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中考核心考点 图形的旋转
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 江阴市二模）如图，正方形ABCD的边长为，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论有几个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025春 市北区二模）如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（　　）
A．30° B．50° C．60° D．70°
3．（2025春 太原二模）《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025 南山区二模）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025春 青岛二模）如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，若AB＝2，CD＝5，∠ADE＝90°，则BC的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．（2025 高新区）如图，平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，1），，将△ABC绕点A顺时针旋转，每秒旋转45°，则第86秒旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025 西城区一模）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．正三角形 B．矩形
C．圆 D．菱形
8．（2025 西城区一模）如图，等边△ABC的边长为1，将边AC，BA，CB分别绕点A，B，C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AC1，BA1，CB1，连接A1B1，A1C1，B1C1.对△A1B1C1给出下面三个结论：
①对任意α都有△A1B1C1是等边三角形；
②存在唯一一点到点A1，B1，C1的距离相等；
③当α＝120°时，△A1B1C1的周长是．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2025春 南京二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'．若BC′∥AB，∠B'AC＝16°，则旋转角α（0°＜α＜90°）的度数为（　　）
A．16° B．32° C．36° D．37°
10．（2025春 苏州二模）如图，△DEF是由△ABC绕着点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（　　）
A．∠COF＝∠BOE B．∠BAC＝∠EDF C．OC＝OF D．BC＝DF
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 莲湖区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，D是直角边AC上的一个动点，连接BD，以BD为边向外作等边△BDE，连接CE．在点D运动的过程中，线段CE的长的最小值为　 　 ．
12．（2025春 杨浦区三模）如图，在等腰△ABC中，底边BC的中点是D，底角的正切值是，将该等腰三角形绕其腰AC上的中点M顺时针旋转，使旋转后的点D与A重合，得到△A′B′C′，若旋转后的底边B′C′与BC交于点N，则cos∠ANB＝　 　 ．
13．（2025春 天山区三模）如图，点O为直线AB上一点，一副三角板如图摆放，其中∠C＝∠DOC＝45°，∠M＝30°，∠N＝60°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当∠AOM的度数是 　 　 时，直线MN与直线OC互相平行．
14．（2025 綦江区一模）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，8），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为 　 　 ．
15．（2025 高新区）平面内，对于图形M与点P，给出如下定义：图形M绕点P逆时针旋转90°得到图形N，若图形N与图形M有重叠，则称图形M关于点P“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB的端点分别是A（0，3），B（1，0）．若以C（3，0）为圆心，r为半径的⊙C上存在点P，使线段AB关于点P“逆垂相关”，则r的取值范围是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 西城区三模）在平面直角坐标系xOy中，图形G和图形W的“中位形”的定义如下：点P是图形G上任意一点，点Q是图形W上任意一点，取PO中点M，取QO中点N，由所有线段MN所组成的图形叫做图形G和图形W的“中位形”．（当两个点重合时，连接这两点的线段和线段的中点都视为此点）
已知点A（4，0）、点B（0，2）．
（1）点A和点B的“中位形”的长度是　 　 ；
（2）已知点H（a，0），若点H和线段AB的“中位形”面积为2，求a的值．
（3）已知点E（10，0）、点F（0，﹣10），以线段AB为边作两条对角线都在坐标轴上的菱形ABCD．将菱形ABCD沿着直线y＝x平移得到菱形A′B′C′D′，设菱形A′B′C′D′的对角线交点坐标为（t，t）．若线段EF和菱形A′B′C′D′的“中位形”与菱形ABCD有公共点，直接写出t的取值范围．
17．（2025 沙坪坝区）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，将点A绕点D顺时针旋转90°得点E，连接AE，DE．
（1）如图1，点D在△ABC的内部，连接CD，点E恰好在CD上．若AE＝CE，求∠DAB的度数；
（2）如图2，点D在点A的右上方，连接BE，CE，点D恰好在CE上，延长DA交BE于点F，点G是AC的中点，连接FG，求证：；
（3）如图3，连接EC，∠AEC＝90°，将线段AD沿AC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到线段AM，点M为点D的对应点，连接BM，当BM取得最大值时，请直接写出此时的值．
18．（2025 历下区二模）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在边AC上（点D不与点A，点C重合），连接BD并将BD绕点D逆时针旋转90°得到DE．
（1）如图1，连接CE．
①CE与BC的位置关系为　 　 ，∠ABD与∠CED的数量关系是　 　 ；
②请用等式表示BC，CD和CE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，将△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′E，若A′E的最小值为2，求AB的长．
19．（2025春 重庆二模）在平面直角坐标系中，点O为原点，点B（0，﹣4）是y轴负半轴上一点，将点B向右平移6个单位得到点A．
（1）点A的坐标为 　 　 ；
（2）如图2，动点F从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，当点F运动到点B时，停止运动．设点F运动时间为t秒，用含t的式子表示F点的坐标；当t为何值时，△OBF的面积为6？求出此时点F的坐标；
（3）过点F作直线EF交x轴正半轴于E，交线段OA于D，若∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N，∠ODF＝α，请用含α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．
20．（2025春 沙坪坝区三模）综合与实践．
问题情境：
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC所在的平面内运动．探究图形间存在的关系．
特例探究：
（1）如图1，当点D在边AB上运动，连接CD，以CD为边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，发现BE⊥AB，请说明理由；
求异探究：
（2）如图2，点E为AC的中点，点F为AB的中点，△AEF为等腰直角三角形，点D在△ABC外部时，连接ED，以ED为边在其右侧作等腰直角三角形EDH，连接DF和CH，判断DF与CH的关系，并证明；
拓展应用：
（3）如图3，当点D在直线AC上时，连接BD，在线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连接AE．若CD＝6，AE＝10，求△ABD的面积．
中考核心考点 图形的旋转
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 江阴市二模）如图，正方形ABCD的边长为，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论有几个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】旋转的性质；三角形的面积；全等三角形的判定；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题；翻折变换（折叠问题）．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据SAS证明三角形全等即可①正确；过点D作DT⊥CA1于点T，证明∠ADE+∠CDT＝45°，∠CDT＝∠BCA1即可判断②正确；连接PA，AC．因为A，A1关于DE对称，推出PA＝PA1，推出，可得结论③错误；过点A1作A1H⊥AB于点H，求出EB，A1H，可得结论④错误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠A1BA2＝∠ABC＝90°，
∴∠ABA1＝∠CBA2，
∵BA1＝BA2，
∴△ABA1 △CBA2（SAS），故①正确；
过点D作DT⊥CA1于点T，
∵CD＝DA1，
∴∠CDT＝∠A1DT，
∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDT＝45°，
∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，
∴∠CDT＝∠BCA1，
∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确；
连接PA，AC，
∵A，A1关于DE对称，
∴PA＝PA1，
∴，
∴PA1+PC的最小值为，故③错误；
过点A1作A1H⊥AB于点H，
∵∠ADE＝30°，
∴，
∴，
∵∠A1EB＝60°，
∴，
∴，故④错误；
故选：B．
【点评】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，解直角三角形，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．（2025春 市北区二模）如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（　　）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【考点】生活中的旋转现象．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】C
【分析】将圆心角360°分为12份求出2份即可得到答案．
【解答】解：将圆心角360°分为12份求出2份的度数为：360°÷12×2＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查钟面圆心角的求法，解题的关键是知道钟面刻度将圆心角分为了12份．
3．（2025春 太原二模）《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2025 南山区二模）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5．（2025春 青岛二模）如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，若AB＝2，CD＝5，∠ADE＝90°，则BC的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【考点】中心对称．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据中心对称的性质可得AD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADE＝90°，据此可得BD＝4，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△ADE关于点A成中心对称，
∴AD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADE＝90°，
∴BD＝AD+AB＝4，
∴BC3．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称以及勾股定理，掌握中心对称的性质是解答本题的关键．
6．（2025 高新区）如图，平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，1），，将△ABC绕点A顺时针旋转，每秒旋转45°，则第86秒旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】规律型；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】由题意得，每旋转8秒△ABC回到原来位置，则第86秒旋转结束时△ABC的位置与第6秒旋转结束时△ABC的位置相同，结合旋转的性质可得答案．
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转，每秒旋转45°，
∴每旋转8秒△ABC回到原来位置．
∵86＝8×10+6，
∴第86秒旋转结束时△ABC的位置与第6秒旋转结束时△ABC的位置相同．
如图，第6秒旋转结束时△ABC旋转到△AB6C6的位置，
∵6×45°＝270°，
∴AC6⊥x轴．
∵A（﹣1，0），，
∴AC．
由旋转得，AC6＝AC，
∴C6（﹣1，），
∴第86秒旋转结束时，点C的坐标为（﹣1，）．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
7．（2025 西城区一模）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．正三角形 B．矩形
C．圆 D．菱形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要查了轴对称图形和中心对称图形．熟练掌握两者定义是关键．
8．（2025 西城区一模）如图，等边△ABC的边长为1，将边AC，BA，CB分别绕点A，B，C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AC1，BA1，CB1，连接A1B1，A1C1，B1C1.对△A1B1C1给出下面三个结论：
①对任意α都有△A1B1C1是等边三角形；
②存在唯一一点到点A1，B1，C1的距离相等；
③当α＝120°时，△A1B1C1的周长是．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】先证△BAA1≌△CBB1（SAS），再证△AA1C1≌△BB1A1≌△CC1B1，据此一一判断选项即可．
【解答】解：连接AA1、BB1、CC1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴BA1＝AC1，
在△BAA1和△CBB1中，
，
∴△BAA1≌△CBB1（SAS），
∴AA1＝BB1，∠BAA1＝∠BCB1，
同理可得AA1＝BB1＝CC1，∠BAA1＝∠BCB1＝∠CAC1，
∴∠A1AC1＝∠B1BA1，
在△AA1C1和△BB1A1中，
，
∴△AA1C1≌△BB1A1（SAS），
同理可证△AA1C1≌△BB1A1≌△CC1B1，
∴A1B1＝A1C1＝B1C1，
故△A1B1C1是等边三角形，故①对；
∵△A1B1C1是等边三角形，
∴△ABC外心O也为△A1B1C1外心，
∴存在一点到点A，C1的距离相等，故②对；
当α＝120°时，则A1、B、C共线，
∴A1B＝1，BC1＝2，
如图，过C1作C1G⊥A1B于点G，
则∠C1BG＝60°，
∴BG＝BC1 cos60°＝1，C1G＝BC1 sin60°，
∴A1G＝2，
∴A1C1，
∴，故③对，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．（2025春 南京二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'．若BC′∥AB，∠B'AC＝16°，则旋转角α（0°＜α＜90°）的度数为（　　）
A．16° B．32° C．36° D．37°
【考点】旋转的性质；平行线的性质；直角三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′，由BC′∥AB得到∠BAB′＝∠CAC′（90°﹣16°）＝37°，据此解答即可．
【解答】解答解：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵BC′∥AB，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B'AC＝16°，
∴∠BAB′＝∠CAC′（90°﹣16°）＝37°，
∴旋转角α（0°＜α＜90°）的度数为37°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．
10．（2025春 苏州二模）如图，△DEF是由△ABC绕着点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（　　）
A．∠COF＝∠BOE B．∠BAC＝∠EDF C．OC＝OF D．BC＝DF
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；数感；推理能力．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵△DEF是由△ABC绕着点O旋转得到的，
由旋转的性质得：∠COF＝∠BOE，∠BAC＝∠EDF，OC＝OF，BC＝EF，
故A，B，C选项正确，不符合题意；
由已知条件无法得到BC＝DF，
故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 莲湖区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，D是直角边AC上的一个动点，连接BD，以BD为边向外作等边△BDE，连接CE．在点D运动的过程中，线段CE的长的最小值为　1　 ．
【考点】旋转的性质；垂线段最短；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】1．
【分析】延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF，由∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，可得：，∠ABF＝60°，证明△ABF是等边三角形，得到∠AFB＝60°，结合△BDE是等边三角形，可证明△FBE≌△ABD，得到∠BFE＝∠BAD＝30°，推出∠AFE＝90°，得到点E在经过点F且与AF垂直的射线FE上运动，作CH⊥FE交射线FE于点H，则∠CHE＝90°，得到，由CE≥CH可得CE≥1，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，如图，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF，
∴，∠ABF＝90°﹣∠BAC＝60°，
∴BF＝2BC＝4，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠AFB＝60°，
∵△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，
∴∠FBE＝∠ABD＝60°﹣∠DBF，
在△FBE和△ABD中，
，
∴△FBE≌△ABD（SAS），
∴∠BFE＝∠BAD＝30°，
∴∠AFE＝∠AFB+∠BFE＝90°，
∴点E在经过点F且与AF垂直的射线FE上运动，作CH⊥FE交射线FE于点H，则∠CHE＝90°，
∴，
∵CE≥CH，
∴CE≥1，
∴CE的最小值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线．
12．（2025春 杨浦区三模）如图，在等腰△ABC中，底边BC的中点是D，底角的正切值是，将该等腰三角形绕其腰AC上的中点M顺时针旋转，使旋转后的点D与A重合，得到△A′B′C′，若旋转后的底边B′C′与BC交于点N，则cos∠ANB＝　　 ．
【考点】旋转的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】统计与概率；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】．
【分析】根据题意连接AD，A′A，再得到∠B＝∠C，再利用旋转性质可得∠ANB＝∠MAN+∠C＝2∠C，再利用正切值可设A′A＝2x，C′D＝6x，再取A′A中点E，连接ME，过点A′作A′F⊥AM于F，继而得到本题答案．
【解答】解：在等腰△ABC中，底边BC的中点是D，底角的正切值是，如图，连接AD，A′A，
，
∴∠B＝∠C，
将该等腰三角形绕其腰AC上的中点M顺时针旋转，使旋转后的点D与A重合，得到△A′B′C′，
∴，∠C＝∠C′，
∴∠MAC′＝∠C＝∠C′，
∴∠ANB＝∠MAN+∠C＝2∠C，
∵，
∴，
设A′A＝2x，C′A＝6x，
∴，，
∴，
取A′A中点E，连接ME，过点A′作A′F⊥AM于F，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．
13．（2025春 天山区三模）如图，点O为直线AB上一点，一副三角板如图摆放，其中∠C＝∠DOC＝45°，∠M＝30°，∠N＝60°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当∠AOM的度数是 　75°或105°　 时，直线MN与直线OC互相平行．
【考点】旋转的性质；平行线的判定；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】75°或105°．
【分析】根据MN在OC左边或右边分别画出图形，利用平行线的性质得到∠COM的度数，再求出∠AOM的度数即可．
【解答】解：当MN在OC右边时，如图，
∵MN∥OC，
∴∠M＝∠COM＝30°，
∵∠DOC＝∠C＝45°，
∴∠AOM＝∠COM+∠DOC＝75°；
当MN在OC左边时，如图，
∵MN∥OC，
∴∠M+∠COM＝180°，
∵∠M＝30°，
∴∠COM＝150°，
∵∠DOC＝∠C＝45°，
∴∠AOM＝∠COM﹣∠DOC＝105°；
综上所述，当∠AOM的度数是75°或105°时，直线MN与直线OC互相平行，
故答案为：75°或105°．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（2025 綦江区一模）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，8），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为 　　 ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】．
【分析】过点C作x轴的垂线，证得△AOB≌△CMA（AAS），推导出AO＝CM，BO＝AM，得到OM＝14，CM＝6．在Rt△COM中，利用勾股定理求得OC即可．
【解答】解：将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，如图，过点C作x轴的垂线，垂足为M，
∴∠BAC＝90°，∠BOA＝∠CMA＝90°，AB＝AC，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠CAM＝∠OBA，
在△AOB和△CMA中，
，
∴△AOB≌△CMA（AAS），
∴AO＝CM，BO＝AM，
又∵A（6，0），B（0，8），
∴CM＝AO＝6，AM＝BO＝8，
∴OM＝14，CM＝6．
在Rt△COM中，由勾股定理得：．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，勾股定理，全等三角形的判定与性质，通过全等三角形求出OM＝14，CM＝6是解题的关键．
15．（2025 高新区）平面内，对于图形M与点P，给出如下定义：图形M绕点P逆时针旋转90°得到图形N，若图形N与图形M有重叠，则称图形M关于点P“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB的端点分别是A（0，3），B（1，0）．若以C（3，0）为圆心，r为半径的⊙C上存在点P，使线段AB关于点P“逆垂相关”，则r的取值范围是　r≤3　 ．
【考点】旋转的性质．
【专题】新定义；推理能力．
【答案】r≤3．
【分析】以AB为边分别往两侧作正方形，由题意可得点P在正方形AP3BP4内，据此求出半径最大值和最小值即可．
【解答】解：如图，
由题可设线段AB关于点P“逆垂相关”为线段A'B'，
则线段AB与A'B'要有交点，
旋转后必有AB⊥A'B'，
①当点P在P1处，即在点A时，B在B1处；
②当点P在P2处，即在点B时，A在A1处；
③当点P在P3处，A在B处，B在B3处；
④当点P在P4处，A在A4处，B在A处；
要让AB与A'B'有交点，则P在正方形AP3BP4内，
由题可得A（0，3），B3（4，1），C（3，0），
∴P3（2，2），P4（﹣1，1），
∴r1＝AC＝3，r2＝CP4，
∵，
∴rmax＝3；
很明显，当CP5⊥BP3时，r最小，
在Rt△CBP5中，BC＝2，
∴CP5，即rmin；
∴r≤3；
故答案为：r≤3．
【点评】本题主要考查了以圆和旋转为背景的新定义，正确理解题意是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 西城区三模）在平面直角坐标系xOy中，图形G和图形W的“中位形”的定义如下：点P是图形G上任意一点，点Q是图形W上任意一点，取PO中点M，取QO中点N，由所有线段MN所组成的图形叫做图形G和图形W的“中位形”．（当两个点重合时，连接这两点的线段和线段的中点都视为此点）
已知点A（4，0）、点B（0，2）．
（1）点A和点B的“中位形”的长度是　　 ；
（2）已知点H（a，0），若点H和线段AB的“中位形”面积为2，求a的值．
（3）已知点E（10，0）、点F（0，﹣10），以线段AB为边作两条对角线都在坐标轴上的菱形ABCD．将菱形ABCD沿着直线y＝x平移得到菱形A′B′C′D′，设菱形A′B′C′D′的对角线交点坐标为（t，t）．若线段EF和菱形A′B′C′D′的“中位形”与菱形ABCD有公共点，直接写出t的取值范围．
【考点】几何变换综合题．
【专题】新定义；一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）a＝﹣4或12；
（3）﹣10≤t≤60．
【分析】（1）求△OAB的OA和OB的中点形成中位线的长即可；
（2）线段AB的“中位形”的线段的端点为M（2，0），N（0，1），点H的“中位形”H′（），根据S△MNH′得出a的值；
（3）可表示出菱形A′B′C′D′的“中位”图形菱形A″B″C″D″的点C″（），B″（），EF的“中位”图形E′F′，其中E′（5，0），F（0，﹣5），可求出直线AF′的解析式为：y，直线DE′的解析式为：y，求得当AF过点C″和DE′过B″时t的结果，进而得出结果．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝2，
∴AB＝2，
∵M是OA的中点，N是OB的中点，
∴MN，
故答案为：；
（2）如图1，
∵MN是线段AB的“中位形”，
∴M（2，0），N（0，1），
∵点H的“中位形”H′（），
∴MH′＝||，
由S△MNH′得，
，
∴a＝﹣4或12；
（3）如图2，
∵菱形A′B′C′D′的对角线交点坐标为（t，t），
∴菱形A′B′C′D′的“中位”图形菱形A″B″C″D″的点C″（），B″（），
EF的“中位”图形E′F′，其中E′（5，0），F（0，﹣5）
∵A（4，0），D（0，﹣2），
∴直线AF′的解析式为：y，直线DE的解析式为：y，
当AF′过点C″时，
，
∴t＝60，
当DE′过点B″时，
，
∴t＝﹣10，
∴﹣10≤t≤60．
【点评】本题在新定义的基础上，考查了三角形中位线的性质，求一次函数的解析式，菱形的性质等知识，解决问题的关键是数形结合．
17．（2025 沙坪坝区）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，将点A绕点D顺时针旋转90°得点E，连接AE，DE．
（1）如图1，点D在△ABC的内部，连接CD，点E恰好在CD上．若AE＝CE，求∠DAB的度数；
（2）如图2，点D在点A的右上方，连接BE，CE，点D恰好在CE上，延长DA交BE于点F，点G是AC的中点，连接FG，求证：；
（3）如图3，连接EC，∠AEC＝90°，将线段AD沿AC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到线段AM，点M为点D的对应点，连接BM，当BM取得最大值时，请直接写出此时的值．
【考点】几何变换综合题．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）22.5°．
（2）证明见解答．
（3）．
【分析】（1）首先判定△ABC和△ADE是等腰直角三角形，然后根据外角的性质求出∠ECA＝22.5°，再从∠BAC中由角的和差关系求出∠DAB的大小．
（2）通过辅助线构造△ACD∽△BCH，接着推出BH＝AE，进而证明△BFH≌△EFA，从而得到AF＝FH，则FG是△AHG的中位线，再结合CHCD即可证明结论．
（3）先由定弦定角模型求出点E的运动轨迹，然后根据瓜豆模型中主从动点的运动轨迹关系判定出点D的运动轨迹，从而由轴对称的性质得出点M的运动轨迹，再由等腰直角三角形的性质及中位线的性质在Rt△BQI中求出BM关于AB的表达式，最终求出答案．
【解答】解：（1）根据题意可知△ABC和△ADE是等腰直角三角形．
∴∠DAE＝∠DEA＝45°．
∵AE＝CE，
∴∠ECA＝∠EAC22.5°，
∵∠DAB＝∠BAC﹣∠DAE﹣∠EAC＝90°﹣45°﹣22.5°＝22.5°．
（2）证明：延长DF至点H，使DH＝CD，连接BH，CH，则△DCH是等腰直角三角形．
∴∠DCH＝∠DHC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠BCH＝45°﹣∠ACH．
又∵．
∴△ACD∽△BCH．
∴BHAD＝AE，∠BHC＝∠ADC＝90°，
∵∠EAH＝180°﹣∠EAD＝135°，∠AHB＝∠BHC+∠DHC＝135°，
∴∠EAH＝∠AHB，
又∵∠AFE＝∠HFB，
∴△BFH≌△EFA（AAS），
∴AF＝FH，
∵AG＝GC，
∴FGCHCD．
∴CDFG．
（3）如图，点F、G分别为AC、AB的中点，过点F作BC的垂线交BA延长线于点H，交BC于点I．
易得△BHI为等腰直角三角形．
∵FG为△ABC的中位线，
∴FG∥BC，FGBCAB．
根据题意，∠AEC＝90°，由定弦定角辅助圆模型可知主动点E的运动轨迹是以AC为直径的⊙F上，因此从动点D的运动轨迹在以GF为直径的⊙P上．
而根据轴对称的性质，点D关于AC的对称点M的运动轨迹在以FH为直径的⊙Q上，
∴FG＝FH，AG＝AH．
∴AQ为△GFH的中位线．
∴AQ∥FG，
由平行线分线段成比例可得F、Q两点分别是线段HI的三等分点，则QI＝FH＝FG．
在Rt△BQI中，BI＝HIFHAB，QI＝FGAB，则BQAB．
∴BM＝BQ+MQABAB．
∴．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，定弦定角辅助圆模型，瓜豆模型等知识点．构造全等三角形证明相关线段和角相等，以及熟练掌握瓜豆模型是解答本题的关键．
18．（2025 历下区二模）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在边AC上（点D不与点A，点C重合），连接BD并将BD绕点D逆时针旋转90°得到DE．
（1）如图1，连接CE．
①CE与BC的位置关系为　CE⊥BC　 ，∠ABD与∠CED的数量关系是　∠ABD+∠CED＝45°　 ；
②请用等式表示BC，CD和CE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，将△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′E，若A′E的最小值为2，求AB的长．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何变换；几何直观；推理能力；模型思想．
【答案】（1）①CE⊥BC，∠ABD+∠CED＝45°；
②BC＝CE，理由见解析；
（2）．
【分析】（1）①由题意可得△BAC与△BDE为等腰直角三角形，再证明△ABD∽△CBE，利用相似三角形的性质导角可得CE⊥BC，∠ABD+∠CED＝45°；
②在BC上取点F，使BF＝CE，连接DF，如图2所示，证明△BDF≌△EDC（SAS），可得DC＝DF，又∠DCF＝45°，可得△DFC为等腰直角三角形，CF，从而BC＝BF+CF＝CE；
（2）如图2所示，连接BE，将△BA'E沿BE翻折至△BFE，则BA'＝BF＝BA，A'E＝FE，由翻折可知∠ABD＝∠A'BD，∠A'BE＝∠FBE，导角可知∠ABF＝2（∠A'BD+∠A'BE）＝90°，故四边形ABFC为正方形，
由（1）知∠BCE＝90°，故E在过点C的BC的垂线上运动．当A′E的最小值为2时，即FE最小为2，即当FE⊥CE时，FE最小为2，此时EF2，故BC＝4，从而AB．
【解答】解：（1）①如图1所示，连接BE，
由题意可得△BAC与△BDE为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，从而∠ABD＝∠CBE，
，
∴，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠BCE＝∠BAD＝90°，
∵∠BDE＝∠BCE＝90°，
∴∠DBC＝∠CED，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ABD+∠CED＝45°．
故答案为：CE⊥BC，∠ABD+∠CED＝45°．
②证明：BC＝CE，理由如下：
在BC上取点F，使BF＝CE，连接DF，如图2所示，
在△BDF和△EDC中，
，
∴△BDF≌△EDC（SAS），
∴DC＝DF，
∵∠DCF＝45°，
∴△DFC为等腰直角三角形，CF，
∴BC＝BF+CF＝CE，
（2）法一（翻折构造法）：如图2所示，连接BE，将△BA'E沿BE翻折至△BFE，
则BA'＝BF＝BA，A'E＝FE，
由翻折可知∠ABD＝∠A'BD，∠A'BE＝∠FBE，
又∵∠DBE＝45°＝∠A'BD+∠A'BE，
∴∠ABF＝2（∠A'BD+∠A'BE）＝90°，
故四边形ABFC为正方形，
又由（1）知∠BCE＝90°，
故E在过点C的BC的垂线上运动．
当A′E的最小值为2时，即FE最小为2，
即当FE⊥CE时，FE最小为2，
此时EF2，故BC＝4，
从而AB．
法二（构造相似）：如图3所示，
取BC中点M，连接MD、AM、连接BE，
由题意可知△ABM和△BDE为等腰直角三角形，ABBA'，
BE．
由折叠可知∠ABD＝∠A'BD＝∠DBM+∠MBA'，
由（1）可知∠ABD＝∠CBE＝∠MBA'+∠A'BE，
∴∠DBM+∠MBA'＝∠MBA'+∠A'BE，
∴∠DBM＝∠A'BE，
又∵，
∴△BMD∽△BA'E．
∴A'EMD，
当A'E最小为2时，MD最小为，
此时MD⊥AC，D为AC中点，
由中位线定理可知AB＝2DM．
法三（构造一线三垂直）：
过E点作EG⊥DA'的延长线于点G，如图4所示，
易证△BDA'≌△DEG（AAS），
则设GE＝DA'＝a，BA'＝AB＝DG＝b，
则A'G＝DG﹣DA'＝b﹣a，
则由勾股定理得A'E2＝A'G2+GE2＝（b﹣a）2+a2＝b2﹣2ab+2a2，
把a看成未知数，b看成常数，
故A'E2＝2a2﹣2ab+b2＝2（a）2，
当a时，A'E2取得最小值为，
A'E最小为2，
即4，故b，
故AB．
法四（旋转﹣两动化一动）：
将△DA'E绕点D顺时针旋转90°得△DHB，如图5所示，
故DH＝DA'，BH＝A'E，
则易知△DHA'为等腰直角三角形，
∴∠DA'H＝45°，∠HA'B＝45°，
∵B点为定点，BA'为定长，H点在与BA'成45°角的射线上运动，
故当BH⊥A'H时，BH最小，最小为2，
此时△BHA'为等腰直角三角形，
从而知BA'，
故AB．
法五（对称法结合瓜豆原理）：
作点E关于BD的对称点E'，连接BE'，可得△BE'D为等腰直角三角形，
以AB为腰向左构造等腰直角三角形ABC'，连接C'E'，如图6所示，
∴BC'，BE'，即．
∵∠C'BA＝∠E'BD＝45°，
∴∠C'BE'＝∠ABD，
∴△C'BE'∽△ABD，
∴∠BC'E'＝∠BAD＝90°＝∠C'BC，
故C'E'∥BC，即E'直线C'E'上运动．
由对称性可知△DAE'≌△DA'E，
∴AE'＝A'E，
当A'E最小为2时，AE'最小也为2，
故当AE'⊥C'E'时最小为2，
此时△C'E'A为等腰直角三角形，
AC'，
由于△ABC'也为等腰直角三角形，
故AB＝AC'．
【点评】本题考查了旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称变换的性质，以及转化的数学思想，熟练掌握以上内容并灵活运用作出恰当的辅助线是解题关键．
19．（2025春 重庆二模）在平面直角坐标系中，点O为原点，点B（0，﹣4）是y轴负半轴上一点，将点B向右平移6个单位得到点A．
（1）点A的坐标为 　（6，﹣4）　 ；
（2）如图2，动点F从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，当点F运动到点B时，停止运动．设点F运动时间为t秒，用含t的式子表示F点的坐标；当t为何值时，△OBF的面积为6？求出此时点F的坐标；
（3）过点F作直线EF交x轴正半轴于E，交线段OA于D，若∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N，∠ODF＝α，请用含α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（6，﹣4）；
（2）F点的坐标为（6﹣2t，﹣4）；此时点F的坐标为（3，﹣4）；
（3）∠ONFα，理由见解析．
【分析】（1）由平移的性质即可得到点A的坐标；
（2）利用平移的性质求得F点的坐标；利用三角形面积公式可求出答案；
（3）过点N作MN∥x轴，平行线的性质及角平分线的定义可得出∠MNO＝∠NOE∠EOD，∠MNF＝∠NFA∠AFD，再利用三角形外角性质，即可得出∠ONF的度数．
【解答】解：（1）∵将点B（0，﹣4）向右平移6个单位得到点A的坐标为（6，﹣4）．
故答案为：（6，﹣4）；
（2）由题意得AB＝6，AF＝2t，
∴BF＝6﹣2t，
∴F点的坐标为（6﹣2t，﹣4）；
∴，
解得，
此时点F的坐标为（3，﹣4）；
（3），理由如下：
过点N作MN∥x轴，如图，
∴∠MNO＝∠NOE，
∵ON是∠EOD的角平分线，
∴∠MNO＝∠NOE∠EOD，
∵AB∥x轴，
∴MN∥AB，
∴∠MNF＝∠NFA，
∵FN是∠AFD的角平分线，
∴∠MNF＝∠NFA∠AFD，
∵AB∥x轴，
∴∠OED＝∠AFD，
∵∠ODF＝α，
∴∠ODF＝∠EOD+∠OED＝∠EOD+∠AFD＝α，
∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF（∠EOD+∠AFD）α．
【点评】本题考查了坐标变换—平移，平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
20．（2025春 沙坪坝区三模）综合与实践．
问题情境：
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC所在的平面内运动．探究图形间存在的关系．
特例探究：
（1）如图1，当点D在边AB上运动，连接CD，以CD为边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，发现BE⊥AB，请说明理由；
求异探究：
（2）如图2，点E为AC的中点，点F为AB的中点，△AEF为等腰直角三角形，点D在△ABC外部时，连接ED，以ED为边在其右侧作等腰直角三角形EDH，连接DF和CH，判断DF与CH的关系，并证明；
拓展应用：
（3）如图3，当点D在直线AC上时，连接BD，在线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连接AE．若CD＝6，AE＝10，求△ABD的面积．
【考点】几何变换综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）DF＝CH，DF⊥CH，见解析；
（3）△ABD的面积为4或176．
【分析】（1）根据旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，进而证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE＝∠A＝45°，可得∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，即可得证；
（2）连接AD，CF，先证明△DAE≌△HFE（SAS）可得∠EAD＝∠EFH，AD＝FH，进而证明△ADF≌△FHC（SAS），根据全等三角形的性质即可得解；
（3）分两种情况讨论，当点D在AC的延长线上时，过点B作FB⊥AB，交AD的延长线于点F，得出△ACB是等腰直角三角形，证明△ABE≌△FBD（SAS），得出FD＝AE＝10，BC＝CF＝CA＝16，AD＝22，利用三角形面积公式可求解；当点D在CA的延长线上时，同理可求解．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，当点D在边AB上运动，连接CD，以CD为边在其右侧作等腰直角三角形CDE，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AB；
（2）解：DF＝CH，DF⊥CH；理由如下：
点E为AC的中点，点F为AB的中点，△AEF为等腰直角三角形，点D在△ABC外部时，连接ED，以ED为边在其右侧作等腰直角三角形EDH，如图2所示，连接AD，CF，
∴ED＝EH，∠DEH＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵点E和F分别为AC和AB的中点，
∴EF∥BC，EF∥BC，EFBCAC＝AE，则∠AEF＝90°，
∴∠AED＝∠FEH，
∴△DAE≌△HFE（SAS），
∴∠EAD＝∠EFH，AD＝FH，
∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴，
又∵EF⊥AC，
∴∠EFC＝45°，
∴∠EFC＝∠EAF＝45°，
∴∠EAD﹣∠EAF＝∠EFH﹣∠EFC，即∠FAD＝∠CFH，
在△ADF和△FHC中，
，
∴△ADF≌△FHC（SAS），
∴DF＝CH，∠AFD＝∠FCH，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点F为AB的中点，
∴AF＝CF＝BF，∠AFC＝90°，
∴∠AFD+∠CFG＝90°，
∴∠FCH+∠CFG＝90°，
∴∠FGC＝90°，
∴DF⊥CH；
（3）解：当点D在AC的延长线上时，如图3所示，过点B作FB⊥AB，交AD的延长线于点F，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∵FB⊥AB，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BA＝BF，
∵将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，
∴DB＝EB，∠DBE＝90°，
∴∠FBD＝90°﹣∠ABD＝∠ABE，
∴△ABE≌△FBD（SAS），
∴FD＝AE＝10，
∵∠ACB＝90°，BA＝FB，
∴BC＝CF＝CA＝CD+DF＝16，AD＝CA+CD＝22，
∴△ABD的面积为；
当点D在CA的延长线上时，如图4所示，过点B作FB⊥AB，交AD的延长线于点F，
同理△ABF是等腰直角三角形，
△ABE≌△FBD（SAS），
∴FD＝AE＝10，
∵∠ACB＝90°，BA＝FB，
∴BC＝CF＝CA＝DF﹣CD＝4，AD＝CD﹣CA＝2，
∴△ABD的面积为；
综上，△ABD的面积为4或176．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
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