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2024-2025学年七年级数学下册第一次月考检测卷（第15-16章）
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．不等式的解是（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句是命题的是（　　）
A．画线段 B．内错角相等吗
C．用量角器画 D．对顶角相等
3．若有关于x的不等式可以推出，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，若，则、、之间的关系为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，四边形中，，，点E、F分别在、上，将沿翻折，得，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入6个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入12个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．用不等式表示：的3倍与3的和是非负数： ．
8．若不等式组的解集是，则 ．
9．已知关于x的不等式的正整数解有3个，则a的取值范围是 ．
10．对于a、b的取值，能够说明命题“若，则”是假命题的反例是 ．
11．如图，已知直线，，则的度数为 ．
12．我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是 ．
13．为了保证学生的安全，也为了深刻践行绿色出行的理念，某市推出了学生公交专线．若光明中学步行和坐公交的学生共有1200名，其中选择坐学生公交上学的人数是步行上学人数的2倍，且坐普通公交和坐学生公交的人数所占百分比的和小于等于，则最少有 名学生选择坐学生公交．
14．如图，工人师傅在施工过程中，需在平面内制作一个弯形管道，使其拐角，则管道与的位置关系是 ．
15．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号）
16．如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）．
①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
17．如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．

18．如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过 秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．
三、解答题（7小题，共64分）
19．解下列不等式．
(1) (2)；
(3)解不等式组，并在数轴上表示解集．
20．某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成，但他加工2小时后，因事停工40分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？
21．若关于和的二元一次方程组的解满足．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在一个整数使不等式的解集为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，，，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)探索与的数量关系，并说明理由．
23．如图，，．填空：
（1） 度；
（2）直线与的位置关系是 ；
（3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度；
（4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ．
24．已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点．
(1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．
25．有一种规格为的标准板材，可按如图所示的两种裁法得到规格为的A型板材与规格为的B型板材．
项目 裁法一 裁法二
x（张） ______（张）
A型板材（张） ______
B型板材（张） ______
(1)某公司装修需要A型板材140张，B型板材215张．现购得标准板材100张，将其全部裁完．设按裁法一裁剪的标准板材为x张．
①根据题意，完成以上表格：
②按以上两种裁法的张数来分，共有哪几种裁剪方案？
(2)若装修师傅购买标准板材若干张，按以上两种方法裁剪后，得到A型板材恰为140张，B型板材恰为a张，则购进的标准板材可以是______张（写出一种即可）．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】此题考查解一元一次不等式，利用移项合并同类项解不等式即可．
【详解】解：
移项得，，
即，
故选：B
2．D
【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题．
根据命题的概念判断即可．
【详解】解：A、画线段，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
B、内错角相等吗，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
C、用量角器画∠，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
D、对顶角相等，做出了判断，是命题，符合题意．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质求解作答即可．
【详解】解：∵的解集为，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了平行线的性质，作，则，，从而得出，再结合即可得解，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，作，
，
则，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查平行线的性质及折叠的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．依据平行线的性质，即可得到，，再根据折叠的性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于点M，
，，
，
，
，
由折叠性质可得，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式求解．
①根据“将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为”，列出算式，即可求出a；②根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”即可解答；③根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”列出不等式组，求出b的取值范围，即可解答；④根据①中求出a的值，即可解答．
【详解】解：①，故①正确，符合题意；
②∵直到放入第4个铁块后，发现有水溢出，
∴，故②不正确，不符合题意；
③根据题意可得：，
解得：，
∴，
∵，
∴水不会溢出，故③正确，符合题意；
④由①可得：，
∴，
∴水一定会溢出，故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，
故选：C．
二、填空题
7．
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言描述的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
首先表示出a的3倍是，非负数是大于等于0的数，进而列出不等式即可．
【详解】解：a的3倍是，由题意得：．
故答案为：．
8．
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出、的值，继而代入计算即可．
【详解】解：由不等式组，
得，即．
，．
，．
．
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式整数解的个数得出关于某个字母的不等式组是解题的关键．解出不等式求出的范围，根据不等式有且只有3个正整数解列出关于a不等式，解之可得答案．
【详解】解：，
∴，
解得：，
不等式有3个正整数解，则最大的正整数解一定是3．
，
解得：，
故答案为：．
10．，（答案不唯一）
【分析】本题考查了命题与定理：真假命题的判断，掌握判断命题真假的方法是解本题的关键．
命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
【详解】解：当，时，，而，
∴能够说明命题“若，则”是假命题的可以是，；
故答案为：，（答案不唯一）．
11．
【分析】此题考查了对顶角的性质和平行线的性质．先求出，再利用平行线的性质即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴
故答案为：
12．①③④
【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键．
根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答．
【详解】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确；
若，根据的意义，得，结论②错误；
若，则，结论③正确；
当，时，有，，，或6，结论④是正确．
综上所述：①③④正确．
故答案为：①③④．
13．600
【分析】设有名学生选择坐学生公交，则步行上学的学生有名．由题意，得，解答即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握解不等式是解题的关键．
【详解】解：设有名学生选择坐学生公交，则步行上学的学生有名．
由题意，得，
解得，
坐学生公交的学生最少有600名．
故答案为：600．
14．
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同旁内角互补即可得出．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
15．①②
【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确；
②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确；
③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误．
∴说法正确的是①②．
故答案为：①②．
16．②
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点在同一条直线上，
故答案为：②
17．
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，
．
18．70
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设运动时间为t秒，根据题意可得，解得，当时，此时第一次两动点相距100米，当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米，据此可得答案．
【详解】解：设运动时间为t秒，
由题意得，，
解得，
当时，此时第一次两动点相距100米，此时甲、乙位置如图所示，
当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米，
∴此时两动点都在上，
∴经过70秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．
故答案为：70．
三、解答题
19．（1）解：
解得：；
（2）解：
解得：；
（3）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
20．60个
【分析】根据题意，列出一元一次不等式，解出答案即可．本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等量关系是解决本题的关键．
【详解】解：设后面的时间每小时加工个零件，
根据题意，得，
解得．
答：后面的时间每小时他至少要加工60个零件．
21．（1）解：
，得
．
，得
．
解得：．
（2）解：存在．理由如下：
变形为．
原不等式的解集为，
．
由（1）得
．
为整数，
的值为1，2．
22．（1）解：，理由如下：
，，
，
；
（2），理由如下：
，
，
，
，
，
．
23．（1）解：∵，
∴，
故答案为：90．
（2）解：∵，
∴，
∴直线与的位置关系是互相垂直．
故答案为：互相垂直．
（3）解：∵，
∴线段的长是点B到直线的距离的线段；
同理，点D到直线的距离是线段的长度；
故答案为：，．
（4）在线段，，中，最短的线段是；在线段，，中，最短的是线段．理由是垂线段最短．
故答案为：，，垂线段最短．
24．（1）解：，理由如下，
过点作，
，
，
，，
，
．
（2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下：
过点作．
，
∴
，
，
，即．
25．（1）解：①依题意，
标准板材裁法一（张 标准板材裁法二（张
型板材（张
型板材（张
②由题意，得
，
解得，
又是整数，
，59，60；
答：共有三种裁剪方案：按裁法一裁剪58张，按裁法二裁剪42张；按裁法一裁剪59张，按裁法二裁剪41张；按裁法一裁剪60张，按裁法二裁剪40张．
（2）解：设标准板中有张按裁法1裁剪，有张按裁法2裁剪，
根据题意得：，
整理得：，
解得，
由于为正整数，则，46，47，
则，48，46，
故标准板材为：95张，94张，93张，
故答案为：95（答案不唯一）．

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