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第一章 动量与动量守恒定律
提升课·专题集训
专题 人船模型
问题情境 如图所示,长为、质量为的小船停在静水中,一个质量为 的人立在船
头，若不计水的阻力,在人从船头走到船尾的过程中,船和人相对地面的位移各是多大
1 人船模型的特征
两个原来静止的物体发生相互作用时,若所受外力的矢量和为零,则两物体的动量守
恒.在相互作用的过程中,任一时刻两物体的速度大小之比等于质量之比的反比，这样
的问题归为“人船模型”问题.
. .
. .
2 人船模型的规律
研究对象 人和船组成的系统
运动规律 系统所受合外力为零，动量守恒.
表达式
速度关系
位移关系
. .
特别提醒（1）“人船模型”问题中，两物体的运动特点是“人”走“船”行、“人”停“船”
停、“人”快“船”快、“人”慢“船”慢.
（2）、 的大小与人运动的时间和运动状态无关.
（3）当系统的动量守恒时，任意一段时间内的平均动量也守恒.
例1 ［人教版教材习题改编］（2025·江苏徐州期中）如图所示，质量
的木船长,质量 的人站立在船头,人和船静
巧画图像破疑难
【答案】
止在平静的水面上.不计水的阻力,现在人要走到船尾取一样东西,则人从船头走到船
尾的过程中,船相对静水移动的距离为多大
【解析】设船对地的移动距离为,则人对地的移动距离为 ,以船移
动的方向为正方向,船对地的平均速度为,人对地的平均速度为 ,如
处理“人船模型”问题时可先画出两物体的位移草图，再利用动量守恒定律确定两物
体的速度关系,进而确定两物体的位移关系.
图所示.
由动量守恒定律有
即
解得 .
3 人船模型的应用
（1）水平方向上类似“人船模型”的问题
类型1 劈或圆弧轨道与物块模型
模型特点：如图所示，可视为质点的小物块从静止在光滑水平面上的劈（圆弧轨道）
顶端无初速度地滑到底端，系统在水平方向动量守恒.
规律:， .
结论：， .
例2 （多选）如图所示，在光滑的水平面上静止放置一个光滑的斜面体，斜面的倾
角为 ，高度为 ,将一个可看作质点的小球从斜面顶端由静止释放，斜面体的质
量是小球质量的两倍，小球运动到斜面底部的过程中，
( )
ACD
A.斜面体对小球做负功 B.斜面体的机械能守恒
C.斜面体和小球组成系统的动量不守恒 D.斜面体运动的距离为
【解析】对于小球和斜面体组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，斜面
体的机械能增大，则小球的机械能减小，所以斜面对小球的支持力对小球做负功，
选项A正确，B错误；小球在竖直方向有分加速度，斜面体和小球组成的系统所受合
外力不为零，则系统的动量不守恒，选项C正确；小球和斜面体组成的系统在水平方
向不受外力，所以系统在水平方向上动量守恒，设小球的水平位移大小为 ，斜面
体的位移大小为，小球质量为,则斜面体的质量为 ,规定向左为正方向，根据
系统水平方向动量守恒得，得，又 ，可得
，选项D正确.
类型2 圆环或圆弧槽与滑块模型
模型特点：如图所示，光滑水平面上放置一光滑圆环（圆弧槽），可视为质点的小
滑块从圆心右侧与圆心等高处无初速度地滑动到左侧最高点，系统在水平方向动量
守恒.
规律:， .
结论：， .
例3 （2025·四川泸州检测）如图所示，一个质量为的半圆槽形物体 放在光滑水
平面上，半圆槽半径为，一小球（可视为质点）质量为 ,从半圆槽的最左端与
圆心等高的位置无初速度释放，然后滑上半圆槽右端，接触面均光滑， 从释放到
滑至半圆槽右端最高点的过程中，下列说法正确的是( )
D
A.、 组成的系统动量守恒
B.的位移大小为
C.滑动到最低点时的速度大小为
D.的位移大小为
【解析】
类型3 小车或滑块与小球模型
模型特点：如图所示，光滑的水平面（杆）
上放置（套上）小车（滑块），系在小车
（滑块）上的可视为质点的小球由静止从
与 点等高处释放，不计空气阻力，小球
运动到最低点的过程中，系统水平方向动
量守恒.
规律:, .
结论：， .
例4 （2025·黑龙江哈尔滨九中期中,多选）如图所示，一质
量为 的小车静止在光滑水平面上，车上固定一个竖直支架，
轻绳一端固定在支架上，另一端连接一质量为 的小球，轻
绳长为 ，将小球向右拉至轻绳水平后，从静止释放小球，不
计空气阻力，则在接下来的运动中( )
CD
A.小球和小车组成的系统满足动量守恒
B.小球每次运动到最低点时，小车速度都水平向右
C.小球能向左摆到原高度
D.小车向右移动的最大距离为
【解析】根据题意可知，系统在水平方向所受合力为零，在竖直方向所受合力不为
零，故系统在水平方向动量守恒，而系统总动量不守恒，故A错误；根据系统水平
方向动量守恒及系统机械能守恒可知，小球摆到左侧最高点时系统的速度为零，则
小球仍能向左摆到原高度，故C正确；小球向左摆到原高度后，速度为零，然后再向
右摆动，向右摆到最低点时，根据水平方向动量守恒知，此时小车速度方向向左，
故B错误；分析可知，当小球向左摆到最大高度时小车向右的位移最大，此时小球相
对于小车的位移最大，大小为 ，系统水平方向动量守恒，设小球在水平方向上的
平均速度大小为，小车在水平方向上的平均速度大小为 ，由动量守恒定律有
，再结合运动学公式有，又有 ，联立解得
小车向右移动的最大距离为 ，故D正确.
类型4 棒与双球模型
模型特点：如图所示，可视为质点的两个小球固定
于轻杆的两端并竖直放置在光滑水平地面上，某时
刻给质量为 的小球一个微小扰动，该小球落到地
面的过程中，系统水平方向动量守恒.
规律:， .
结论：， .
例5 如图所示，质量分别为和的、两个可视为质点的小球用长为
的刚性轻杆连接，竖直静止地立于光滑的水平地面上，由于微小扰动，轻杆开始自
由倒下.已知整个过程中球不离开地面，重力加速度 ，不计空气阻力.在
球 落地过程中，求：
（1）球落地时速度大小 （可保留根号）；
【答案】
【解析】落地时，、在水平方向共速，设水平速度大小为 ，落地过程系统水平
方向动量守恒，则有
可得
落地过程中，由机械能守恒定律有
解得 .
（2）球的位移大小 ；
【答案】
【解析】、 组成的系统在水平方向动量守恒，结合运动学知识，有
如图所示，设的水平速度为，竖直速度为 ，因
、组成的系统在水平方向动量守恒，则
A、 沿杆方向速度相等，则
系统机械能守恒，则
联立各式解得 .
（3）当轻杆与水平地面夹角为 时，球的速度大小 .
【答案】
（2）竖直方向上类似“人船模型”的问题
模型特点:如图，无风环境中，气球质量为,下端有一条不计质量的软绳，质量为
的人沿绳下滑，气球所受浮力等于气球和人的总重力，系统动量守恒.
规律:, .
结论：, .
例6 （多选）如图所示，载有物资的热气球的总质量为，静止于距离水平地面 的
高处.现将质量为的物资以相对地面竖直向下的速度 投出，物资落地时与热气球
的距离为.设整个过程中热气球所受浮力不变，重力加速度为 ，不计空气阻力，忽
略物资受到的浮力.下列说法正确的是( )
AD
A.物资落地前，热气球与其组成的系统动量守恒
B.投出物资后，热气球匀速上升
C.物资落地时，热气球上升的高度为
D.
【解析】物资抛出之前，物资和热气球组成的系统所受合外力为零，物资抛出后，
热气球和物资所受合外力不变，则系统所受的合外力仍为零，因此物资落地前，热
气球与被投出的物资组成的系统动量守恒，故A正确；投出物资后，热气球受到的
浮力大于重力，热气球所受合外力向上，则热气球向上做匀加速直线运动，故B错误；
设物资落地时，热气球上升的高度为 ，则对物资和热气球组成的系统，取竖直向上
为正方向，由动量守恒定律可得，解得 ，则
，故C错误，D正确.
强化集训
针对训练
1.如图所示，质量为的平板车放置在光滑水平面上，一辆质量为 的电动玩
具车放在平板车上，其前端距离平板车左端 .现启动电动玩具车，则( )
D
A.玩具车开始向左运动后，平板车仍然静止
B.玩具车突然不动时，平板车仍然向右运动
C.玩具车运动得越快，平板车运动得越慢
D.玩具车前端运动到平板车左端时，平板车在水平面上移动
【解析】平板车和玩具车组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律，玩具车开始向
左运动后，平板车向右运动，A错误；根据动量守恒定律，玩具车突然不动时，平
板车也立即停止运动，B错误；根据动量守恒定律，玩具车运动得越快，平板车运动
得越快，C错误；根据动量守恒定律有 ，玩具车前端运动到平板
车左端时，有，解得， ，故玩具车前端运动
到平板车左端时，平板车在水平面上移动 ，D正确.
2.（2025·山东泰安期中）如图，在光滑水平面上有一辆质量为、长度为 的平板
车，车的两端分别站着可视为质点的人和，的质量为，的质量为 .最初
人和车都处于静止状态.现让两人同时由静止开始相向而行，并同时到达对方开始时
的位置，此时平板车的位置在原来的左侧，则平板车移动的位移为( )
D
A. B. C. D.
【解析】两人与车组成的系统动量守恒，开始时系统动量为零，设平板车移动的位
移为，运动时间为 ，取向左为正方向，由动量守恒定律有
，解得 ，故选D.
3.（2025·清华大学附属中学朝阳学校尖子生测试，多选）在光滑水平面上放有一质
量为的小车，一质量为的小球用长为 的轻质细线悬挂于小车顶端.现从图中位
置（细线伸直且水平）同时由静止释放小球和小车，设小球到达最低点时的速度为 .
从开始释放到小球到达最低点的过程中，细线对小球做的功为 .从释放开始小车离
开初位置的最大距离为，重力加速度为 ,则下列说法正确的有( )
BC
A. B. C. D.
【解析】从开始释放到小球到达最低点的过程中，小球与小车组成的系统水平方向
动量守恒，由动量守恒定律和能量守恒定律得 ，
，解得 ，故A错误，B正确；从开始释放到小球到
达最低点的过程中，对小球，由动能定理得，解得 ，
故C正确；从释放开始小车离开初位置的最大距离发生在小球摆至最高点时，此时小
球与车的速度均为零，由能量守恒知小球回到原高度，由人船模型规律得
，，解得 ，故D错误.
4.（2025·山东济宁一中月考）
如图所示，在一次打靶训练中，起初人和车一起静止在光滑水平面上，人和靶分别
在车的两端，车、人、枪、靶总质量为（不含子弹），每颗子弹质量为 ，一共
有发.枪与靶之间距离为 ，子弹击中靶后会嵌入其中，射击时总是等上一发击中后
再打下一发，不计空气阻力.则以下说法正确的是( )
C
A.射击过程中，车向左移动
B.射击完成后，车会向右做匀速运动
C.每发射一颗子弹，车移动的距离为
D.全部子弹打完后，车移动的总距离为
【解析】水平面光滑，车、人、枪、靶和子弹组成的系统所受外力的合力为零，系
统动量守恒，起初人和车一起静止，射击过程中，子弹向左运动，人和车向右移动，
射击完成后，车仍然静止，故A、B错误；设子弹出枪口的速度为 ，车向右运动的
速度为 ，以向左为正方向，第一发子弹刚射出枪口时，根据动量守恒定律有
，则有 ，子弹向左运动的
同时，车向右运动，则有 ，在每一发子弹射击过程中，小车所移动的距
离，联立解得，故C正确；结合上述分析可知， 发子弹射击完毕后，
小车移动的总距离 ，故D错误.
5.（2025·山东菏泽期中）如图所示，质量 的木船静止在湖岸附近的水面
上，船面可看作水平面，并且比湖岸高出.在船尾处有一质量 的
铁块，铁块将一端固定的轻弹簧压缩后再用细线拴住，铁块与弹簧不拴接，此时铁
块到船头的距离，船头到湖岸的水平距离 .将细线烧断后铁块恰好
能落到湖岸上，忽略船在水中运动时受到水的阻力以及其他一切摩擦力，重力加速
度 .求：
（1）铁块脱离木船时的瞬时速度大小 ；
【答案】
【解析】烧断细线后，木船和铁块组成的系统在水平方向所受合外力为零，故系统
在水平方向动量守恒，（【点关键】轻弹簧的质量不计，可将轻弹簧与木船看作整
体，弹簧的弹力为系统的内力.由平均动量守恒得 ）
有
又
联立解得，
铁块离开木船后做平抛运动，在水平方向有
在竖直方向有
解得， .
. .
. .
（2）木船最终的速度大小 ；
【答案】
【解析】铁块与木船相互作用时，由动量守恒得
解得 .
（3）弹簧释放的弹性势能 .
【答案】
【解析】由机械能守恒定律得
解得 .
6.（2025·山东省实验中学诊断考试）如图所示，质量 的匀质凹槽放在光滑
的水平地面上，凹槽内有一光滑曲面轨道，点是凹槽左右侧面最高点的中点， 点
到凹槽右侧的距离，点到凹槽最低点的高度 .一个质量
的小球（可看成质点），初始时刻从凹槽的右端点由静止开始下滑，整
个过程凹槽不翻转，取重力加速度大小 .求：
（1）小球第一次运动到凹槽最低点时的速度大小；
【答案】
【解析】小球和凹槽组成的系统水平方向动量守恒，设小球第一次运动到凹槽最低
点的速度大小为，此时凹槽的速度大小为 ，取向左为正方向，有
该过程中系统机械能守恒，有
解得 .
（2）整个运动过程中，凹槽相对于初始时刻运动的最大位移.
【答案】
【解析】因小球和凹槽组成的系统在任何时候水平方向都动量守恒，即有
两边同时乘可得
其中为小球的位移大小， 为凹槽的位移大小.整个运动过程中，当小球运动到凹
槽左侧最高点时，凹槽相对于初始时刻有最大位移，此时
联立解得 .
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7.（2024·河北卷节选）如图，三块厚度相同、质量相等的木板、、 （上表面均
粗糙）并排静止在光滑水平面上，尺寸不计的智能机器人静止于 木板左端.已知三
块木板质量均为,木板长度为，机器人质量为，重力加速度 取
，忽略空气阻力.
（1）机器人从木板左端走到木板右端时，求、 木板间的水平距离.
【答案】
【解析】机器人从木板左端走到木板右端的过程中，机器人与 木板组成的系统
动量守恒，设机器人质量为，三块木板质量均为，机器人从木板左端走到 木
板右端时，机器人、木板运动的位移大小分别为、 ,取向右为正方向，则有
同时有
解得、木板间的水平距离 .
（2）机器人走到木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从木板右端跳到 木
板左端，求起跳过程机器人做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值.
【答案】
【解析】设机器人起跳的速度大小为，方向与水平方向的夹角为 ，从 木板右端
跳到木板左端时间为 ，根据斜抛运动规律得
联立解得
机器人跳离的过程，机器人和 木板组成的系统水平方向动量守恒，有
根据能量守恒可得机器人做的功为
联立得
根据数学知识可得当时，即时， 取最小值，代入数值得此
时 .

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