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第一章 动量与动量守恒定律
第5节 碰撞
__________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 1.了解碰撞分为弹
性碰撞和非弹性
碰撞，知道两类
碰撞前后动能的
变化情况.
__________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2.掌握弹性碰撞和
非弹性碰撞的规
律，能够定量分
析一维碰撞问
题，能够利用弹
性碰撞或非弹性
碰撞模型解决实
际问题.
续表
情境导学
上图装置是我们在科技馆常见到的牛顿摆.若拉起最左端一球，由静止释放，
则会把最右端一球撞出，其他球静止不动.同学们可以试着拉起更多的球同时释
放，看看撞击后会有怎样的结果.
新知课丨必备知识解读
知识点1 碰撞的分类
1 碰撞过程的动量特点和能量特点
动量特点 系统所受外力远小于内力，可认为系统的总动量守恒.
能量特点 碰撞前的总动能总是大于或等于碰撞后的总动能.
2 碰撞的分类
特别提醒 关于碰撞的两点提醒
1.自然界中，多数的碰撞实际都属于非弹性碰撞.真正的弹性碰撞，只有在分子、
原子及更小的粒子之间才会发生.
2.碰撞可能发生在空间中，也可能发生在一个平面内，还可能发生在一条直线
上.高中阶段一般只讨论发生在直线上的碰撞问题.
3 从形变的角度理解弹性碰撞和非弹性碰撞
（1）若两个物体碰撞时发生的形变是弹性形变，则在碰撞过程中只发生动能和
弹性势能之间的相互转化，总机械能保持不变，该碰撞为弹性碰撞.
（2）若两个物体碰撞时发生的形变是非弹性形变，则碰撞后系统的动能有损失，
该碰撞为非弹性碰撞.
拓展延伸 对心碰撞和非对心碰撞
图1-5-1
1.对心碰撞
两球碰撞时,碰撞之前球的运动速度与两球心的连线
在同一条直线上,碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线,
这种碰撞称为正碰,也叫对心碰撞或一维碰撞.如图1-5-1
所示.
（碰撞前后两球速度都沿同一条直线,两球组成的系统在这个方向上动量守恒.）
. .
2.非对心碰撞
图1-5-2
如果碰撞之前球的运动速度与两球心的连线不在同一条直线上,碰撞之后两球的
速度都会偏离原来两球心的连线.这种碰撞称为非对心碰撞,也叫斜碰.如图1-5-2所示.
. .
学思用·典例详解
例1-1 两个人在冰面上相向滚动两个完全相同的小球，两个小球碰撞后恰好都静止，
下列说法正确的是( )
D
A.两个小球碰前瞬间动量相同 B.两个人对小球做的功不相等
C.碰撞过程是弹性碰撞 D.两个小球碰前瞬间动能相等
【解析】两小球相向运动，速度方向相反，动量方向相反，选项A错误；碰撞过程
中动量守恒，有，可得，则 ，由于动能相等，根
据动能定理可知，两个人对小球做的功相等，选项B错误，D正确；弹性碰撞无机械
能损失，两个小球碰撞前动能不为0，碰撞后动能为0，机械能有损失，为非弹性碰
撞，选项C错误.
图1-5-3
例1-2 如图1-5-3所示，甲、乙两人穿着同款充气服游玩，由于两人初
次穿充气服，走起路来有些控制不好平衡，所以两人在极短时间内发
生了一维直线碰撞.若甲的质量为,乙的质量为,且以相同的速率
在光滑水平面上发生相向碰撞，碰撞后乙静止不动，则这次碰撞
( )
B
A.属于完全非弹性碰撞 B.属于弹性碰撞
C.总动能全部转化为内能 D.碰撞后甲的速度大小为
【解析】规定碰撞前乙的速度方向为正方向，甲、乙碰撞过程动量守恒，由动量守
恒定律得，解得碰撞后甲的速度大小 ,选项D错误；碰撞前
系统的总动能 ，碰撞后系统的总动能
，碰撞前后系统的总动能不变，因此该碰撞属于弹性碰撞，
选项A、C错误，B正确.
知识点2 中子的发现
1 中子的发现过程
（1）1928年，德国物理学家玻特用 粒子去轰击轻金属铍时，发现有一种
贯穿力很强的中性射线.
图1-5-4
（2）1932年，英国物理学家查德威克
研究了这种射线，并用这种中性射线与质量
已知的氢核和氮核分别发生碰撞，认为这种
碰撞是完全弹性的，如图1-5-4所示.他在实
验中先测出了碰撞后氢核和氮核的速度，然
（3）中子的发现揭开了原子核的神秘面纱，开创了人类认识原子核的新纪元.
查德威克因发现中子而获得了1935年的诺贝尔物理学奖.
后根据动量守恒定律和能量守恒定律求出了这种中性粒子的质量.
2 中子发现的定量分析
设中性粒子的质量为，碰前速率为，碰后速率为，氢核的质量为,碰前
速率为零，碰后速率为,碰撞前后的动量和动能都守恒，则


解得
同理，由对氮原子核的碰撞可解得

由上述两式可得
已知氮核质量与氢核质量的关系为 ，查德威克在实验中测得氢核速
率和氮核速率的关系是,由此得 .
由此可见，这种中性粒子的质量与氢核（质子）的质量相同，因其不带电，故
称之为中子.
学思用·典例详解
图1-5-5
例2-3 （2022·湖南卷）1932年，查德威克用未知射线轰击氢
核，发现这种射线是由质量与质子大致相等的中性粒子
（即中子）组成.如图1-5-5，中子以速度 分别碰撞静止的氢
核和氮核，碰撞后氢核和氮核的速度分别为和 .设碰撞为
弹性正碰，不考虑相对论效应，下列说法正确的是( )
B
A.碰撞后氮核的动量比氢核的小 B.碰撞后氮核的动能比氢核的小
C.大于 D.大于
【解析】设中子的质量为,则氢核和氮核的质量分别为、 ,由于碰撞为弹性碰
撞，选向右为正方向，对中子与氢核碰撞，根据动量守恒定律有 ，
根据机械能守恒定律，有,联立解得 .同理，对中子与
氮核碰撞，有，，解得 .
碰撞后氢核动量为，氮核动量为 ，氮核动量大于氢核动量，
A错误；碰撞后氮核的动能为，氢核的动能为 ，所
以碰撞后氮核的动能比氢核的小，B正确；由上述分析可知， ，C、D错误.
释疑惑 重难拓展
知识点3 弹性碰撞和完全非弹性碰撞的规律
图1-5-6
1 规律分析
（1）情境
如图1-5-6所示，设质量分别为、的两小球、 ，
在同一条光滑水平轨道上运动，速度分别为、 ,若两球
发生弹性碰撞，设碰后两球速度分别为、 ；若两球发
生完全非弹性碰撞，设碰后、两球的速度均为 .
（2）过程分析
弹性碰撞 完全非弹性碰撞
特点 动量守恒、机械能守恒. 动量守恒,碰撞后两球粘在一起，
系统损失的动能最大.
列式
结论 系统损失的动能
2 弹性碰撞中特殊情况讨论
（1）当时，若,则,,即两球交换速度.
（2）当时（“一动碰一静”模型）,分析讨论如下表.
, 碰撞后两球交换了速度
, 碰撞后两小球沿同一方向运动
, 碰撞后球速度不变,球以 的速度被撞出去
, 碰撞后 球被反弹
, 碰撞后球以原速率反弹,而 球仍静止
学思用·典例详解
例3-4 如图1-5-7所示，质量为 的滑块静止于光滑的水平面上，一质量为
的小球以 的速率向右运动.
图1-5-7
（1）若小球碰到滑块后又以 的速率被弹回，求滑块获得的速度.
【答案】 ，方向水平向右
【解析】小球和滑块组成的系统，在水平方向上不受外力，竖直方向上所受合力为
零，系统动量守恒，以小球初速度方向为正方向，由动量守恒定律有
代入数据解得 ，方向水平向右.
（2）若小球碰到滑块后两者粘在一起运动，求之后的共同速度.
【答案】 ,方向水平向右
【解析】若小球碰到滑块后两者粘在一起运动，由动量守恒定律有
代入数据解得之后的共同速度为
，方向水平向右.
（3）若小球与滑块的碰撞没有能量损失，求碰撞后小球、滑块的速度.
【答案】小球的速度大小为 ,方向水平向左
滑块的速度大小为 ,方向水平向右
【解析】根据动量守恒定律有
小球与滑块的碰撞没有能量损失，碰撞过程中机械能守恒，有
联立解得，
即碰后瞬间小球速度大小为,方向水平向左，滑块的速度大小为 ,方向水平
向右.
探考法 教材深挖
深挖点 爆炸问题模型
链接教材第27页“发展空间”爆炸
1 概念
爆炸是指在极短时间内释放出大量能量，产生高
温，并放出大量气体，在周围介质中造成高压的化学反应或状态变化.
2 爆炸遵循的规律
规律 说明
动量守恒 爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远大于系统
所受外力，所以在爆炸过程中系统的总动量守恒.
机械能增加 在爆炸过程中，有其他形式的能量（如炸药的化学能）转化为机械
能，所以爆炸后系统的机械能增加.
位移不变 爆炸的时间极短，因此作用过程中物体产生的位移很小，一般可以忽
略不计，可以认为爆炸后物体仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运
动.
3 爆炸和碰撞的比较
爆炸 碰撞
不同点 系统的机械能会增加，有其他形式 的能转化为机械能. 系统的机械能不会增加，一般会减
少，机械能转化为内能.
相同点 相互作用时间极短，相互作用力为变力，且远大于系统所受外力，满足 动量守恒定律. 明考向·出题考法
图1-5-8
例5 （2025·江苏连云港期中）如图1-5-8所示，设质量为 的
炮弹运动到空中最高点时速度为 ，此时突然炸成两块，质量为
的弹头以速度沿 的方向飞去，另一块弹片
以大小为的速度沿 的反方向飞去．求：
（1） 的大小；
【答案】
【解析】规定 的方向为正方向，爆炸瞬间，弹头和另一块弹片组成的系统动量守
恒,有
代入数据解得 .
（2）爆炸过程中炮弹增加的动能.
【答案】
【解析】爆炸前炮弹的动能为
爆炸后系统的动能
故爆炸过程中炮弹增加的动能为
．
解题课丨关键能力构建
题型1 对碰撞问题合理性的分析
例6 甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动,已知它们的动量分别是 ,
,甲追上乙并发生碰撞,碰撞后乙球的动量变为 ，则
两球质量与 的关系可能是( )
C
A. B. C. D.
建构导图明思路
【解析】
碰撞合理性的三个制约因素
动量 制约 碰撞过程中，碰撞双方构成的系统,总动量应该守恒，即 .
动能 制约 碰撞结束时,碰撞双方构成的系统,总动能不会增加，即
.
运动 制约 碰撞前、后，碰撞双方运动速度之间的关系必须合理.如果碰前两物体同向
运动,有 ，否则无法实现碰撞.碰撞后,原来在前的物体的速度一定增
大,若碰后两物体同向运动，有 ，否则碰撞还没有结束.
【学会了吗丨变式题】
1.质量相等的、两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动， 球的速度为
，球的速度为，当球追上球时发生碰撞，则碰撞后、 两球的速度
可能为( )
C
A.、 B.、
C.、 D.、
【解析】研究、 球组成的系统，通过计算可知，A选项中速度不满足碰撞前后系
统动量守恒；B选项中碰后的速度大于 的速度,不符合实际；C选项中，碰撞前后
系统动量守恒，碰撞后的动能小于碰撞前的动能，说明碰撞过程中系统有动能损失，
是合理的；D选项中，系统碰撞后的动能大于碰撞前的动能,不符合动能制约关系.
题型2 碰撞过程的图像问题
图1-5-9
例7 物块、在水平面上沿同一直线同向滑行，追上
后发生碰撞，碰撞时间 极短，如图1-5-9为两物块运动
的图像，两图线在碰撞前、后均平行.已知 的质量
为 ,则( )
D
A.物块的质量为
B.两图线交点的纵坐标为
C.碰撞过程中系统的机械能守恒
D.两物块在 时间内受水平面摩擦力作用的冲量不相同
信息提取析题意
【解析】以碰撞前物块的速度方向为正方向，结合题图可知，碰撞前 的速度为
，的速度为，碰撞后的速度为， 的速度为
，、 碰撞过程动量守恒，根据动量守恒定律有
，代入数据解得 ,选项A错误；两图线交点表
示该时刻、的速度相同，根据动量守恒定律，有 ，
解得 ，选项B错误；碰撞前系统的动能为
，碰撞后系统的动能为
，由于 ，所以系统机械能不守恒，选项C错
误；两物块在碰前做匀减速运动的加速度相同，根据 可知两物块与地面间的
动摩擦因数相同，根据知，在 时间内两物块受水平面摩擦力作用的冲
量不相同，选项D正确.
根据图像分析碰撞问题的思路
【学会了吗丨变式题】
图1-5-10
2.（2022·北京卷）质量为和 的两个物体在光滑水平
面上正碰，其位置坐标随时间 变化的图像如图1-5-10所
示.下列说法正确的是( )
C
A.碰撞前的速率大于 的速率
B.碰撞后的速率大于 的速率
C.碰撞后的动量大于 的动量
D.碰撞后的动能小于 的动能
【解析】图像的斜率表示物体运动的速度，由题图可知，碰前 保持静止，
的速度为,选项A错误；碰撞后 的速度为
,的速度为,负号说明 反向弹回，
则碰撞后二者速度大小相等，选项B错误；碰撞后反向弹回，以开始时 的速度
方向为正方向，由动量守恒定律有，代入数据解得 ，
又碰撞后二者速度大小相等，因此碰撞后的动量大于的动量， 的动能大于
的动能，选项C正确，D错误.
题型3 多次碰撞的综合问题
图1-5-11
例8 如图1-5-11所示，装置的左边是足够长的
光滑水平台面，一轻质弹簧左端固定，右端
连接着质量的小物块 ．装置的中间
是水平传送带，它与左右两边的台面等高，
并能平滑对接.传送带始终以 的速
率逆时针转动.装置的右边是一段与光滑的水平台面连接的光滑曲面，质量
的小物块从曲面上距水平台面处由静止释放.已知物块 与传送带之间的
动摩擦因数，传送带的长度.设物块、 之间发生的是对心弹性碰撞，
第一次碰撞前物块静止.取 .
（1）求物块与物块 第一次碰撞前的速度大小.
【答案】
【解析】设滑到曲面底部时速度为，由机械能守恒定律得
代入数据解得
由于，刚滑到传送带上时做匀减速运动.设 一直减速滑过传送带，到达传送
带左端的速度为，由动能定理得
代入数据解得
由于仍大于，说明假设成立，即与第一次碰撞前速度大小为 .
（2）通过计算说明物块与物块 第一次碰撞后能否运动到右边曲面上.
【答案】不能
【解析】设第一次碰撞后的速度为，的速度为 ，取向左为正方向，由动量
守恒定律得
由机械能守恒定律得
代入数据解得，表明碰后以 的速度向右反弹
B滑上传送带后在摩擦力的作用下向右做匀减速运动，设向右运动的最大位移为
，由动能定理得
代入数据解得
因，故运动到传送带的右端点处速度恰好减为零，故 不能滑上右边曲面.
（3）如果物块、每次碰撞后，物块 再回到原来静止的位置时都会立即被锁定，
而当它们再次碰撞前锁定被解除，试求出物块第 次碰撞后反弹的速度大小.
【答案】
【解析】 的速度减为零后，将在传送带的作用下向左做匀加速运动，加速度大小与
向右做匀减速运动时相等，且由于小于传送带的速度，故 向左返回到平台上
时速度大小仍为 .
由于第二次碰撞仍为对心弹性碰撞，故由（2）中的关系可知碰后 仍然反弹，且碰
后速度大小仍为碰前的，即
同理可知，每次碰后都将被传送带带回与 发生下一次碰撞
则与碰撞次后反弹的速度大小为 .
思路点拨 物块沿光滑曲面下滑到水平台面的过程机械能守恒，物块、 的碰撞是
对心弹性碰撞，遵循动量守恒定律和机械能守恒定律，当物块 在传送带上向右运动
的速度为零时，将会沿传送带向左加速，继而与物块 发生第二次碰撞，同理可以发
生第三次碰撞、第四次碰撞……可根据每次碰撞后物块的速度表达式推理归纳出
次碰撞后的速度大小.
分析多次碰撞问题的要点
多次碰撞问题通常为多过程问题，且多与传送带、弹簧等联系.分析求解时要注意以
下几点：
（1）要弄清物体的运动过程，特别是有往返运动的物体的运动过程.
（2）要准确把握每个运动过程所遵守的物理规律，特别要掌握弹性碰撞过程中动量
和机械能均守恒，两物体质量相等时交换速度.
（3）要注意寻找每次碰撞后的速度与碰撞前的速度的关系，灵活运用数学知识进行
推理、归纳，确定次碰撞后速度的通用表达式.
【学会了吗丨变式题】
图1-5-12
3.如图1-5-12所示，在水平面上有一弹簧，其
左端与墙壁相连，点为弹簧原长位置， 点
左侧水平面光滑，长 ，一与水平
方向成 角的足够长的传送带和水平
面在点平滑连接，传送带逆时针转动，速率.一质量为 、可视为
质点的物块压缩弹簧（与弹簧不拴接），使弹簧获得弹性势能 ，另一与物
块完全相同的物块停在点， 与传送带间的动摩擦因数，物块、与
段间的动摩擦因数，传送带足够长，与 的碰撞时间及碰撞过程中的能量
损失不计，重力加速度，现释放 ，求：
（1）物块第一次经过点时的速度大小 ；
【答案】
【解析】物块第一次到达点时弹簧恢复原长，由机械能守恒定律得
代入数据解得 .
（2）、第一次碰撞后沿传送带上滑的最大位移大小 ；
【答案】
【解析】设第一次碰前的速度为，则从释放到、 第一次相碰，由能量守恒
定律有
代入数据解得
设、第一次碰撞后的速度分别为、，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
代入数据解得，，即、 交换速度
此后沿传送带向上做匀减速运动直至速度为零，加速度大小设为 ，设做匀减速运
动的时间为 ,则有
解得
由运动学公式得，
代入数据解得， .
（3）从、第一次碰撞后到第二次碰撞前， 与传送带之间由于摩擦而产生的热量
；
【答案】
【解析】物块与碰后至沿传送带向上运动到最高点的过程，物块 与传送带的相
对运动路程
B运动至最高点后反向加速，加速度大小仍为，， ,故物块 与传
送带共速后匀速运动，直至与再次碰撞，设做匀加速运动的时间为 ,位移大小为
,由运动学公式得，
解得，
此过程物块 与传送带的相对运动路程
则 第一次滑上又滑下传送带的过程产生的热量
解得 .
（4）、 能够碰撞的总次数.
【答案】6
【解析】与第二次碰撞，两者速度再次互换，此后向左运动再返回与碰撞，
沿传送带向上运动再以原速率返回，每次碰前到再次碰后， 的速率相等，重
复这一过程直至两者不再碰撞.
设重复这一过程的次数为，则对、 和弹簧组成的系统，从第二次碰撞后到不再
碰撞，由能量守恒定律有
解得，取取整数，所以、能够碰撞的总次数为 .
提素养 深度学习
微专题 碰撞模型拓展及临界问题
1 模型分析
碰撞的特点是动量守恒，动能不增加.两个物体的相互作用在满足动量守恒定律的条
件下经常可当成碰撞处理.此类问题经常涉及相互作用的两物体相距“最近”“最远”或
“恰能上升到最高点”等临界情况，其中蕴含的信息是“速度相等”，两物体从开始相
互作用到“速度相等”的过程，往往可以看作完全非弹性碰撞.
2 常见模型及临界条件
模型 规律 临界条件
弹簧模型 ___________________________________ （水平面光滑） 从弹簧开始被压缩至压缩到最短阶段，可 看成完全非弹性碰撞，系统动量守恒，能 量守恒.有 ， . 当弹簧被压缩到
最短时,两个滑块
的速度相等.
模型 规律 临界条件
弹簧模型 ___________________________________ （水平面光滑） 从弹簧开始被压缩至恢复原长的过程，可 看成弹性碰撞过程，系统动量守恒，机械 能守恒.有 ， . 当弹簧被压缩到
最短时,两个滑块
的速度相等.
续表
模型 规律 临界条件
子弹打木块模型 ___________________________________ （水平面光滑） 子弹打入木块未穿出，子弹和木块最终共 速，可看成完全非弹性碰撞，系统动量守 恒、能量守恒.有 ， . 子弹相对木块静
止时，子弹和木
块速度相等，子
弹打入木块的深
度最大.
续表
模型 规律 临界条件
连接体模型 ___________________________________________________ （水平面光滑，轻绳 不可伸长） 开始时绳松弛、静止，给 一个初速 度，从绳拉紧到、 具有共同速度的过 程，可看成完全非弹性碰撞过程，系统动 量守恒，机械能不守恒.轻绳拉紧瞬间有 能量损失.有 ， . 、 相对静止
时，速度相等.
续表
模型 规律 临界条件
光滑圆弧轨道模型 _________________________________ （水平面光滑，圆弧 轨道可自由移动） 小物块沿光滑圆弧轨道上升至最高点 （未脱离轨道）的过程，可看成完全非弹 性碰撞，系统机械能守恒，水平方向动量 守恒.有 ， ， 为小物 块上升的高度. 小物块沿圆弧轨
道上升到最高点
时，小物块速度
和圆弧轨道的速
度相等.
续表
模型 规律 临界条件
光滑圆弧轨道模型 _________________________________ （水平面光滑，圆弧 轨道可自由移动） 从小物块滑上圆弧轨道到返回水平面的过 程，可看成弹性碰撞过程，系统机械能守 恒，水平方向动量守恒.有 ， . 小物块沿圆弧轨
道上升到最高点
时，小物块速度
和圆弧轨道的速
度相等.
续表
模型 规律 临界条件
滑块—滑板模型 _________________________________ （水平面光滑） 滑块以速度 滑上静止的滑板时，可看成 非弹性碰撞过程，当滑块在滑板上滑行的 距离最远时（未滑出滑板），整个过程可 看成完全非弹性碰撞过程，系统动量守 恒，能量守恒.有 , . 滑块相对滑板静
止时，滑块在滑
板上滑行的距离
最远，滑块和滑
板的速度相等.
续表
3 典例详析
类型1 弹簧模型
例9 （2025·山东泰安肥城一中月考）如图1-5-13所示，光滑水平直轨道上有三个质
量均为的物块、、 的左侧连接一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质量不计）.开始
时以速度朝运动，压缩弹簧，当、速度相等时，与 恰好相碰并粘在一起，
然后继续运动.假设和 碰撞过程时间极短，求：
图1-5-13
（1）碰撞过程中 物块受到的冲量大小;
【答案】
【解析】从压缩弹簧到与具有相同速度，对、 与弹簧组成的系统，以向右为
正方向，设、的共同速度为，由动量守恒定律得
解得
、共速时与发生完全非弹性碰撞，设碰撞后、的瞬时速度为,对、 组成
的系统，由动量守恒定律（、碰撞过程内力远大于外力.）得
解得
、碰撞过程，对，由动量定理得
解得 .
. .
. .
（2）从 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，整个系统损失的机械能;
【答案】
【解析】从开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，系统仅在、 发生完全非弹
性碰撞时有机械能损失，设损失的机械能为 ，由能量守恒定律有
解得 .
（3）弹簧被压缩到最短时的弹性势能.
【答案】
【解析】由（1）可知,故、碰撞后，将继续压缩弹簧，直至、、 三
者速度相同，设此速度为，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能设为 .由动量守
恒定律和能量守恒定律得
联立解得 .
信息提取析题意
题眼 关键点
与 恰好相碰并粘在一起 、 的碰撞为完全非弹性碰撞.
弹簧被压缩到最短 、、 三者共速.
类型2 子弹打木块模型
例10 一质量、棱长 的正方体木块放置在光滑的水平面上，
现有一质量的子弹，以 的速度水平射向木块，子弹的速
度方向与木块表面垂直，如果用钉子将木块固定在桌上，则子弹可穿过木块，穿过
后子弹的速度变为 .
（1）求子弹穿过木块的过程中受到的平均阻力大小 ；
【答案】
【解析】子弹穿过木块的过程中，对子弹，由动能定理得
代入数据解得 .
（2）如果木块不固定，试推理判断子弹能否穿过木块；
【答案】子弹能穿过木块
【解析】如果木块不固定，子弹击中木块的过程系统动量守恒，设子弹恰好射穿木
块时木块的棱长为，木块和子弹的速度均为 ，以子弹的速度方向为正方向，由动
量守恒定律得
由能量守恒定律得
代入数据解得 ，因此子弹能穿过木块.
（3）在（2）的情况下，木块和子弹的最终速度分别为多大？
【答案】
【解析】子弹射穿木块过程系统动量守恒，设最终子弹的速度为,木块的速度为 ,
以子弹的速度方向为正方向，由动量守恒定律得
由能量守恒定律得
代入数据解得，，不符合实际，舍去 .
建构导图明思路
（1）
（2）（3）
子弹打木块模型的分析方法
子弹打木块模型和滑块—滑板模型类似,都是通过滑动摩擦力发生相互作用,当系统所
受合外力为零时系统的动量守恒,系统的机械能一般不守恒，多用动能定理、功能关
系求解.
子弹打木块模型涉及下列几条主要的力学规律.
动力学规律 由于组成系统的两物体受到大小相同、方向相反的一对相互作用
力，故两物体的加速度大小与质量成反比，方向相反.
运动学规律 “子弹”穿过“木块”可看作两个做匀变速直线运动的物体间的相对运动
问题.在一段时间内“子弹”射入“木块”的深度，就是这段时间内两者
相对位移的大小.
动量规律 由于系统不受外力作用，故而遵从动量守恒定律.
能量规律 由于系统摩擦力做负功，系统动能减少,转化为内能，力对“子弹”做
的功等于“子弹”动能的减少量，力对“木块”做的功等于“木块”动能的
增加量.
类型3 连接体模型
例11 如图1-5-14所示,光滑水平路面上,有一质量为 的无动力小车以速率
向前行驶,小车由轻绳与另一质量为 的车厢连接,车厢右端有一
质量为的物体（可视为质点）,物体与车厢之间的动摩擦因数为 ,开
始时物体静止在车厢上,绳子是松弛的.取 ，求:
图1-5-14
（1）当小车、车厢、物体以共同速度运动时,物体相对车厢的位移大小（设物体不
会从车厢上滑下）;
【答案】
【解析】绳从伸直到拉紧的时间极短,在此过程中,可认为物体仍处于静止状态,小车
与车厢动量守恒,设小车与车厢的共同速度为 ,以小车和车厢为研究对象,由动量守
恒定律有
解得
绳拉紧后,物体与车厢发生相对滑动,最终小车、车厢和物体三者相对静止,具有共同
速度.再将小车、车厢和物体三者看成一个系统,系统动量守恒,设它们最后的共同速
度为 ,则由动量守恒定律有
解得
设物体相对车厢的位移为 ,则在此过程中由能量守恒定律有
解得 .
（2）从绳拉紧到小车、车厢、物体具有共同速度所需的时间.
【答案】
【解析】对物体,由动量定理有
解得
所以,从绳拉紧到小车、车厢、物体具有共同速度所需时间为 .
思路点拨本题中小车与车厢间由松弛的绳子相连接，必须明确在绳拉紧瞬间，物体
仍处于静止状态，而小车与车厢则有共同的速度，相当于两者之间发生了完全非弹
性碰撞，两者组成的系统机械能不守恒.
分析绳连接体相互作用问题的要点
在绳连接体中，物体与物体之间的相互作用是通过轻绳发生的,因为绳子不可伸长且
不考虑质量，则：
（1）绳连接体作用时间极短,内力很大，这时不管系统受不受外力作用,一般都可以
视为动量守恒.
（2）绳虽不可伸长,但有能量损失.物体间的相互作用是通过绳子传递的,且绳子受力
后系统会有一部分动能转化为绳子的内能.所谓绳子“不可伸长”,只是说明绳连接体间
相互作用时间短,而不是说绳子在物体相互作用的过程中不消耗能量.
类型4 光滑圆弧轨道模型
例12 如图1-5-15所示，在光滑水平面上有一个长为的木板 ，上表面粗糙，在其左
端有一个光滑的圆弧槽, 与长木板接触但不连接，且下端与木板的上表面相平，
、静止在水平面上.某时刻滑块以初速度从右端滑上并以的速度滑离 ，恰
好能到达的最高点.、、的质量均为，重力加速度为 ，试求：
图1-5-15
（1）滑块与木板上表面间的动摩擦因数 ；
【答案】
【解析】当在上滑动时，与、整体发生相互作用，由于水平面光滑，与 、
组成的系统动量守恒，以水平向左为正方向，由动量守恒定律得
①
由能量守恒定律知，系统动能的减少量等于、 发生相对滑动的过程中产生的内能,即
②
联立①②解得， ③.
（2）圆弧槽的半径 ；
【答案】
【解析】当滑上时，与分离，、发生相互作用. 到达最高点时两者的速度
相等，设为，、 组成的系统在水平方向动量守恒，有
④
A、 组成的系统机械能守恒，有
⑤
联立③④⑤解得 .
（3）、 最终分离时，各自的速度大小.
【答案】、的速度大小分别为、
【解析】滑上后，与分离，只有与发生相互作用，的速度一直为 ，设
滑离时，的速度大小为，的速度大小为，对与 组成的系统，由动量守
恒定律得
由系统能量守恒得
联立解得，，故另一解舍去 .
信息提取析题意
题眼 关键点
光滑水平面 、、 组成的系统水平方向动量守恒.
滑块恰好能到达 的最高点 和 具有共同的速度.
类型5 滑块—滑板模型
例14 （2025·陕西西安市铁一中学月考）如图1-5-16，一长木板在光滑的水平面上以
速度 向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速度地轻放在木板最右端.已知滑块和
木板的质量分别为和，它们之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 .
图1-5-16
（1）滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小；
【答案】
【解析】由于水平面光滑，则木板与滑块组成的系统动量守恒，规定向右为正方向，则
解得 .
（2）某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离；
【答案】
【解析】由于木板速度是滑块的2倍，则有
根据动量守恒定律有
联立解得，
根据功能关系有
解得此时滑块到木板最右端的距离 .
（3）若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保
持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所
做的功.
【答案】
【解析】由于木板保持匀速直线运动，则有
对滑块进行受力分析，并根据牛顿第二定律有
滑块相对木板静止时有
解得
整个过程中木板滑动的距离为
外力所做的功为 .
考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 碰撞的特点，弹性碰撞的规律. 1.了解弹性碰撞和非弹性碰撞的特
点，能用证据分析解释弹性碰撞和
非弹性碰撞问题.
2.能在熟悉的问题情境中根据实际
情况选择弹性碰撞或非弹性碰撞模
型解决物理问题.
热点及难点 多物体碰撞问题，碰撞中的综 合问题. 题型及难度 以计算题为主，难度中等偏上. 高考中地位 高考常考内容之一，多与其他 知识综合命题. 考向1 考查弹性碰撞问题
例14 （2024·广东卷，多选）如图1-5-17所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两
个相同滑块，分别从、高度同时由静止开始下滑.斜坡与水平面在 处平滑相
接，滑块与水平面间的动摩擦因数为 ，乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞.忽略
空气阻力.下列说法正确的有( )
ABD
图1-5-17
A.甲在斜坡上运动时与乙相对静止
B.碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度
C.乙的运动时间与 无关
D.甲最终停止位置与处相距
本题以两相同滑块在斜坡和水平面上的运动为素材，创设了探究两滑块的运动规律、
碰撞过程中的动量和能量变化关系的问题情境，主要考查弹性碰撞、动量守恒定律
和能量守恒定律等知识点，重点考查考生的理解能力和推理论证能力.
【解析】
【类题链接丨变式题】
类题1 （2024·广西卷，多选）如图1-5-18，在光滑平台上有两个相同的弹性小球
和水平向右运动，速度大小为与静置于平台边缘的 发生正碰，碰撞过程中
总机械能守恒.若不计空气阻力，则碰撞后， 在( )
BC
图1-5-18
A.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C.水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于
D.水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于
【解析】由于两小球碰撞过程中机械能守恒，可知两小球碰撞过程是弹性碰撞，根
据动量守恒定律和能量守恒定律可知， ，
由于两小球质量相等，故碰撞后两小球交换速度，即，，碰后小球
做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，即水平地面上的垂直投影的运动速度大
小等于 ；在竖直方向上做自由落体运动，即竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速
运动.故选B、C.
考向2 考查经典模型—— 子弹打木块
例15 （2024·湖北卷，多选）如图1-5-19所示，在光滑水平面上静止放置一质量为 、
长为的木块，质量为 的子弹水平射入木块.设子弹在木块内运动过程中受到的阻力
不变，其大小与射入初速度大小成正比，即为已知常数 .改变子弹的
初速度大小 ，若木块获得的速度最大，则( )
AD
图1-5-19
A.子弹的初速度大小为
B.子弹在木块中运动的时间为
C.木块和子弹损失的总动能为
D.木块在加速过程中运动的距离为
信息提取析题意
提取有效信息 信息加工与模型建构
光滑水平面 子弹和木块组成的系统所受合外力为零，系统动
量守恒.
子弹在木块内运动过程中受到 的阻力不变 子弹和木块所受合力均为恒力，子弹和木块均做
匀变速直线运动.
【解析】
设子弹未击穿木块（留在木块中与木块一起运动）或击穿木块后的速度为 ，木块
获得的速度为 .
第一种情况：子弹未击穿木块
第二种情况：子弹击穿了木块
（用平均速度求位移）
设击穿木块的时间为 .
（用函数求极值）
综上，当子弹刚好击穿（或刚好未击穿）木块时 ，木块获得的速度最大，
最大速度 .以下为基于“解法1”的推理论证过程：
推理依据 推理结果 选项判断
A项正确
B项错误
C项错误
D项正确
命题 探源 本题是教材第35页“本章复习题”第9题的改编题，以“子弹打木块”为背景素
材，创设寻求物体获得最大速度的临界状态的学习探索问题情境，“子弹打
木块”模型是最典型的中学物理模型之一，各版本教材中都有同源情境，考
生应透彻理解并引起重视.
素养 探源 核心素养 考查途径
物理观念 通过子弹击中木块前后及子弹在木块中的运动，考查动量守
恒定律、匀变速直线运动公式、牛顿第二定律及功能关系等
知识的应用，考查考生对基本概念和规律的掌握情况，以及
物理观念中的运动观念和能量观念.
科学思维 本题综合考查动量守恒定律、匀变速直线运动公式、牛顿第
二定律及功能关系等，要求考生能够灵活运用相关知识解决
问题，考查考生的信息获取与加工能力、模型建构能力、逻
辑推理与论证能力.本题中用函数求极值的方法求解，计算量
大，对数学方法的应用要求很高，容易让人望而生畏，最终
不能得出正确的结果.
续表
考向3 考查多过程中的动量问题
例16 （2024·山东卷）如图1-5-20甲所示，质量为 的轨道静止在光滑水平面上，轨
道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在点平滑连接，
为轨道的最高点.质量为 的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦
因数为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.已知轨道半圆形部分的半径 ，重
力加速度大小 .
图1-5-20
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到 点时，受到轨道的弹力大
小等于，求小物块在点的速度大小 ；
【答案】
【解析】根据题意可知，小物块在点，由合力提供向心力有
代入数据解得 .
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力 ，小物块处在轨道水平部分时，
轨道加速度与 对应关系如图乙所示.
（i）求 和 ；
【答案】
【解析】根据题意可知，当 时，小物块与轨道一起向左加速运动，根据牛顿
第二定律可知
根据图乙有
当外力时，轨道与小物块发生相对滑动，则对轨道有 ，即
结合图乙有斜率
纵截距
联立以上各式可得，， .
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力 ，当
小物块到点时撤去，小物块从点离开轨道时相对地面的速度大小为 .求轨
道水平部分的长度 .
【答案】
【解析】小物块的加速度大小为，由图乙可知，当 时，轨
道的加速度大小为
设小物块经过时间运动到点，则此时轨道的速度大小 ，小物块的速度大
小
小物块从点运动到 点的过程中，系统机械能守恒，有
小物块从点运动到 点的过程中，系统水平方向动量守恒，以水平向左为正方向，
则有
其中，,为小物块离开点时的速度， 为此时轨道的速度.
联立解得（另一解，该解不满足 ,故不符合题意，舍去）
根据运动学公式有
代入数据解得 .
本题以水平与半圆形轨道和物块组成的系统为素材，考查了圆周运动与动量守恒的综
合问题，涉及多个运动过程的分析，主要考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、圆
周运动、匀变速直线运动等知识的应用，重点考查考生的理解能力与推理论证能力.
信息提取析题意
提取有效信息 信息加工与模型建构
光滑水平面 如果轨道不受推力，则轨道和物块组成的系统在水平方向上所
受合力为零，系统在水平方向上动量守恒.
竖直半圆形部分的 表面光滑 小物块在竖直轨道上运动时，小物块和轨道组成的系统机械能
守恒.
图像 之前，物块和轨道相对静止，加速度相同； 之
后，物块和轨道开始相对滑动.
【类题链接丨变式题】
图1-5-21
类题2 （2024·天津卷）如图1-5-21所示，光滑半圆轨道直径
沿竖直方向，最低点与水平面相切.对静置于轨道最低点的小
球施加水平向左的瞬时冲量， 沿轨道运动到最高点时，与
用轻绳悬挂的静止小球正碰并粘在一起.已知 ，
、的质量分别为、 ，轨道半径和绳
长均为 ，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加
速度取 ，不计空气阻力.求：
（1）与碰前瞬间 的速度大小；
【答案】
【解析】根据题意，设小球从最低点开始运动时的速度大小为 ，由动量定理有
设与碰前瞬间的速度大小为， 沿轨道从最低点到最高点，由动能定理有
联立并代入数据解得 .
（2）、 碰后瞬间轻绳的拉力大小.
【答案】
【解析】与用轻绳悬挂的静止小球 正碰并粘在一起，由动量守恒定律有
设、碰后瞬间轻绳的拉力大小为 ，由牛顿第二定律有
联立并代入数据解得 .
图1-5-22
类题3 （2024· 黑吉辽卷）如图1-5-22，高度
的水平桌面上放置两个相同物块、 ，质
量.、间夹一压缩量
的轻弹簧，弹簧与、不拴接.同时由静止释放 、
，弹簧恢复原长时 恰好从桌面左端沿水平方向飞
出，水平射程； 脱离弹簧后沿桌面滑行
一段距离后停止.、 均视为质点，取
重力加速度 .求：
（1）脱离弹簧时、的速度大小和 ；
【答案】
【解析】对 物块，由平抛运动知识得
，
代入数据解得，脱离弹簧时的速度大小为
A、 物块质量相等，同时受到大小相等、方向相反的弹簧弹力及大小相等、方向相
反的摩擦力，则、物块整体动量守恒，根据动量守恒定律有
解得脱离弹簧时的速度大小为 .
（2）物块与桌面间的动摩擦因数 ；
【答案】0.2
【解析】对物块，由动能定理有
代入数据解得，物块与桌面间的动摩擦因数为 .
（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能 .
【答案】
【解析】对、 与弹簧相互作用的过程，由能量守恒定律知
其中，
解得整个过程中，弹簧释放的弹性势能 .
类题4 （2024·浙江1月选考科目试题）某固定装置的竖直截面如图1-5-23所示，由倾
角 的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为
的直轨道，半径为、圆心角为 的圆弧管道 组成，轨道间平滑连接.在轨道末
端的右侧光滑水平面上紧靠着质量的滑块，其上表面与轨道末端 所在
的水平面平齐.质量的小物块从轨道上高度为 处由静止释放，经圆弧
轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块 向上运动时与轨道间动摩
擦因数 ，
向下运动时与轨道间动摩擦因数 ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当小物
块在滑块上滑动时与滑块上表面间动摩擦因数恒为，小物块 运动到滑块右侧
的竖直挡板处能发生完全弹性碰撞.（其他轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气
阻力，，，取 ）
图1-5-23
（1）若 ，求小物块：
【解析】①对小物块从到第一次经过 的过程，根据机械能守恒定律有
第一次经过点的向心加速度大小为
联立解得 .
①第一次经过 点的向心加速度大小；
【答案】
②在 上经过的总路程；
【答案】
【解析】当时，由几何知识知，、间高度小于、间高度，故小物块
不能到达 点
小物块在上运动时，因为 ，所以小物块每次在 上升
至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在 上的滑动，机械能不断减小，最终小
物块将在、间做往复运动（【点拨】小物块在、 两点速度恰好为零.），且易
知小物块每次在 上向上运动和
向下运动的距离相等，设其在上经过的总路程为 ，根据功能关系有
解得 .
. .
. .
. .
. .
③在上向上运动时间和向下运动时间 之比.
【答案】
【解析】根据牛顿第二定律可知小物块在 上向上运动和向下运动的加速度大小
分别为
将小物块在 上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学
公式有
解得 .
（2）若 ，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块？
【答案】
【解析】假设小物块能到达点，对小物块从到 的过程，根据动能定理有
解得 ，假设成立
设滑块长度为时，小物块恰好不脱离滑块，则小物块返回滑块 左端时，二者刚
好达到共同速度，根据动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
故滑块长度至少为 才能使小物块不脱离滑块.
信息提取析题意
提取有效信息 信息加工与模型建构
光滑水平面 物块滑上滑块后，、 组成的系统动量守恒.
发生完全弹性碰撞 物块与滑块 组成的系统动量守恒，机械能无损失.
使小物块不脱离滑块 小物块撞击挡板反弹后，与滑块达到共速时小物块不脱
离滑块.
新考法 开放探究
考法解读力学综合问题的求解离不开力学三大观点：以牛顿运动定律和匀变速直线
运动规律为核心的力的观点、以动能定理和机械能守恒定律为核心的能的观点、以
动量定理和动量守恒定律为核心的动量的观点，这类问题常以计算题的形式出现，
往往涉及多个物体、多个过程，通常还会涉及临界问题、多解问题、分类讨论等开
放性问题，综合性比较强，常常作为压轴题出现.
图1-5-24
例17 （2024·安徽卷）如图1-5-24所示，一实
验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙
水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道.圆弧轨道
与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静
止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细
线悬挂于 点正下方，并轻靠在物块左侧.现将
细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球
运动到最低点时与物块发生弹性碰撞.碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细
线长.小球质量.物块、小车质量均为 .小车上的水
平轨道长.圆弧轨道半径 .小球、物块均可视为质点.不计空气阻
力，重力加速度取 .
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
【答案】
【解析】对小球由细线水平位置摆动到最低点的过程，由动能定理有
解得
在最低点，对小球，由牛顿第二定律有
解得小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为 .
（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
【答案】
【解析】小球与物块发生弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为
.
（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的
动摩擦因数 的取值范围.
【答案】
【解析】若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对物块与小车整
体，由水平方向动量守恒有
由能量守恒定律有
解得
若物块恰好运动到圆弧轨道最高点，此时两者共速，则对物块与小车整体，由水平
方向动量守恒有
由能量守恒定律有
解得
综上所述，物块与水平轨道间的动摩擦因数 的取值范围为 .
考法创新 本题以小球、物块碰撞后再与小车相互作用为素材，创设了科学探究问题
情境，汇集了“绳球”模型、弹性碰撞、“板块”模型等典型模型，第（3）问求动摩擦
因数 的取值范围，需要讨论 取最小值时的临界状态和 取最大值时的临界状态，
很好地考查了考生的分析综合能力和推理论证能力.
信息提取析题意
关键表述 物理量及其关系
将细线拉直到水平位置 时，静止释放小球，小球 运动到最低点时与物块发 生弹性碰撞 小球由细线水平位置做圆周运动到最低点，机械能守
恒，细线对小球的拉力和小球的重力的合力提供小球
做圆周运动所需要的向心力；小球与物块在最低点发
生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒、机械能守恒.
为使物块能进入圆弧轨 道，且在上升阶段不脱离 小车 物块能进入且不脱离圆弧轨道，临界状态为恰好到达
圆弧轨道最低点或最高点时，物块与小车共速.
【类题链接丨变式题】
图1-5-25
类题5 （2024·湖北卷）如图1-5-25所示，水平传送带
以 的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距
离为.传送带右端的正上方有一悬点 ，用长为
、不可伸长的轻绳悬挂一质量为 的小球，
小球与传送带上表面平齐但不接触.在点右侧的 点固
定一钉子，点与点等高.将质量为 的小物块无
初速度轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬
间小物块的速度大小为、方向水平向左.小球碰后绕 点做圆周运动，当轻绳被
钉子挡住后，小球继续绕点向上运动.已知小物块与传送带间的动摩擦因数为 ，
重力加速度大小 .
（1）求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
【答案】
【解析】根据题意，小物块在传送带上运动，由牛顿第二定律有
解得
由运动学公式可得，小物块与传送带共速时运动的距离为
可知，小物块运动到传送带右端前就与传送带共速，即小物块与小球碰撞前瞬间，
小物块的速度大小等于传送带的速度大小 .
（2）求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
【答案】
【解析】小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，小物块与小球组成的系统
动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律有 ，其中
，
解得
小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能为
解得 .
（3）若小球运动到点正上方，绳子不松弛，求点到 点的最小距离.
【答案】
【解析】若小球运动到点正上方，绳子恰好不松弛，设此时点到点的距离为 ，
小球在点正上方的速度为，在点正上方，由牛顿第二定律有
小球从点正下方到 点正上方过程中，由机械能守恒定律有
联立解得
即点到点的最小距离为 .
信息提取析题意
提取有效信息 信息加工与模型建构
碰撞时间极短 内力远大于外力，物块与小球碰撞过程中，可认为
系统动量守恒.
小球继续绕 点向上运动 小球运动过程中绳子拉力始终垂直于小球速度方
向，绳子拉力不做功，只有重力对小球做功，小球
的机械能守恒.
小球运动到 点正上方，绳子 不松弛，求点到 点的最小距 离 小球运动到最高点时由重力提供向心力.
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间:25 分钟
1.两个物体碰撞前后，下列说法可以成立的是( )
B
A.作用后的总机械能比作用前大，但总动量守恒
B.作用前后总动量均为零，但总动能守恒
C.作用前后总动能为零，而总动量不为零
D.作用前后总动量守恒，而系统内各物体的动量增量的总和不为零
【解析】碰撞过程作用时间短，作用力强，满足动量守恒的条件，故碰撞过程动量
是守恒的，碰撞后的机械能不可能大于碰撞前的机械能，故A错误；如果质量相同
的两个物体以大小相等的速度相向运动，发生弹性正碰，则作用前后总动量均为零，
且总动能守恒，故B正确；两物体作用前后总动能为零，说明两物体均处于静止状态，
则总动量一定为零，C错误；两物体作用前后总动量守恒，系统内各物体动量增量的
总和即系统总动量的增量应为零，D错误.
2.质量为的甲物块静止在水平面上，质量为 的乙物块在水平面上以一定的
初速度向甲滑去，与甲发生正碰后，两者粘在一起，碰撞过程甲物块受到乙物块的
冲量大小为 ，则碰撞前乙的速度大小为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设碰撞后甲的速度大小为，对甲物块，根据动量定理得 ，
解得，设碰撞前乙的速度大小为 ，取碰撞前乙的速度方向为正方向，
对甲、乙的碰撞过程，根据动量守恒定律得 ，解得
，选项C正确.
3.一支烟花竖直升空后在高为 处的最高点发生爆炸，分为质量不同的两碎块
（水平炸开），两碎块质量之比为，其中小的一块落地时水平位移为 ，则两
碎块落地后相距( )
C
A. B. C. D.
【解析】设两碎块的质量分别为, ,爆炸过程系统动量守恒，以小碎块的速度方
向为正方向，由动量守恒定律得，解得 ,两碎块落地用时相
等，则大碎块落地时水平位移 ,两碎块落地后相距
,选项C正确.
4.［教材第35页“本章复习题”第11题改编］在光滑的水平面上，质量为的小球 以
速度向右运动，在小球的前方点有一质量为（形状与完全相同）的小球
处于静止状态，如图所示.小球与小球发生正碰后小球、均向右运动，小球 在
点处被墙壁弹回，返回时与小球在点相遇， .假设小球间的碰撞及小球
与墙壁之间的碰撞都是弹性碰撞.则( )
C
A. B. C. D.
【解析】两球发生弹性碰撞，设碰后、两球的速度分别为、 ，规定向右为正
方向，根据系统动量守恒得 .已知小球间的碰撞及小球与墙壁之
间的碰撞均无机械能损失，由机械能守恒定律得 ，且从两
球碰撞后到它们再次相遇，两球的速度大小保持不变，由运动学规律有
（【点拨】根据碰后再次相遇的路程关系，求出小球
碰后的速度大小之比.），联立解得 ，选项C正确.
. .
5.经典模型 如图所示，质量为 的木块位于光滑水平面上，木块与墙之间用轻弹
簧连接，开始时木块静止在位置.现有一质量为的子弹以水平速度 射向木块并
嵌入其中，则当木块回到位置时的速度大小以及整个过程中墙对弹簧的冲量 的大
小分别为( )
D
A.， B.，
C.， D.，
【解析】子弹射入木块过程，由于时间极短，子弹与木块间的内力远大于系统外力，
系统的动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得 ，解得
，子弹射入木块后，子弹和木块组成的系统在弹簧弹力的作用下先向右做
减速运动，后向左做加速运动，回到位置时速度大小不变，即木块回到 位置时的
速度大小为 ，子弹和木块及弹簧组成的系统受到的合力等于墙对弹簧的作
用力，根据动量定理得，所以墙对弹簧的冲量 的
大小为 ，选项D正确.
6.（多选）如图所示是质量为的小球和质量为的小球 在光滑
水平面上做对心碰撞前后的 图像，由图可知( )
BD
A.两个小球在碰撞前后总动量不守恒
B.碰撞过程中，损失的动能是
C.碰撞前后， 的动能不变
D.这两个小球的碰撞是弹性碰撞
【解析】根据图像的斜率表示速度，可知球的初速度为， 球的初速度
为，碰撞后球的速度为，碰撞后
球的速度为 ，碰撞前两球总动量为
，碰撞后两球总动量为 ，
故两个小球在碰撞前后总动量守恒，A错误；碰撞过程中， 球的动能变化量为
，即损失的动能是 ，B正确；
碰撞前的动能为0，碰撞后的动能大于零，C错误； 球动能增加量为
，则碰撞前后两球组成的系统的总动能不变，此碰撞是弹性
碰撞，D正确.
7.在核反应堆里，用石墨做减速剂，使铀核裂变所产生的快中子通过与碳核不断碰
撞而减速．假设中子与碳核发生的是弹性正碰，且碰撞前碳核是静止的．已知碳核
的质量近似为中子质量的12倍，中子原来的动能为 ，试求：经过一次碰撞后中子
的动能变为多少.
【答案】
【解析】规定中子的方向为正方向，弹性正碰遵循动量守恒定律和能量守恒定
律．设中子的质量,碳核的质量 ．有
①
②
由上述两式整理得 ③
则经过一次碰撞后中子的动能
.
B 综合练丨选考通关
建议时间:30分钟
8.如图所示，竖直平面内光滑轨道末端与光滑水平桌面相切，小球 静止在轨道的最
低点.现将小球从轨道的最高点无初速度释放.已知，图中 ，重力
加速度，则、碰后小球 的速度大小可能是( )
A
A. B. C. D.
【解析】小球 下滑过程，由机械能守恒定律得
解得
若两球发生的是弹性碰撞，取向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
解得
若两球发生的是完全非弹性碰撞，由动量守恒定律得
解得
所以碰后小球的速度大小范围为
故选A.
9.（2025·山东烟台一中月考，多选）如图所示，在光滑水平面的左侧固定一竖直弹
性挡板，挡板右侧依次放有10个质量均为 的弹性白色小球（在一条直线上），一
质量为的红色小球以与白色小球共线的速度 与1号小球发生弹性正碰，红色小球
反弹后与挡板发生弹性碰撞，碰后速度方向与碰前速度方向相反，两弹性白色小球
碰撞时交换速度，则下列说法正确的是( )
BD
A.10号小球最终速度为 B.10号小球最终速度为
C.红色小球最终速度为 D.红色小球最终速度为
【解析】设红色小球与1号小球碰撞后两球速度分别为和 ，取向右为正方向，
根据动量守恒定律有 ，由能量守恒定律有
，解得， ，白色小球碰撞时交换速度，
故10号小球最终速度为 ，选项A错误，B正确；设红色小球被挡板反弹与1号小球
发生第2次碰撞后速度为，根据动量守恒定律，有 ，根据
能量守恒定律，有，解得 ，依此类推，红
色小球与1号小球碰撞10次后的速度为 ，再被挡板反弹后，红色小球最终速
度为 ，选项C错误，D正确.
10.［2025·八省联考（云南）高考适应性演练，多
选］如图甲所示，内表面光滑的“ ”形槽
固定在水平地面上，完全相同的两物块、
（可视为质点）置于槽的底部中点， 时，
、分别以速度、向相反方向运动，已知 运
动的速度随时间 的变化关系如图乙所示，所有
的碰撞均视为弹性碰撞且碰撞时间极短，下列说
法正确的是( )
BC
A.前17秒内与共碰撞3次 B.初始时的速度大小为
C.前17秒内与槽的侧壁碰撞3次 D.槽内底部长为
【解析】根据弹性碰撞规律可知物块 与槽的侧壁碰后速度大小不变，方向改变，与
碰后交换速度，则根据物块的图像，可知前17秒内与 共碰撞4次，分别发
生在之间、时刻、之间以及时刻，前17秒内 与槽的侧壁碰撞
3次，分别发生在、和时刻，选项A错误，C正确；与 第1次碰前速度大
小为，方向向左，碰后的速度大小为 ，方向向右，因碰后两
物块交换速度，可知碰前的速度大小，即初始时 的速度大小为
，选项B正确；槽内底部长为 ，选项D错误.
11.（2022·广东卷）某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如
图所示的物理模型.竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，
初始时它们处于静止状态.当滑块从处以初速度为 向上滑
动时,受到滑杆的摩擦力为.滑块滑到 处与滑杆发生完全非弹
性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动.已知滑块的质量
，滑杆的质量,、间的距离 ,重力
加速度取 ,不计空气阻力.求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中,桌面对滑杆支持力的大小和 ;
【答案】
【解析】滑块静止时，滑块和滑杆均处于静止状态，以滑块和滑杆整体为研究对象，
由平衡条件可知
滑块向上滑动时，滑杆受重力、滑块对其向上的摩擦力以及桌面的支持力，则有
代入数据得 .
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小 ;
【答案】
【解析】 碰前，滑块向上做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得
解得 ，方向向下
由运动学公式得
代入数据得 .
对滑块，由动能定理得
代入数据解得 .
（3）滑杆向上运动的最大高度 .
【答案】
【解析】滑块和滑杆发生的碰撞为完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律有
代入数据得
此后滑块与滑杆一起竖直向上运动，根据动能定理有
代入数据得 .
12.如图所示，左侧固定着内壁光滑的四分之一圆轨道，轨道半径为 ，右侧水平面
上，一质量为的滑板由水平部分和半径为 的四分之一光滑圆弧构成.质量分别
为和物体、（视为质点）锁定在半圆轨道底端点和滑板左端 点，两者间
有一被压缩的轻质弹簧（未与、 连接）.某时刻解除锁定，压缩的弹簧释放，物体
、瞬间分离.物体向左运动上升到最大高度后即被撤去，物体 与滑板水平部分
的动摩擦因数为 ，重力加速度为 .
（1）求弹簧被锁定时的弹性势能；
【答案】
【解析】 弹开后运动到最高点过程中，由动能定理有
解得
弹簧弹开过程，选向右为正方向，、 系统动量守恒，有
解得
对、 与弹簧组成的系统，由能量守恒定律得弹簧弹性势能
.
（2）若滑板与地面的动摩擦因数为 ，求物体 与滑板摩擦所产生的热量
（已知 ）；
【答案】
【解析】滑上滑板时，对由牛顿第二定律得
解得的加速度
对滑板 ，由牛顿第二定律得
解得滑板加速度
设经过时间物体与滑板共速，速度为 ，此过程
对有
对滑板有
联立解得
Q相对滑板运动位移
Q与滑板摩擦产生的热量 .
（3）若水平面光滑，要使物体 在相对滑板反向运动的过程中，相对地面有向左运
动的速度，求的长度 应满足的条件.
【答案】
【解析】要相对滑板后退且有对地向左运动的速度，即（取不到）对应 滑上
光滑圆弧轨道又退至圆弧轨道底部时速度恰为0，对物体 和滑板组成的系统，根据
动量和能量守恒定律有
解得，
所以 .
C 培优练丨能力提升
建议时间:8分钟
13.如图所示为某种游戏装置的示意图，水平轨道
、 分别与水平传送带左侧、右侧理想连接，
竖直圆形轨道与相切于 .已知传送带长
，且沿顺时针方向以恒定速率匀速转动.两个质量均为 的滑块
、静置于水平轨道上，它们之间有一处于原长的轻弹簧，且弹簧与 连接但不
与连接.另一质量也为的滑块以初速度向运动，与 碰撞后粘在一起，碰撞
时间极短.若距离足够远，滑块脱离弹簧后以速度 滑上传送带，并
恰好停在点.已知滑块与传送带及之间的动摩擦因数均为 ，装置其余部
分均视为光滑，滑块、、均可看成质点，重力加速度取 .
（1）求、 的距离；
【答案】
【解析】假设 滑上传送带后一直加速，则有
解得，所以假设不成立， 在传送带上一定先加速后匀速，滑上
时的速度为
又因为恰好停在点，则有
解得 .
（2）求 的大小；
【答案】
【解析】与碰撞，由动量守恒定律得
接下来、整体压缩弹簧，弹簧恢复原长时， 脱离弹簧，这个过程由动量守恒定
律和能量守恒定律有
联立解得 .
（3）若，要使不脱离竖直圆轨道，求圆轨道半径 的取值范围.
【答案】或
【解析】若,、 碰撞过程中动量守恒，有
A、一起再通过弹簧与 发生作用，由动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
假设从到一直减速，有
解得 ,假设成立
若恰好到达与圆心等高处，则有，得
即时 不脱离竖直圆轨道
若恰好能通过圆轨道最高点，设在最高点的速度为，则 ，
解得
则时 不脱离竖直圆轨道
综上，圆轨道半径的取值范围为或 .

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