A、B、C的坐标；
（2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为 ABCD，画出 ABCD，并直接写出D点的坐标．
（3）在x轴上是否存在一点P，使AP+DP的值最小．若存在，请在图中找出这个点，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）A（2，3），B（﹣2，0），C（0，﹣1）；
（2）见解析，D（4，2）；
（3）见解析，．
【分析】（1）根据A，B，C的位置写出坐标即可；
（2）根据平行四边形的判定画出平行四边形ABCD即可；
（3）作点D关于x轴的对称点D′，连接AD′交x轴于点P，连接PD，求出AD′即可．
【解答】解：（1）A（2，3），B（﹣2，0），C（0，﹣1）；
（2）如图，四边形ABCD即为所求，D（4，2）；
（3）如图，点P即为所求，PA+PD的最小值＝AD′．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标与图形性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（2025春 和平区二模）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13．
（1）如图2，点E是边BC上一点，△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合，求CE的长；
（2）如图3，点F为斜边上AB上动点，连接CF，在点F的运动过程中，若△BCF为等腰三角形，请直接写出AF的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）；
（2）1或．
【分析】（1）根据勾股定理可得BC＝12，设CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝12﹣x，由翻折可得DE＝CE＝x，AD＝AC＝5，∠EDA＝∠C＝90°，所以BD＝AB﹣AD＝8，然后利用勾股定理列出方程即可解决问题；
（2）分两种情况：①当BC＝BF＝12时，②当CF＝BF时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝5，AB＝13，
∴BC12，
设CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝12﹣x，
由翻折可知：DE＝CE＝x，AD＝AC＝5，∠EDA＝∠C＝90°，
∴BD＝AB﹣AD＝13﹣5＝8，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：
BE2＝BD2+DE2，
∴（12﹣x）2＝82+x2，
解得x，
∴CE；
（2）若△BCF为等腰三角形，分两种情况：
①当BC＝BF＝12时，
∴AF＝AB﹣BF＝13﹣12＝1；
②当CF＝BF时，
∴∠B＝∠FCB，
∵∠B+∠A＝∠FCB+∠FCA＝90°，
∴∠FCA＝∠A，
∴CF＝AF，
∴CF＝AF＝BF，
∵AF＝AB﹣BF＝13﹣AF，
∴AF．
综上所述：AF的长为1或．
【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
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