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第一章 动量与动量守恒定律
培优帮丨章末总结
巧梳理 知识框图
析课标 素养清单
物理观念 科学思维 科学研究 科学态度与责任
1.能理解冲量、动量、动 量定理和动量守恒定律 的内涵,知道动量守恒定 律的普适性,了解弹性碰 撞和非弹性碰撞的特点, 能定量分析一维碰撞问 题. 1.通过实验探究和 理论推导，经历科 学论证过程，理解 动量定理和牛顿第 二定律的一致性. 1.通过实验探 究，寻找碰撞中 的不变量，进一 步体会守恒的思 想. 1.通过对动量守恒
定律的学习与应
用，深入认识物理
规律的内在一致性
和适用范围，认识
到物理规律是建立
在观察和实验的基
础上的.
物理观念 科学思维 科学研究 科学态度与责任
2.能用动量定理和动量守 恒定律等解释生产生活 中的碰撞现象,并能提出 一些参考性建议. 3.具有与动量及动量守恒 定律等相关的比较清晰 的相互作用观念和能量 观念. 2.能建构碰撞、反 冲等物理模型，会 用系统和守恒的思 想分析问题. 3.能从牛顿运动定 律、动量守恒定律 和能量守恒定律等 不同角度思考物理 问题. 2.通过理论推导 和实验，深入理 解动量定理和动 量守恒定律. 3.能完成“验证 动量守恒定律” 实验，通过该实 验，深化对系统 思想和守恒思想 的理解. 2.在研究和探索中
坚持实事求是和持
之以恒的科学态度.
3.通过运用动量知
识求解生产生活中
的实际问题，加深
对科学本质的理
解，增强社会责任
感.
续表
筑思维 思想方法
思想方法1 物理学中的守恒思想
守恒是物理学中最基本的规律（有动量守恒、能量守恒、电荷守恒、质量守恒等）,
也是一种解决物理问题的基本思想方法，并且应用起来简练、快捷.
从运算角度来说，守恒意味着运算过程中总和不变.从物理角度来讲，重在理解所述
量及守恒事实的内在实质和外在表现.
如动量守恒，就是一个系统的总动量在整个作用过程中大小和方向都不变.
思想方法2 建构物理模型法
物理学中，无论是所研究的实际物体，还是物理过程或物理情境，都有很多对应的
物理模型.
1.实体模型
如质点、点电荷、轻绳、轻杆等.
2.物理过程模型
如匀速直线运动、匀变速直线运动、弹性碰撞等.
3.物理情境模型
如人船模型、子弹打木块模型等.
同学们在求解物理问题时，要善于把所研究的问题归纳到学过的物理模型上来，即
建模.尤其是面对新情境问题时，就显得更重要.
思想方法3 物理实验中的思想方法
1.理想化模型法
理想化模型法是物理学中常用的一种方法，在研究具体问题时，为了研究方便，抓
住主要因素，忽略次要因素，从实际问题中抽象出理想化模型，从而把实际复杂的
问题简化处理.如验证动量守恒定律的光滑导轨就是一个理想化模型.
2.极限思维法
在分析变速直线运动的瞬时速度时，我们采用极限思维，即在物体经过某点的前、
后取很短的一段时间，这段时间取得越短，物体在该段时间内的速度变化就越小，
该段时间内的平均速度就越能精确地反映物体在该点的运动快慢，当时间足够短时
（或位移足够小时），该段时间内的平均速度就等于物体经过该点时的瞬时速度.如
在验证动量守恒定律中采用的光电门，就是这种思想的体现.
3.转换法
物理学中对于一些看不见、摸不着的现象或不易直接测量的物理量，通常用一些非
常直观的现象去认识或用易测量的物理量间接表示，这种研究问题的方法叫转换法.
如利用等大的小球在斜槽末端碰撞静止小球做平抛运动验证动量守恒定律时，小球
碰撞前后的速度很难测量，可通过小球质量与平抛运动的水平位移来验证碰撞过程
中动量守恒，这样就把不易测量的物理量——速度转换成容易测量的物理量——水
平位移，就很容易验证碰撞过程中动量守恒.
会整合 专题归纳
专题1 动量定理的应用
1.应用动量定理求解的两类问题
（1）应用求变力的冲量和平均作用力．
如果物体受到变力作用，则不能直接用求变力的冲量，这时可以求出在该力
作用下的物体动量的变化量，等效代换变力的冲量，进而可求得平均作用力．
（2）应用求恒力作用下的做曲线运动的物体动量的变化量.
做曲线运动的物体速度的方向时刻在改变，求动量变化量需要应用矢量运
算方法，比较复杂，如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化量．
. .
. .
2.应用动量定理需要注意的事项
（1）一般来说，用牛顿第二定律能解决的问题，用动量定理也能解决，如果题目不
涉及加速度和位移，用动量定理求解更简便.
动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力．当力随时间变化时，动
量定理中的力应理解为变力在作用时间内的平均值．
（2）动量定理的表达式是矢量式，运用它分析问题时要特别注意冲量、动量及动量
变化量的方向，公式中的是物体或系统所受的合力.
图1-1
例1 小明同学将“打夯”的情境简化成如图1-1所示的过程：平底重物
放置于水平地面上，两人同时通过绳子对重物各施加一个拉力，拉
力大小均为，方向均与竖直方向成 角，两人同时
作用 后停止施力.重物上升一段时间后落下，重物砸入地面
之下的距离.已知重物的质量为 ，所受空气阻力
忽略不计，重力加速度取，, ．求：
（1）重物上升的时间；
【答案】
【解析】重物开始上升时，重物受到重力和两个拉力的作用，规定竖直向上为正方
向，设重物上升的时间为 ，由动量定理得
代入数据解得 .
（2）重物砸入地面的过程中，重物对地面的平均冲击力大小 .
【答案】
【解析】从重物上升到刚撤去拉力时，设重物上升的高度为，重物速度为 ，规定
竖直向上为正方向，由动量定理得
又
设重物砸入地面的过程中所受地面向上的平均阻力大小为 ，由动能定理可得
代入数据解得
根据牛顿第三定律可得，重物对地面的平均冲击力大小 .
思路点拨 （1）重物开始上升时受到重力和拉力作用，到最高点时速度为零，根据
动量定理可得重物上升的时间；（2）先根据动量定理计算出撤去拉力时重物的速度，
进而计算出重物在拉力作用下上升的高度，然后对整个过程应用动能定理可解得重
物对地面的平均冲击力.
名师点评 动量定理的表达式是一个矢量式，应用时一定要先规定好正方向.本题应
用动量定理可以简化解题过程，比应用牛顿第二定律要方便.
专题2 动量守恒定律的理解和应用
1.应用动量守恒定律解题的思路
（1）分析题意，明确研究对象，知道系统是由哪几个物体组成的；
（2）受力分析，弄清系统的内力和外力，判断是否满足动量守恒条件；
（3）明确研究过程，确定初、末状态的动量及其表达式；
（4）建立动量守恒方程求解，必要时讨论说明.
2.动量守恒定律应用中的临界问题
在动量守恒定律的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物
体开始反向运动等临界问题，分析临界问题的关键是寻找临界状态，临界状态的出
现是有条件的，这个条件就是临界条件，临界条件往往表现为某个（或某些）物理
量的特定取值.在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度
关系与相对位移关系，对这些特定关系的判断是求解这类问题的关键.
3.动量守恒定律的多过程问题
多个物体相互作用时，物理过程往往比较复杂，分析此类问题时应注意：
（1）正确进行研究对象的选取，有时需对整体应用动量守恒定律，有时只需对部分
应用动量守恒定律.研究对象的选取，一是取决于系统是否满足动量守恒的条件;二是
根据所研究问题的需要.
（2）正确进行物理过程的选取和分析.通常对全过程进行分段分析，并找出联系各
阶段的状态量.列式时有时需分过程多次应用动量守恒定律，有时只需针对初、末状
态建立动量守恒的关系式.
例2 （2025·安徽皖中名校联盟质检）如图1-2所示，固定光滑曲面轨道在 点与光滑
水平地面平滑连接，地面上静止放置一个表面光滑、质量为的斜面体 .一质量为
的小物块从高处由静止开始沿轨道下滑，在点与质量为的静止小物块 发
生碰撞，碰撞后、 立即粘连在一起向右运动（碰撞时间极短），之后平滑地滑上
斜面体，在斜面体上上升的最大高度小于斜面体高度.不计空气阻力，重力加速度为
.求：
图1-2
（1）、 碰撞过程中产生的热量；
【答案】
【解析】设滑到曲面轨道底端时的速度为， 下滑过程机械能守恒，由机械能守
恒定律得
设、碰后共同速度为，、 碰撞过程动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒
定律得
由能量守恒定律得
解得、碰撞过程中产生的热量 .
（2）和在斜面体 上上升的最大高度；
【答案】
【解析】、、组成的系统在水平方向动量守恒，、 到达最高点时三者在水平
方向速度相等，以向右为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得和在斜面体上上升的最大高度 .
（3）斜面体 获得的最大速度.
【答案】 ，方向水平向右
【解析】、一起冲上斜面体后又返回地面时，获得的速度最大，设此时、 的
共同速度为，的速度为，、与 组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为
正方向，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得，
即斜面体获得的最大速度为 ，方向水平向右.
建构导图明思路
专题3 解答动力学问题的三种思路
1.三种思路的比较
思路 特点分析 适用情况
力的观点：牛顿运动 定律结合运动学公式. 分析物体的受力，确定加速度，建立 加速度和其他物理量间的关系.涉及 力、加速度、位移、速度、时间. 恒力作用下的运动.
能量观点：动能定 理、机械能守恒定律 和能量守恒定律. 分析物体的受力、位移和速度，确定 功与能的关系.涉及力、位移、速度、 功、能. 恒力作用下的运
动、变力作用下的
曲线运动、往复运
动、瞬时相互作用.
思路 特点分析 适用情况
动量观点：动量定理 和动量守恒定律. 分析物体的受力（或系统所受外 力）、速度，根据动量定理建立力、 时间与动量间的关系（或根据动量守 恒定律列式），系统内力不影响系统 动量.涉及力、时间、动量（速度）. 恒力作用下的运
动、瞬时相互作
用、往复运动.
续表
2.选取规律的思维流程
3.综合应用三种思路解题的步骤
（1）认真审题，明确题目所述的物理情境，确定研究对象.
（2）分析所选研究对象的受力情况及运动状态的变化过程，画出草图.对于过程复
杂的问题，要正确、合理地把全过程分成若干阶段，注意分析各阶段之间的联系.
（3）根据各阶段研究对象运动状态变化的规律确定解题方法，选择合理的规律列方
程，有时还要分析题目的隐含条件、临界条件、几何关系等列出辅助方程.
（4）代入数据（统一单位），计算并得出结果，必要时要对结果进行讨论.
图1-3
例3 （2023·浙江1月选考科目试题）一游戏装置竖直截
面如图1-3所示，该装置由固定在水平地面上倾角
的直轨道、螺旋圆形轨道 ，倾角
的直轨道、水平直轨道组成，除 段外
各段轨道均光滑，且各处平滑连接.螺旋圆形轨道与轨道、相切于 处.凹槽
底面水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁 处，摆渡车
上表面与直轨道、平台位于同一水平面.已知螺旋圆形轨道半径, 点
高度为，长度,长度,摆渡车长度 、质量
.将一质量也为的滑块从倾斜轨道上高度 处静止释放，滑块在
段运动时的阻力为其重力的0.2倍.（摆渡车碰到竖直侧壁 立即静止，滑块视为质
点，不计空气阻力，，,取 ）
（1）求滑块过点的速度大小和轨道对滑块的作用力大小 ；
【答案】;
【解析】滑块从静止释放到 点过程中，只有重力做功，根据动能定理可得
代入数据解得
滑块过 点时，根据牛顿第二定律可得
代入数据解得 .
（2）摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数
；
【答案】0.3
【解析】设滑块刚滑上摆渡车时的速度大小为,滑块从静止释放到 点过程，根据动
能定理可得
代入数据解得
摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，假设滑块到达摆渡车右端时刚好与摆渡
车共速，速度为 ，以滑块和摆渡车为研究对象，取向右为正方向，根据动量守恒
定律可得
代入数据解得
根据能量守恒定律可得
解得
此过程中对摆渡车，根据动能定理可得
代入数据解得摆渡车的位移
所以假设成立，说明摆渡车到达 之前已经与滑块共速，滑块与摆渡车之间的动摩
擦因数为 .
（3）在（2）的条件下，求滑块从到所用的时间 .
【答案】
【解析】设滑块从滑上摆渡车到与摆渡车共速过程，所用时间为 ，对摆渡车，根
据动量定理可得
解得
滑块与摆渡车共速后，滑块与摆渡车一起做匀速直线运动所用时间为
所以滑块从到所用的时间 .
设情境 素养提升
问题情境1 高空抛物——科学态度与责任
图1-4
例4 ［人教版教材习题改编］（2025·山东泰安检测，多选）
如图1-4所示为高空坠物的公益广告，形象地描述了高空坠
物对人伤害的严重性.小明用下面的实例来检验广告的科学
性：设一个质量为 的鸡蛋从25楼楼顶自由落下，相邻楼
层的高度差为，鸡蛋与地面撞击时间约为 ，不
计空气阻力， .则( )
BC
A.从下落到即将落地，鸡蛋的动量变化量大小约为
B.该鸡蛋对地面的平均冲击力大小约为
C.鸡蛋在空中运动过程中，任意相等时间内动量变化量相等
D.鸡蛋在空中运动过程中，任意相等时间内动能变化量相等
本题以高空抛物设置问题情境，引导学生提高素质，珍爱生命，意识到高空抛物的
危险性.要求学生能够通过“模型建构”将生活中的实际问题转化为物理问题.
【解析】每层楼高约，鸡蛋下落的总高度为 ，自由下落
时间为，落地速度 ，所以
从下落到即将落地，鸡蛋的动量变化量大小为
，选项A错误；鸡蛋与地面的碰撞时
间约为 ，取竖直向上为正方向，对鸡蛋与地面碰撞过程，根据动量定理
有 ，代入数据解得地面对鸡蛋的平均冲击力大小为
，根据牛顿第三定律可知选项B正确；鸡蛋在空中运动过程中，任意
相等时间内速度变化量相等，所以动量变化量相等，选项C正确；鸡蛋在空中运动过
程中，速度越来越大，任意相等时间内位移变化量不同，合外力做的功不同，根据
动能定理可知，合外力做的功等于动能变化量，所以动能变化量不相等，选项D错误.
问题情境2 冬奥会冰壶运动——科学思维
例5 （2022·天津卷）冰壶是冬季奥运会上非常
受欢迎的体育项目.如图1-5所示，运动员在水平
冰面上将冰壶推到点放手，此时 的速度
,匀减速滑行到达 点时，
队友用毛刷开始擦运动前方的冰面，使与间冰面的动摩擦因数减小， 继续匀
减速滑行,与静止在点的冰壶发生正碰，碰后瞬间、 的速度分别为
和.已知、质量相同，与 间冰面的动摩擦因数
，重力加速度取，运动过程中两冰壶均视为质点，、 碰撞时间
极短.求冰壶
（1）在点的速度 的大小；
【答案】
【解析】冰壶从运动到过程中，根据动能定理得
代入数据解得 .
（2）与间冰面的动摩擦因数 .
【答案】0.004
【解析】冰壶从运动到 过程中，根据动能定理得
冰壶与静止在点的冰壶 发生正碰过程，取向右为正方向，根据动量守恒定律得
联立并代入数据解得 .
本题以深受人们喜爱的冬奥会冰壶项目为背景，设置了冰壶的匀变速直线运动和碰
撞问题，要求学生根据所学知识，从题目中提取有用信息，选择合适的物理规律进
行分析计算.
问题情境3 火箭发动机——模型建构
例6 火箭发动机是火箭系统的核心装备，传统的火箭发动机将燃料的化学能转化为
机械能，主要用于助推火箭升空.而在太空中各类航天器和卫星在校正位置、转移轨
道时，多数采用的是将电能转化为机械能的电推力火箭发动机.电推力火箭发动机工
作原理与工作细节非常复杂，高中阶段我们可以进行合理简化后讨论.
图1-6
（1）设某个以化学燃料提供动力的火箭飞行时在极短的时间 内喷射燃气的质量是
，喷出的燃气相对喷气前火箭的速度大小是，喷出燃气后火箭的质量是 .请你
计算在经过该次喷气后火箭增加的速度 ，并根据计算结果简述火箭本身质量对火
箭加速性能的影响.
【答案】 ; 火箭质量越小，获得的速度增量越大
【解析】以喷气前的火箭为参考系，对喷出的燃气和火箭组成的系统，根据动量守
恒定律可得
解得
上式表明，在喷射的燃气质量和喷射速度确定时，火箭质量 越小，火箭获得
的速度增量 越大.
（2）某种航天器采用静电式离子发动机提供动力，其原理可简化如下：如图1-6所
示，核心装置左侧的电子枪发射出的高速电子将中性推进剂原子（如氙气原子）电
离，电离后的正离子被正、负极栅板间的强电场加速后与中和电子枪发射出的电子
重新中和成为高速粒子流并被喷出，从而使航天器获得推进或姿态调整所需的反冲
力.已知单个正离子的质量为，电荷量为，正、负极栅板间加速电压为 ，经正、
负极栅板间的电场加速后的正离子所形成的等效电流为 ，忽略离子间的相互作用力
和电子能量的影响，且认为粒子喷射时航天器质量不变.试求该发动机产生的平均推
力的大小.
【答案】
【解析】以正离子为研究对象，设经强电场加速后正离子的速度为 ，由动能定理得
在时间内，喷出的正离子个数
由动量定理得，这些正离子所受的平均冲量
解得这些正离子所受的平均推力大小
则发动机产生的平均推力大小 .
本题以火箭发动机为背景命题，要求学生根据题述情境建构物理模型，利用所学知
识解决实际问题.
尖子生 强基自招
命题点 利用动量观点分析求解问题
动量观点是解答力学问题的三大观点之一，动量观点的依据是动量定理和动量守恒
定律,借助动量和冲量的计算，从而解决问题.由于分析动量时不需要对相互作用力的
具体细节进行分析，只需分析运动物体的初状态和末状态，因此可以省去很多步骤.
例7 （清华大学夏令营试题）一质量为、长为 的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台
秤的秤盘接触.某时刻放开柔软绳上端，如图1-7所示，求台秤的最大读数.
（重力加速度为 ）
图1-7
【答案】
【解析】设时刻落到秤盘上的绳长为,此时绳速为.在 时间内，
有质量为的绳落到秤盘上，其中 为绳的线密度（线密度等于绳单位长度
的质量）.取向上为正方向，忽略微元段绳本身的重力冲量，根据动量定理，有
解得
故
所以台秤的最大读数为 ,出现在柔软绳将要全部落到秤盘上时.
图1-8
例8 （清华大学“领军计划”试题）如图1-8所示，用长度同为 的轻
质细绳悬挂四个弹性小球、、、，它们的质量依次为 、
、、，且满足.将球拉起一定角度
后释放，则球开始运动时的速度为（重力加速度为 ）( )
D
A. B.
C. D.
【解析】设碰撞前瞬间的速度为 ，根据机械能守恒定律，有
解得
设与碰撞后与的速度分别为和 ，根据动量守恒定律，有
①
根据机械能守恒定律，有
②
联立①②式得
因，则.同理，, ，所以
,D选项正确.
【强化训练丨变式题】
图1-9
1.（中国科学技术大学自主招生试题）如图1-9所示，光滑水平
面上有一辆质量为 的小车，车上左右两端分别站着甲、乙
两人，他们的质量都是 ，开始时两个人和车一起以速度 向
右匀速运动．某一时刻，站在车右端的乙先以相对于地面向右
B
A. B. C.大于,小于 D.大于
【解析】甲、乙两人和小车组成的系统动量守恒，设两人都离开小车后，小车的速
度为，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有 ,解
得 ，选项B 正确.
的速度跳离小车，然后站在车左端的甲以相对于地面向左的速度 跳离小车．两人
都离开小车后，小车的速度将是( )
2.（清华大学保送生考试试题）如图1-10所示，光滑水平桌面上的球1、2、3、4是完
全相同的弹性小球，球2、3、4静止，球1以速度 正对着球2撞去，球1、2的球心连线
正好过球3、4的切点，则碰撞之后静止的是球___，运动的球中速度最小的是球___.
2
1
图1-10
【解析】球1与球2碰撞后交换速度，球1速度变为0，球2速度变为 .球2与球3、4碰
撞过程中，球2对球3、4的作用力分别沿球2、3和球2、4 的球心的连线.故碰撞后，
球3、4速度方向与球2入射方向分别成 角，速度大小均设为 ，球2碰撞后的速
度设为 ，取球2入射方向为正方向，球2、3、4组成一个系统，该系统沿水平方向
不受外力，根据动量守恒定律，有
①
整个碰撞过程中系统机械能守恒，有
②
联立①②式得,
负号表示球2会反向运动，与球1碰撞后再次交换速度，则碰撞之后静止的是球2，运
动的球中速度最小的是球1.
图1-11
3.（中国科学技术大学自主招生试题）如图1-11所示，光滑的水平
桌面上有一小车，小车的支架上用长为 的细杆悬挂一质
量为 的钢球．细杆质量忽略不计，小车及支架的质量为
，开始时小车静止，细杆拉到水平位置，由静止释
放．求当细杆落到与水平方向夹角为 时小车发生的位移．
【答案】 ，方向水平向左
【解析】本题可根据“人船模型”进行求解. 当细杆落到与水平方向夹角为 时，设
钢球的水平位移大小为，小车发生的位移大小为 ，根据“人船模型”，有
， ，解得小车的位移大小为
，方向水平向左.
刷真题 体验高考
1.（2024·甘肃卷，多选）电动小车在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是
( )
AD
A.小车的动能不变 B.小车的动量守恒
C.小车的加速度不变 D.小车所受的合外力一定指向圆心
【解析】做匀速圆周运动的物体速度大小不变，故动能不变，A项正确；做匀速圆
周运动的物体速度方向时刻在改变，故动量不守恒，B项错误；做匀速圆周运动的物
体加速度大小不变，方向时刻在改变，C项错误；做匀速圆周运动的物体所受的合外
力一定指向圆心，D项正确.
2.（2022·重庆卷）在测试汽车的安全气囊对驾乘人员头部防护作用的实验中，某小
组得到了假人头部所受安全气囊的作用力随时间变化的曲线（如图1-12）.从碰撞开
始到碰撞结束过程中，若假人头部只受到安全气囊的作用，则由曲线可知，假人头
部( )
D
图1-12
A.速度的变化量等于曲线与横轴围成的面积
B.动量大小先增大后减小
C.动能变化正比于曲线与横轴围成的面积
D.加速度大小先增大后减小
【解析】假人的头部只受到安全气囊的作用，则 图像与横轴围成的面积表示合
外力的冲量，根据动量定理可知， 图像与横轴围成的面积等于假人头部动量的
变化量，故选项A错误；初动量未知，假人头部动量变化情况未知，B错误；根据动
量与动能的关系有，结合 图像与横轴围成的面积表示动量的变化量，
可知动能的变化量与曲线与横轴围成的面积不成正比，选项C错误；假人的头部只受
到安全气囊的作用，则根据牛顿第二定律可知 ，即假人头部的加速度大小先增
大后减小，选项D正确.
图1-13
3.（2022·全国乙卷，多选）质量为的物块在水平力 的作
用下由静止开始在水平地面上做直线运动，与时间 的关系如
图1-13所示.已知物块与地面间的动摩擦因数为 ,重力加速度
大小取 .则( )
AD
A. 时物块的动能为零
B. 时物块回到初始位置
C.时物块的动量为
D.时间内对物块所做的功为
【解析】物块与地面间的滑动摩擦力为，对物块在 内的运动过
程，由动量定理可得,得, 时物块的动量为
，设后经过时间 物块的速度第一次减为0，由动量定理可得
,解得,所以物块在 时速度减为0，此时物块的动能
也为0，故A正确，C错误；设内物块的位移大小为 ，由动能定理可得
,得, 过程中，对物块由动能定理可得
,得此过程的位移大小为, 物块反向运动，物
块的加速度大小为,位移大小为 ,
即时物块没有回到初始位置，故B错误； 内水平力做的功为
,故D正确.
4.（2024·广西卷，多选）如图1-14，坚硬的
水平地面上放置一木料，木料上有一个竖直
方向的方孔，方孔各侧壁完全相同.木栓材质
坚硬，形状为正四棱台，上下底面均为正方
形，四个侧面完全相同且与上底面的夹角均
为 .木栓质量为 ，与方孔侧壁的动摩擦因
数为 .将木栓对准方孔，接触但无挤压，锤子以极短时间撞击木栓后反弹，锤子对
木栓冲量为，方向竖直向下.木栓在竖直方向前进了 的位移，未到达方孔底部.若
进入的过程方孔侧壁发生弹性形变，弹力呈线性变化，最大静摩擦力约等于滑动摩
擦力，则( )
图1-14
A.进入过程，木料对木栓的合力的冲量为
B.进入过程，木料对木栓的平均阻力大小约为
C.进入过程，木料和木栓的机械能共损失了
D.木栓前进 后木料对木栓一个侧面的最大静摩擦力大小约为
√
√
信息提取析题意
提取有效信息 信息加工与模型建构
将木栓对准方孔，接触但无挤压 初状态木料侧壁无弹力、无弹性势能.
进入的过程方孔侧壁发生弹性形 变，弹力呈线性变化 弹力随形变量均匀变化，平均作用力为初、末
状态两力和的一半.
【解析】
对锤子撞击木栓前后瞬间，应用动量定理 ,得木栓被撞击后瞬间动能
，则：
选项 推理过程
A
B
C
选项 推理过程
D
续表
选项 推理过程
D ____________________________________________________________________________________________________
续表
图1-15
5.（2024·福建卷）某小组基于动量守恒定律测量
玩具枪子弹离开枪口的速度大小，实验装置如图1
-15（a）所示.所用器材有：玩具枪、玩具子弹、
装有挡光片的小车、轨道、光电门、光电计时器、
十分度游标卡尺、电子秤等.实验步骤如下：
（1）用电子秤分别测量小车的质量 和子弹的质
量 ；
（2）用游标卡尺测量挡光片宽度 ，示数如图（b）
所示，宽度_____ ；
0.99
【解析】游标卡尺的分度值为 ，则挡光片的宽度为
.
（3）平衡小车沿轨道滑行过程中的阻力.在轨道上安装光电门和 ，让装有挡光片
的小车以一定初速度由右向左运动，若测得挡光片经过、 的挡光时间分别为
、 ，则应适当调高轨道的____（选填“左”或“右”）端.经过多次调
整，直至挡光时间相等；
右
【解析】小车经过光电门的速度为
测得挡光片经过、的挡光时间分别为、 ，可知小车经过光电门
的速度大于经过光电门 的速度，故应适当调高轨道的右端.
（4）让小车处于 的右侧，枪口靠近小车，发射子弹，使子弹沿轨道方向射出并粘
在小车上，小车向左运动经过光电门，测得挡光片经过的挡光时间 ；
（5）根据上述测量数据，利用公式_______（用、、、 表示）即可得到
子弹离开枪口的速度大小 ；
【解析】小车经过光电门的速度为
子弹击中小车并粘上小车的过程，根据动量守恒定律有
解得 .
（6）重复步骤（4）五次，并计算出每次的 值，填入下表；
次数 1 2 3 4 5
59.1 60.9 60.3 58.7 59.5
（7）根据表中数据，可得子弹速度大小的平均值为_____ .（结果保留三位有效
数字）
59.7
【解析】根据表格数据，可得子弹速度大小 的平均值为
.
6.（2024·甘肃卷）如图1-16，质量为的小球（视为质点）在细绳和 作用
下处于平衡状态，细绳，与竖直方向的夹角均为 .质量为
的木板静止在光滑水平面上，质量为的物块静止在的左端.剪断细绳 ，小
球开始运动.（重力加速度取 ）
图1-16
（1）求运动到最低点时细绳 所受的拉力.
【答案】
【解析】从开始运动到 运动到最低点的过程，根据动能定理有
在最低点时，对其受力分析，根据牛顿第二定律得
代入数据解得， .
（2）在最低点时，细绳断裂.飞出后恰好与左侧碰撞（时间极短），碰后 竖
直下落，水平向右运动.求碰后 的速度大小.
【答案】
【解析】与碰撞过程，、组成的系统在水平方向动量守恒，由于碰后 竖直下
落，可知碰后 水平方向速度减小到0，在水平方向根据动量守恒定律有
解得 .
（3）、碰后，相对滑行后与共速.求和 之间的动摩擦因数.
【答案】0.15
【解析】、碰后，相对滑行后与共速，、 组成的系统动量守恒，根据
动量守恒定律可得
根据能量守恒定律得
联立解得 .
信息提取析题意
关键信息 破题关键 建构模型
7.（2022·湖南卷）如图1-17（a）,质量为的篮球从离地 高度处由静止下落,与地面
发生一次非弹性碰撞后反弹至离地 的最高处.设篮球在运动过程中所受空气阻力的
大小是篮球所受重力的 倍 为常数且 ,且篮球每次与地面碰撞的碰后
速率与碰前速率之比相同,重力加速度大小为 .
图1-17
（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比;
【答案】
【解析】篮球运动过程中所受空气阻力大小为
篮球从离地 高度处下落到第一次碰到地面前，由动能定理有
篮球从第一次碰到地面到上升至离地 高度处，由动能定理有
联立解得篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比 .
（2）若篮球反弹至最高处时,运动员对篮球施加一个向下的压力 ,使得篮球与地面
碰撞一次后恰好反弹至的高度处,力随高度的变化如图（b）所示,其中 已知,求
的大小;
【答案】
【解析】篮球从 高处到第二次碰到地面前，由动能定理有
（【点拨】图像与坐标轴围成的面积表示力 所做的功.）
篮球二次碰到地面后上升到最大高度 处，由动能定理有
第二次碰到地面的碰后速率与碰前速率之比为
联立解得 .
. .
（3）篮球从 高度处由静止下落后,每次反弹至最高点时,运动员拍击一次篮球
（拍击时间极短）,瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量,经过 次拍击后篮球恰
好反弹至高度处,求冲量 的大小.
【答案】
【解析】篮球从高处下落碰到地面后反弹上升的高度为
运动员第一次拍击篮球，篮球下落的速度为,由动量定理得冲量
篮球从最高点到第二次与地面相碰前,由动能定理有
篮球第二次与地面相碰后反弹上升到最大高度 处，由动能定理有
又
联立解得
同理可得运动员第二次拍击篮球，篮球第三次与地面相碰后反弹上升到最大高度
处，有
同理可得运动员第三次拍击篮球，篮球第四次与地面相碰后反弹上升到最大高度
处，有
则运动员第次拍击篮球，篮球第次与地面相碰后反弹上升到最大高度
处，有
由题可知
联立解得 .
图1-18
8.（2024·浙江6月选考科目试题）一弹射游戏
装置竖直截面如图1-18所示，固定的光滑水平
直轨道、半径为的光滑螺旋圆形轨道 、
光滑水平直轨道平滑连接.长为、质量为
的平板紧靠长为的固定凹槽侧壁放置，平板上表面与 齐平.将一质量
为的小滑块从端弹射，经过轨道 后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达
即被锁定. 已知，，， ，平板与滑块
间的动摩擦因数、与凹槽水平底面间的动摩擦因数为 .滑块视为质点，
不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度 .
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点时，求滑块离开弹簧时速度 的大小；
【答案】
【解析】滑块恰好能通过圆形轨道最高点 时，有
从滑块离开弹簧至滑块运动到 点的过程，根据动能定理，有
解得 .
（2）若，滑块恰好过 点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
【答案】
【解析】若 ,从滑块滑上平板带动平板一起运动，到平板加速至与滑块共速过
程，平板与滑块组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律，有
其中
根据能量守恒定律，有
解得 .
（3）若，滑块能到达点，求其离开弹簧时的最大速度 .
【答案】
【解析】若 ，平板与滑块相互作用过程中，滑块的加速度大小为
，平板的加速度大小为
共速后，二者的共同加速度大小为
滑块从滑上平板至到达 点过程，有2种可能情况：
①滑块在平板上一直做减速运动直到到达 点；
②滑块在平板上先做减速运动至与木板共速，此时滑块恰好运动至木板最右端，然
后二者共同做减速运动至到达 点.
假设滑块做第②种运动，则滑块从滑上平板至二者共速过程，有
该过程，滑块、木板的位移分别为，
共速时，二者的相对位移为
解得，，
随后二者共同减速至点，位移为
到达点的速度
说明可以到达 点，因此假设成立，此过程对应的滑块离开弹簧时的速度大小为
，若滑块离开弹簧时的速度大小大于，则滑块在到达 点之前会从木板
右侧掉落，故滑块离开弹簧时的最大速度 .

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