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2.3《 有理数的乘除法运算》小节复习题
【题型1 利用有理数的乘法辨别符号】
1.4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 ( )
A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个
2.若，，那么这两个数（ ）
A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号不能确定
3.已知，且，那么乘积的值一定是（　　）
A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定
4.如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成立的是（　　）
A． B． C． D．
【题型2 利用有理数乘法运算律进行巧算】
1.计算：．
2.计算，最简便的方法是（　　）
A． B． C． D．
3.用简便方法计算：
(1)； (2)．
4.用简便方法计算：
(1)； (2)．
【题型3 倒数、绝对值、相反数的综合求值】
1.的倒数的绝对值的相反数为 ．
2.甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说：一个数a的相反数是它本身，乙说：一个数b的倒数也是它本身，则a-b=
3.若a，b互为相反数，的倒数是，则b的值为 ．
4.已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数．
(1)分别直接写出，，，的值；
(2)的值是多少？
【题型4 有理数乘法的实际应用】
1.如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有 种不同的着色方法．

2.某商店将一种取暖器先提价，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（ ）
A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断
3.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为 尺．
4.某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付费 元．（游客只能在公园售票处购票）
购票张数 1～29张 30～60张 60张以上
每张票的价格 20元 18元 16元
【题型5 有理数的混合运算】
1.计算
(1) (2)
2.下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题．
计算：
解：原式=……第一步
=……第二步
=……第三步
解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程．
3.计算：．
4.老师布置了一道练习：计算．
嘉嘉和淇淇的解答过程如下：
嘉嘉的解答过程 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 淇淇的解答过程 解：原式（第一步） （第二步） （第三步）
(1)①嘉嘉解题过程中开始出现错误的是第______步；
②淇淇解题过程中开始出现错误的是第______步．
(2)把正确的解题过程写出来．
(3)计算：．
【题型6 有理数四则运算的实际应用】
1.气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是．
(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；
(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？
2.某服装公司2024年四个季度的盈亏情况如下：第一季度平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7万元，第四季度平均每月亏损2.9万元，那么这个公司2024年平均每月盈亏情况如何？
3.小张第一次用180元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作整数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：
请通过计算说明：
（1）小张卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？
（2）每套儿童服装的平均售价是多少元？
（3）小张第二次用第一次的进价再次购买900元的儿童服装，如果他预计第二次每套服装的平均售价75元，按他的预计第二次售价可获利多少元？
4.居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月
气表读数（立方米） 433 450 468 485 500 514 535
（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．
（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？
（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？
【题型7 利用倒数法求解有理数的除法】
1.阅读下列材料，并解答问题：
材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如和，即若设，则；
材料二：分配律：；
利用上述材料，请用简便方法计算：．
2.我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用分配律．对于下面这道计算题：，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒数：×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣请你仿照以上小明的做法计算：
3.阅读材料，回答问题．
计算：．
解：方法一：原式．
方法二：原式的倒数为：
故原式．
用适当的方法计算：．
4.阅读下列材料：
计算：．
解法①：原式=．
解法②：原式=．
解法③：原式的倒数为，
∴原式=
解法④：原式=
(1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的；
(2)在正确的解法中，选择一种解法计算：
【题型8 化简分数】
1.化简下列分数：
(1)； (2)； (3)； (4)．
2.下列分数中，能化为有限小数的是（ ）
A． B． C． D．
3.化简下列各分数： ， ， ， ．
4.如果，则化简= ．
【题型9 与有理数乘除有关的新定义问题】
1.在数轴上，把原点记作点，表示数的点记作点． 对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将线段与线段的长度之比定义为点的特征值，记作，即． 例如：当点是线段的中点时，因为，所以． 如图，点为数轴上三个点，点表示的数为，点表示的数与点表示的数互为相反数，点表示的数为．

(1)点表示的数为：___________；
(2)求的值，比较的大小，并用“<”连接；
(3)若数轴上有一点满足，求．
2.定义新运算“”：，如：，则 ．
3.如果对于任何有理数定义运算“”如下：，如，求的值．
4.在数轴上有理数a，分别用点A，A1表示，我们称点A1是点A的“差倒数点”．已知数轴上点A的差倒数点为点A1；点A1的差倒数点为点A2；点A2的差倒数点为点A3…这样在数轴上依次得到点A，A1，A2，A3，…，An．若点A，A1，A2，A3，…，An在数轴上分别表示的有理数为a，a1、a2、a3、…，an．则当a时，代数式a1+a2+a3+…+a2020的值为 ．
【题型10 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】
1.下列结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或．
其中，正确的结论是 （填写序号）．
2.已知，化简（ ）
A． B．3或1 C．3或 D．
3.设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ．
4.有理数a，b，c都不为零，且，则 ．
参考答案
【题型1 利用有理数的乘法辨别符号】
1.A
【分析】本题考查了多个有理数的乘法运算．熟练掌握多个有理数相乘，奇负偶正是解题的关键．
根据多个有理数相乘，奇负偶正，进行作答即可．
【详解】解：由多个不为0的数相乘，奇数个负数积为负数，偶数个负数积为正数可知，这4个有理数中，负数有1个或3个，
故选：A．
2.D
【分析】根据有理数的乘法法则，有理数的减法法则，即可解答．
【详解】解：∵，
∴a，b同号，
若a，b都是负数，存在，
若a，b都是正数，同样存在，
∴这两个数符号不能确定，
故选：D．
3.B
【分析】根据题意，判断出、的正负，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，，即与异号，
则的值一定是负数．
故选：B．
4.B
【分析】先根据数轴确定a，b的取值范围，再逐一判定即可解答．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，，，，故B正确．
故选：B．
【题型2 利用有理数乘法运算律进行巧算】
1.解：原式
，
．
2.B
【分析】根据有理数乘法运算法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：最简便的计算方法是，
故选：B．
3.（1）解：
；
（2）解：
．
4.（1）解：原式；
（2）原式．
【题型3 倒数、绝对值、相反数的综合求值】
1.
【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
∴的绝对值是，
∴的相反数为，
∴的倒数的绝对值的相反数为，
故答案为．
2.±1.
【分析】利用相反数和倒数的定义求出a、b，然后相减即可.；
【详解】解：a的相反数是它本身，说明a为0；一个数b的倒数也是它本身，说明b为±1；
那么a-b=a±1=0±1=±1
答案为：±1.
3.5
【分析】本题考查了相反数，倒数，根据互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，列式计算即可．
【详解】∵a，b互为相反数，的倒数是，
∴，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：5．
4.（1）解：∵，互为相反数，
，
，互为倒数，
，
的绝对值等于，
，
是数轴上原点表示的数，
；
（2）解：①当时，
∴，
②当时，
∴，
的值为或．
【题型4 有理数乘法的实际应用】
1.
【分析】
本题考查了有理数的乘法运算，按照A，B，C，D，E的顺序依次着色，判断各部分可以使用的颜色种树即可求解．
【详解】解：由题意得：A有四种颜色可以选择，B有三种颜色可以选择，
则C有两种颜色可以选择，D有两种颜色可以选择，E有两种颜色可以选择，
∴这幅图一共有着色方法：（种）
故答案为：
2.C
【分析】假设取暖器原价为100元，则现价为（元），进而可求；
【详解】解：假设取暖器原价为100元，
则现价为（元），
∵，
∴取暖器的现价比原来涨了．
故选：C．
3.
【分析】本题主要考查利用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出算式．
根据蒲的增长规律计算第3天的长度即可．
【详解】解：（尺）
故答案为：．
4.
【分析】本题考查了有理数大小比较的运用，本题只需仔细分析图表即可解决问题．根据公园门票价格规定，通过计算得出应尽量设计的能够享受优惠的购票方案．
【详解】解：解：人买张的话需付（元），
买张的话，付（元），
所以最少应付费元．
故买张付元是最少的付费方式．
故答案为：．
【题型5 有理数的混合运算】
1.（1）解：
；
（2）解：
．
2.解：解答过程有错．错在第二步和第三步．
第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算；
第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除，同号得正．
正确过程：
解：原式=
=
=
3.
．
4.（1）解：①嘉嘉解题过程中第二步计算有错误，
故答案为：二；
②淇淇解题过程中第一步有错误，
故答案为：一；
（2）解：
；
（3）
．
【题型6 有理数四则运算的实际应用】
1.（1）解：
，
即山顶的温度为；
（2）
（米），
即他距山脚1500米．
2.解：
=
=（万元）
（万元）
答：这个公司2017年平均每月亏损 万元．
3.(1)(+12)+( 13)+(+15)+(+11)+( 17)+(-11)+0+( 13)= 16.
80×8 16=640 16=624(元)
624>180，所以赚钱
624 180=444(元)
答：当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了元；
(2)624÷8=78(元)
答：每套儿童服装的平均售价是78元.
(3)每套衣服的进价为：180÷8=22.5元,
第二次可以购进服装900÷22.5=40套，
答：按他的预计第二次售价可获利元.
4.（1）由表格数据可得：小明家月份的用气量为立方米；
月份平均每月的用气量为：立方米
故答案为：；
（2）小明家月份的气费为元，月份的气费量为：
一级用气价格为：（元/立方米）
月份的用气量为立方米，气量超过立方米且不超过立方米的部分按第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取
月份小明家需交气费为：元
（3）小明家月份的用气量为：立方米，月份的用气量比月份的多立方米
月份的用气量为：立方米
气量超过立方米且不超过立方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取，用气量超过立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的倍收取费用
月份小明家需交气费为：元
【题型7 利用倒数法求解有理数的除法】
1.解：设，，
，
∵和互为倒数，
∴，
∴；
2.解：先求原式的倒数=
＝（1﹣1﹣+）×（﹣24）
＝﹣24+36+9﹣14
＝7，
则原式＝．
3.解：∵
，
∴原式．
4.（1）解：解法①是错误的，除法没有分配律；
故答案为：①．
（2）原式的倒数为
，
∴原式
【题型8 化简分数】
1.（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2.B
【分析】本题考查分数和小数的互化，解题的关键是运用有理数的除法法则分别计算即可判断．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：B．
3. ； ； ； ．
【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：，，，．
4.0
【分析】根据绝对值的意义及有理数乘除法运算法则进行分析化简．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴=1-1=0，
故答案为：0．
【题型9 与有理数乘除有关的新定义问题】
1.（1）解：∵点表示的数为，点表示的数与点表示的数互为相反数，
∴点表示的数为，
故答案为；
（2）解：∵点表示的数为，点表示的数为，表示原点，
∴，
∵点表示的数为，
∴，
∵点表示的数为，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵点所表示的数为，且，为原点，
∴，
设点表示的数为，
∴，
∴或，
∴点表示的数是或，
当点表示的数是时，；
当点表示的数是时，；
综上，的值是或．
2.0
【分析】先根据新运算的定义求出的值，再根据新运算的定义计算即可得．
【详解】，
，
，
，
，
故答案为：0．
3.解：
．
4.
【分析】先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案．
【详解】解：∵a，
∴，
∴，
∴，
∴，
…，
∵2020÷3＝673……1，
∴
∴a1+a2+a3+…+a2020
故答案为：．
【题型10 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】
1.①⑤
【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可．
【详解】解：①若，则，正确，不符合题意；
②若，则，原结论不正确，符合题意；
③若，则，原结论不正确，符合题意；
④若，当时，则，原结论不正确，符合题意；
⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，，
∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，，
当，，时，原式；
当，，时，原式，
当，，时，原式，
当，，时，原式．
综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意；
故答案为：①⑤．
2.C
【分析】本题考查代数式化简求值，涉及绝对值运算，根据代数式结构特点，分类讨论，化简求值即可，熟记绝对值运算是解决问题的关键．
【详解】解： ，
分四种情况：①同正；②两正一负；③一正两负；④三负；
①同正：；
②两正一负，不妨令，则；
③一正两负，不妨令，则；
④同负：；
故选：C．
3.，0
【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解；
【详解】解：∵a，b，c为有理数，
①若，
∴；
②若a，b，c中有两个负数，则，
∴，
③若a，b，c中有一个负数，则，
∴，
④若a，b，c中有三个负数，则，
∴，
故答案为：，0．
4.1或
【详解】根据题意分析可得：有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，分情况讨论，利用绝对值的意义化简运算即可．
【分析】解：∵，
∴，，．
∵有理数a，b，c都不为零，且，
∴有理数a，b，c不同时为正，也不同时为负，
∴有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，
当有理数a，b，c中一个为正，两个为负时，假定，
∴原式
，
当有理数a，b，c中一个为负，两个为正时，假定，
∴原式
．
综上，或．
故答案为：1或．

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