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第二章 机械振动
第1节 简谐运动及其图像
___________________________________________________________ _________________________________________________________ 1.了解机械振动的概念，会
用理想化方法建构弹簧振子
模型.
2.知道简谐运动的特征，会
描绘简谐运动的振动图像，
知道振动图像的物理意义.
3.理解振幅、周期、频率等
描述简谐运动的物理量，知
道简谐运动的表达式，了解
相位和初相位.
情境导学
海洋生态自动监测浮标可用于监测水质和气象等参数，随着水的波动，浮标也
在某个位置附近做往复的上下运动，标志航道浅滩或危及航行安全的障碍物.
新知课丨必备知识解读
知识点1 机械振动
1 定义
物体（或物体的某一部分）在某一位置（平衡位置）两侧所做的往复运动，叫
作机械振动，通常简称为振动．
【说明】机械振动是机械运动的一种．
. .
2 特点
深度理解
对平衡位置的理解
1.平衡位置是物体在振动方向上所受合力为零的位置.每当物体离开平衡位置后，
它就受到一个指向平衡位置的力，该力产生使物体回到平衡位置的效果.
2.平衡位置的判断方法：振动系统不振动时，物体处于平衡状态所在的位置为
平衡位置.
. .
学思用·典例详解
例1-1 （多选）下列运动属于机械振动的是( )
ABD
A.拨动后的琴弦 B.水塘里的芦苇在微风作用后左右摆动
C.五星红旗迎风飘扬 D.钓鱼时浮标在水中上下浮动
【解析】机械振动是指物体在平衡位置附近所做的往复运动，显然选项C中涉及的物
体的运动不符合这一定义，故C错误，A、B、D正确.
点评 往返运动不一定是机械振动，判断物体的运动是否是机械振动，要看两个方面：
（1）是否有平衡位置；（2）是否做往复运动.
知识点2 简谐运动
图2-1-1
1 振子
（1）定义
如图2-1-1所示，将弹簧上端固定，下端连接一个小球，小球可在
竖直方向上运动．弹簧的质量比小球的质量小得多，可以忽略不计，
若不计空气阻力，这样的系统称为弹簧振子，（弹簧振子是一个理想
化模型，它是研究一般性振动的基础.）其中小球称为振子．
. .
. .
. .
. .
（2）弹簧振子的理想化条件
2 简谐运动
（1）定义
如果质点的位移与时间的关系图像严格遵从正弦函数的规律，即它的振动图像
（位移—时间图像）是一条正弦曲线，这样的运动叫作简谐运动．（【说明】简谐
运动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可以看作几个或很多个简谐运动
的叠加．）做简谐运动的振子称为谐振子．
（2）运动性质
简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，是变力作用
下的变速运动.
. .
. .
. .
. .
深度理解
对弹簧振子位移的理解
1.振动位移：从平衡位置指向小球某时刻所在位置的有向线段，方向为由平衡
位置指向小球所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离.
2.矢量性：振动位移是矢量，若规定小球在平衡位置右侧时位移为正，则它在
平衡位置左侧时就为负.
3.两种位移的区别：机械运动中的位移是从初位置到末位置的有向线段，而弹
簧振子的位移总是相对于平衡位置而言的，都是从平衡位置指向小球所在位置.
3 简谐运动的振动图像
（1）振动图像的描绘方法
以横轴表示时间，以纵轴表示小球相对平衡位置的位移，将各时刻小球的位移
描在坐标系中，用平滑曲线连接各点.
（2）通过实验观察弹簧振子的振动图像
①把小球沿弹簧轴线方向拉离平衡位置一小段距离，然后由静止释放，用手机
对小球的运动过程进行录像．
②等时间间隔 截屏，然后利用软件拟合在一张照片上．
【说明】也可以用频闪照相机每隔 拍照一次，拍摄时底片从左向右匀速运
动，在底片上留下小球和弹簧的一系列的像.
图2-1-2
③如图2-1-2所示，在照片上建立坐标系，横轴代
表时间，纵轴代表小球相对平衡位置的位移 ，就得
到了小球在平衡位置附近往复运动的位移—时间图像，
即 图像．
教材拓展
如何确定小球的位移—时间图像是正弦曲线
1.假定小球的位移—时间图像是正弦曲线，测量它的振幅和周期，写出对应的
正弦函数的表达式.然后在图像上选取若干个位置，测量它们的横坐标（振动时间），
代入表达式求出函数值，若这一函数值和测量值相等，则这条曲线就是正弦曲线.
2.测量小球在各个位置的横坐标和纵坐标，将测量值输入到计算机中，得到一
条曲线，利用相关软件判断小球的位移—时间关系是否可以用正弦函数表示.
学思用·典例详解
图2-1-3
例2-2 （多选）弹簧上端固定在 点，下端连接一小球，组成一个振
动系统，如图2-1-3所示，用手竖直向下拉一小段距离后释放小球，小
球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是
( )
CD
A.在小球运动的最低点 B.在弹簧处于原长的位置
C.在小球速度最大的位置 D.在小球原来静止的位置
【解析】平衡位置是振动系统不振动、小球处于平衡状态时所处的位置，可知在该
位置小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即 ，则小球原来静止的
位置是小球的平衡位置，故选项D正确,A、B错误；当小球在振动过程中经过平衡位
置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确.
点评 平衡位置的判断方法：振动系统不振动、小球处于平衡状态时所处的位置为平
衡位置.此题中小球速度最大时的位置和小球原来静止时的位置为同一位置.
【做一做丨活动建议】
图2-1-4
如图2-1-4，两人合作,先在白纸中央画一条直线 ，
使它平行于纸的长边，作为图像的横坐标轴.一个人
用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于 的方向振动，
另一个人沿 的方向匀速拖动白纸，纸上就画出
了一条描述笔尖振动情况的 图像.
请完成这个实验，并解释：
横坐标代表什么物理量？纵坐标代表什么物理量？为什么必须匀速拖动白纸？
提示 横坐标代表时间；纵坐标代表笔尖离开平衡位置的位移；匀速拖动白纸，是为
了用相等的距离表示相等的时间.
图2-1-5
例2-3 一个弹簧振子在、 间做简谐运动，如图2-1-5
所示，是平衡位置，以某时刻作为计时零点 ，
开始时振子沿负方向经过平衡位置，那么下列选项中的
四个 图像能正确反映振子运动情况的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为开始时振子沿负方向经过平衡位置，可知 时刻振子的位移为0，
且向负方向运动，接下来位移为负值，位移大小增大，故D正确，A、B、C错误.
知识点3 描述简谐运动的物理量
图2-1-6
1 全振动
（1）定义
如图2-1-6所示，振子在光滑杆上的和 点之间往复运动，
，如果振子由点经点运动到点，又由点经点回到
点，我们就说振子完成了一次全振动．
（2）一次全振动的特征
①振动物体的位移和速度都恢复原值；
②振动物体通过的路程为振幅的四倍.
. .
. .
2 描述简谐运动的物理量
（1）振幅
①定义：振子离开平衡位置的最大距离．
②物理意义：表示振动的强弱．
. .
辨析比较
振幅、位移和路程的关系
振幅 位移 路程
定义 振动物体离开平衡位置 的最大距离. 从平衡位置指向振子所在 位置的有向线段. 运动轨迹的长度.
标矢性 标量 矢量 标量
变化 在稳定的振动系统中不 发生变化. 大小和方向随时间做周期 性变化. 随时间增加.
联系 ①振幅等于最大位移的大小,振动范围是振幅的两倍. ②振子经过一个完整的振动过程（一次全振动），路程一定等于4倍振幅. （2）周期和频率
周期 频率
定义 振子完成一次全振动所用的时间． 完成的全振动的次数与所用时间之比．
单位
关系 意义 都表示振动的快慢． 特别提醒 1.频率（周期）由振动系统决定，与振幅无关，因此又称固有频率（周期）.
2.频率（周期）不是用来描述振动物体在某时刻运动的快慢，而是用来描述物
体振动的快慢.
（3）相位
相位是表示振动步调的物理量，它可以描述做周期性运动的物体在各个时刻所
处的状态．相位是一个随时间变化的量，它的单位是弧度（或度）．
深度理解
对相位的理解
把两个相同的弹簧振子并排放在一起，并且都从平衡位置拉开相同的距离，一
个先释放，另一个稍晚一点释放，可以看到两个弹簧振子都做简谐运动，它们的振
幅及周期（频率）都相同，所不同的只是相位，也就是振动步调——一个超前而另
一个落后.
学思用·典例详解
例3-4 如图2-1-7所示，可视为质点的小球以为平衡位置，在、 两点间做简谐运
动.若从小球经过点开始计时，在时刻小球第一次经过、两点间的 点
（图中未画出），在时刻小球第二次经过点，则小球第三次通过 点的
时刻为( )
B
图2-1-7
A. B. C. D.
【解析】
例3-5 如图2-1-8所示为一质点做简谐运动的 图像，则质点( )
B
图2-1-8
A.振动的频率是
B.振动的振幅是
C.振动的周期是
D.时间内质点通过的路程为
【解析】
选项 分析 正误
A
C
B √
D
知识点4 简谐运动的表达式
1 简谐运动的表达式
做简谐运动的物体离开平衡位置的位移与时间的关系可用正弦函数
（或余弦函数）来表示．即

其中 叫作角频率，（单位为，表示简谐运动的快慢.），，
可得

式中，表示振动的振幅，表示振动的周期，表示振动的频率，“”
表示简谐运动的相位，时的相位叫作初相位，简称初相．
. .
. .
2 相位差
当两个相同的弹簧振子，从平衡位置拉开相同的距离后，相隔不同的时间放开，
使它们的振动步调不相同，即它们各时刻的相位不同，这两个振动有相位差．
（1）同相
若两个完全相同的弹簧振子，周期相同，将它们朝同一方向拉开相同的距离，
然后同时放开，则在任意时刻，两个振子处于相同的状态，在简谐运动的表达式中，
相位也是相同的，我们说它们的振动同相．（【说明】两个周期相同的简谐运动，
只要它们的相位差为，就可以说它们的振动同相．）
. .
（2）反相
若两个完全相同的弹簧振子，周期相同，将它们朝相反方向拉开相同的距离，
然后同时放开，（相当于其中一个弹簧振子比另一个早或晚半个周期放开．）则在
任意时刻，两个振子的位移方向相反，但大小相同，如图2-1-9甲、乙所示，在简谐
运动的表达式中，相位相差 ，我们说它们的振动反相．
图2-1-9
. .
. .
. .
（表达式：）（表达式： ）
【说明】两个周期相同的简谐运动，只要它们相位差为 ，
就可以说它们的振动反相．
学思用·典例详解
例4-6 （多选）物体做简谐运动的振动方程为，物体 做简
谐运动的振动方程为．比较、 的振动方程，下列说法正确
的是( )
CD
A.振幅是矢量，的振幅是，的振幅是
B.周期是标量，、的周期相等，均为
C.、 做简谐运动的角频率相同
D.做简谐运动的频率等于做简谐运动的频率
【解析】振幅只有大小没有方向，是标量，的振幅为，的振幅为 ，故A错
误.周期表示物体振动的快慢，没有方向，是标量，由振动方程可知两物体做简谐运
动的角频率均为，周期均为 ，故B错误，C正确.两物体做简谐运动的
周期相同，则频率一定相同，故D正确.
图2-1-10
例4-7 、两个物体做简谐运动的振动图像如图2-1-10所示，则
的相位比 的相位( )
B
A.超前 B.落后 C.超前 D.落后
【解析】、 做简谐运动的周期相同，函数表达式分别为
,,相位差,则 的相位
比的相位落后 ，选项B正确.
释疑惑 重难拓展
知识点5 做简谐运动的质点的位移、速度、加速度
1 位移
从平衡位置指向质点所在位置的有向线段.
（1）大小：平衡位置到质点所在位置的距离.
图2-1-11
（2）方向：从平衡位置指向质点所在位置.
2 速度
如图2-1-11所示，小球在 点（平衡位置）速度最大，方
向可能向上，也可能向下.在、 两点（最大位移处）速度
为零.
3 加速度
（1）大小：由胡克定律和牛顿第二定律可知，式中表示质点的质
量，为劲度系数，表示质点的位移.
由于位移随时间呈线性变化，所以加速度大小随位移大小呈线性变化．
（2）方向：与位移方向相反，在经过平衡位置时方向发生改变.
. .
总结提升
简谐运动的位移与速度、加速度的关系
1.速度与位移的关系：简谐运动中位移增大，速度减小；位移减小，速度增大，
速度与位移的方向不一定相同.
2.加速度与位移的关系：简谐运动中加速度跟位移同步变化，但方向总是相反的.
【说明】质点通过同一位置时，其位移和加速度的方向是一定的，但速度方向
有两种可能：指向平衡位置或背离平衡位置.
学思用·典例详解
深度思考
简谐运动的位移随时间是按正弦规律变化的，那么做简谐运动的质点的速度、加速
度在运动过程中具有什么特征？
提示 质点的速度大小变化，方向也变化.质点由平衡位置向两侧运动时速度变小，
方向背离平衡位置，反之，速度变大，方向指向平衡位置，平衡位置处速度最大.质
点的加速度大小变化，方向也变化.质点由平衡位置向两侧运动时加速度变大，方向
指向平衡位置，反之，加速度变小，方向仍然指向平衡位置，平衡位置处加速度为0.
图2-1-12
例5-8 一质点沿 轴做简谐运动，其振动图像如图2-1-12所
示．在的时间内，质点的速度、加速度 的大小的变化
情况是( )
D
A.变大，变大 B.变小， 变小
C.变大，变小 D.变小， 变大
【解析】在的时间内，质点的位移在增大，故其速度在减小；根据
知加速度的大小与位移的大小成正比，故在的时间内，质点的加速度 在增大.
故D正确，A、B、C错误.
知识点6 简谐运动的振动图像的应用
1 图像含义
简谐运动的振动图像描述的是做简谐运动的质点的位移随时间的变化规律，即质
点在各个时刻偏离平衡位置的位移．（【避易错】振动图像不是质点的运动轨迹！）
. .
. .
2 图线上某点切线的斜率
在如图2-1-13所示的简谐运动振动图像中，图线上某点切线的斜率表示对应时刻
质点的速度的大小和方向.
图2-1-13
. .
. .
（1）当切线的斜率为正值时，速度方向与选定的正方向相同，且斜率越大表明
此时质点的速度越大.
（2）当切线的斜率为负值时，速度方向与选定的正方向相反，且斜率的绝对值
越大表明此时质点的速度越大.
3 从振动图像判断振动情况
（1）判断任意时刻质点的振动方向
判断方法 看下一时刻质点的位置是远离还是衡位置.
举例分析
图2-1-14
（2）判断任意时刻质点的速度、加速度、位移变化
判断方法 看下一时刻质点的位置是远离还是衡位置.
①若远离平衡位置，则速度越来越小，位移和加速度越来越大,但方向
相反；
②若衡位置，则速度越来越大，位移和加速度越来越小，但方向
相反.
举例分析
4 从数学角度理解振动图像
简谐运动中质点的位移随时间变化的图像是一条正弦曲线，那么由数学知识，
可以得到：
（1）图像具有周期性；
（2）位移随时间变化的函数表达式为
学思用·典例详解
例6-9 弹簧振子做简谐运动，其位移与时间 的关系如图2-1-15所示，由图可知
( )
A
图2-1-15
A. 时，速度最大，方向为负，加速度为零
B. 时，速度最大，方向为负，加速度为零
C. 时，速度最大，方向为正，加速度最大
D. 时，速度最大，方向为正，加速度最大
【解析】
时刻 位移 速度 加速度
零 最大，且沿负方向 零
负向最大 零 正向最大
零 最大，且沿正方向 零
正向最大 零 负向最大
可知A正确，B、C、D错误.
【学会了吗丨变式题】
图2-1-16
1.（2025·湖北崇阳一中期中，多选）如图2-1-16甲所示，弹簧
振子以点为平衡位置，在、 两点之间做简谐运动，取向
右为正方向，振子的位移随时间 的变化如图乙所示，下列
说法正确的是( )
AD
A. 时，振子的速度方向向左
B.时，振子在点右侧 处
C.和 时，振子的速度相同
D.到的时间内，振子从点向 点运动
【解析】
时间 振子的运动特点
分析可知，时，振子在平衡位置，且速度方向向左，故A正确； 时，
振子在点右侧，与点的距离大于，故B错误； 时振子速度方向向
左，时，振子速度方向向右，故C错误；时间内，振子从点向
点运动，故D正确.
解题课丨关键能力构建
题型1 简谐运动中的位移、振幅和路程的关系
例10 一质点做简谐运动，振幅为，周期为，为平衡位置，、 为两侧最大位
移处，从经过位置与、、三点均不重合 时开始计时，则下列说法正确的是
( )
A
A.经过时，质点的平均速度一定小于
B.经过时，质点的路程不可能大于，但可能小于
C.经过时，质点的瞬时速度不可能与经过位置 时的瞬时速度相等
D.经过时，质点速度的方向与经过位置 时速度的方向可能相同也可能相反
思路点拨 求解本题的关键是明确简谐运动的振幅、周期的含义，知道一个周期内质
点的路程等于振幅的4倍、半个周期内质点的路程等于振幅的2倍．
【解析】
选项 分析 正误
A √
B
选项 分析 正误
C
D 根据振动的周期性可知，经过半个周期后，质点速度的方向一定与 开始时速度的方向相反.
续表
做简谐运动的物体通过的路程及计算方法
1.振动物体在任意一个周期内，通过的路程等于4倍的振幅，在任意半个周期内，
通过的路程等于2倍的振幅．则
（1）当时，振动物体通过的总路程．
（2）当时，振动物体通过的总路程．
2.振动物体在内通过的路程可能等于一个振幅，还可能大于或小于一个振幅．只有
当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于一个振幅．
【学会了吗丨变式题】
图2-1-17
2.（多选）如图2-1-17所示，在水平光滑
杆上的一弹簧振子沿轴在、 两点之间
做简谐运动，、 两点之间的距离为
，某时刻振子沿轴负方向经过
ABD
A.振子做简谐运动的周期为
B.振子在任意四分之一个周期内运动的路程最大值为
C.振子在任意四分之一个周期内运动的路程最小值为
D.振子在任意半个周期内运动的路程一定为
点，之后第二次经过点.已知振子经过、两点时的速度大小均为，、 两点
之间的距离为 ，下列说法正确的是 ( )
【解析】振子沿轴负方向经过点，再经过平衡位置后第一次经过 点，然后到达
左侧最大位移处，此后再反向运动第二次经过点，因振子经过、 两点的速度大
小相等，说明、关于平衡位置对称，则可知振子从点至第二次经过 点的时间
为半个周期，故周期，选项A正确；振子的振幅为 ，振子
在平衡位置的速度最大，则振子在平衡位置前后各振动 的四分之一个周期内运动的
路程最大，最大路程为 ，选项B正确；同理，振子在
最大位移处前后各振动 的四分之一个周期内运动的路程最小，最小路程为
，选项C错误；振子在任意半个周期内运
动的路程一定为 ，选项D正确.
题型2 根据振动图像分析振动情况
例11 ［易错题］（多选）如图2-1-18甲所示，一弹簧振子的小球在、 间振动，取
向右为正方向，小球经过点时为计时起点，其振动的 图像如图乙所示，则下
列说法正确的是( )
AC
图2-1-18
A.时刻小球在点 B.时刻小球在 点
C.在时间内，小球的位移在增大 D.在 时间内，小球的位移在减小
【解析】
易混易错
对简谐运动的位移理解不透彻
振动图像中纵轴表示振动物体相对平衡位置的位移.
平衡位置处位移为零,是位移的起点,以后振动物体到达某位置，位移的方向就由平衡
位置指向该位置.
振动图像问题的判断方法
1.从振动图像获取必要信息.
2.把振动图像和物体的振动情境结合起来，分析出物体的运动情况.
3.注意若规定的正方向和计时起点不同，则振动物体的振动图像是不同的.
4.要明确简谐运动中振动物体的位移是由平衡位置指向振动物体所在的位置，平衡
位置处振动物体的位移为零.
【学会了吗丨变式题】
3.某弹簧振子沿 轴的简谐运动图像如图2-1-19所示，下列描述正确的是( )
B
图2-1-19
A. 时，振子的速度为零，加速度为正的最大值
B. 时，振子的速度为零，位移为负的最大值
C. 时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
D.和 时振子都位于平衡位置
【解析】时，振子的速度为零，加速度为负的最大值，故A错误； 时，
振子的速度为零，位移为负的最大值，故B正确； 时，振子位于平衡位置，速
度为正的最大值，加速度为零，（【点拨】弹簧振子沿 轴方向振动，在平衡位置受
力平衡，所以加速度为零.）故C错误；和 时振子都位于正向最大位移
处，故D错误.
. .
. .
题型3 根据振动情况判断振动图像
例12 （多选）一弹簧振子沿 轴振动,振子运动的最大位
移为，振子的平衡位置位于轴上的 点,如图2-1-20
甲所示，图中的、、、 为四个不同的振动状态：黑
点表示振子的位置,黑点上的箭头表示运动的方向.取向右
为正方向，图乙给出的①②③④四条振动图线中,可用于
表示振子的振动图像的是( )
AD
A.若规定状态时 ,则①可表示振子的振动图像
B.若规定状态时 ,则②可表示振子的振动图像
C.若规定状态时 ,则③可表示振子的振动图像
D.若规定状态时 ,则④可表示振子的振动图像
【解析】
根据质点振动情况判断振动图像的基本思路
【学会了吗丨变式题】
图2-1-21
4.新学习探索情境装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图2-1-21所
示.将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时
间内试管在竖直方向近似做简谐运动.若取竖直向上为正方向，则
以下描述试管振动的图像中,可能正确的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】装有砂粒的试管受到重力和浮力作用，竖直提起少许时，浮力小于重力，
合力向下.试管释放时，试管处于最高点（正方向最大位移处），将在合力作用下向
下（负方向）做加速运动，故试管的振动图像中， 时刻对应的位移为正方向最
大值，只有选项D正确.
题型4 简谐运动函数表达式的应用
例13 ［人教版教材习题改编］（2025·山东临沂期中）如图2-1-22所示为一弹簧振子
甲的振动图像，试完成以下问题：
图2-1-22
（1）写出该振子在任意时刻的位移 的表达式；
【答案】
［第1步：根据图像确定振幅、周期、角频率］
由图可知，弹簧振子甲的振幅，周期，则
［第2步：写出位移与时间关系的通式］
该振子在任意时刻的位移的表达式为
［第3步：求初相，确定位移与时间的关系式］
当时，，解得
可得 .
（2）另有一弹簧振子乙也做简谐运动，振幅为 ，周期与甲相同，乙的相位
比甲落后，请写出乙在任意时刻的位移 的表达式，并在同一坐标系中画出乙运动
的位移—时间图像.
【答案】 ; 图像见解析
［第1步：根据题给条件确定振幅、周期、角频率及初相］
依题意，弹簧振子乙的振幅，周期，则 ,
［第2步：写出位移与时间的关系式］
该振子在任意时刻的位移 的表达式
［第3步：求初始时刻乙的位移］
当时，有
图2-1-23
［第4步：根据位移表达式及初始时刻的位
移画图］
乙运动的位移—时间图像如图2-1-23中图线
Ⅱ所示.
巧画图像破疑难
应用简谐运动的函数表达式解决相关问题的注意点
1.明确振幅、周期、频率的对应数值，其中,.
2.把明确的物理量与所要求解的问题相对应，找到对应关系.
3.同频率的两个简谐运动进行比较时，相位差的取值范围一般为 .
4.比较相位或计算相位差时，一定要用同种函数来表示振动方程．
【学会了吗丨变式题】
5.一质点做简谐振动的振动方程是 ，则( )
B
A.在0至 内，质点的速度与加速度方向始终相同
B.在时，质点具有沿 轴正方向的最大加速度
C.在时，质点的速度方向与加速度方向均沿 轴正方向
D.在时，质点所受合力最大，速度方向沿 轴负方向
【解析】根据简谐振动的振动方程 ，可知角频率为
，则周期为时，．因为 ，则
在0至 时间内，质点从正向最大位移处运动到负向最大位移处，速度与加速度
方向先相同，后相反， 时，质点具有正向最大加速度，故A错误，B正确；
因，则时质点在 轴上方，向着正的最大位移处运动，质点
的速度方向沿轴正方向，而加速度方向沿 轴的负方向，故C错误；在
时，质点回到正向最大位移处，具有负向最大加速度，所受合力最大，
速度为零，故D错误.
题型5 简谐运动的周期性及多解性问题
例14 ［人教版教材习题改编］（2025·湖南长沙市长郡中学月考，多选）一振子沿
轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，时振子的位移为， 时
位移为 ，则( )
BC
A.振子在与 两处的加速度可能相等
B.振子在与 两处的速度可能不同
C.若振幅为，振子的周期可能为
D.若振幅为，振子的周期可能为
建构导图明思路
【解析】
假设振子在、之间振动，、分别对应的位置和 的位
置，如图所示.由题意知，振子从到用时，在一个周期内，振子从 振动
到 有四种不同的情况，再结合周期性，可对本题做如下分析.
对简谐运动的周期性和对称性的理解
1.简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可作如下判断：
（1）若,则、两时刻振动物体在同一位置，运动情况
相同；
（2）若,则、两时刻，描述振动物体运动的物理
量、、、均大小相等、方向相反.
2.简谐运动的对称性可分为空间对称性和时间对称性.
（1）空间对称性：经过平衡位置两侧的对称点时，加速度的大小相等，方向相反；
速度的大小相等，方向可能相同，可能相反；动能相同.
（2）时间对称性：不论是从对称点回到平衡位置，还是从平衡位置运动到对称点，
所用时间相等．
3.处理简谐运动周期性问题的思路：先根据周期明确做简谐运动的物体的具体位置，
再根据简谐运动的对称性确定具体关系.
【学会了吗丨变式题】
6.［易错题］（多选）一弹簧振子做简谐运动，点为平衡位置，当它经过 点时开
始计时，经过第一次到达点，再经过第二次到达 点，则弹簧振子第三次
到达 点还要经过的时间可能为( )
AC
A. B. C. D.
【解析】振子通过点的速度方向有两种可能，一种是从指向，另一种是从 点
背离 .利用简谐运动的对称性找出周期与运动时间的关系.
如图甲所示,为平衡位置，设 代表振幅，
振子从到所需时间为 ，因为简谐运动具有
如图乙所示，若振子一开始从平衡位置背离向运动，设与关于 点对称，则
振子 从经回到所用的时间与振子从经回到所用的时间相等，即．
振子从到和从到及从到所需时间相等，为 .则振子第三次
到达点还要经过的时间为 正确.
对称性，所以振子从到所用时间和从到 所用时间相等，故
,解得.振子第三次到达 点还要经过的时间为
正确.
考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 简谐运动及其规律. 1.理解机械振动的特点，知道弹簧
振子是理想化模型.
2.掌握简谐运动的规律，体会研究
简谐运动的思维方式.
3.能运用函数表达式和振动图像理
解和掌握简谐运动的特点和规律.
热点及难点 描述简谐运动的物理量，简谐 运动的公式和图像. 题型及难度 多以选择题形式出现，难度中 等. 高考中地位 命题频率较高，是高考的热点 之一. 考向1 考查振动图像的理解和应用
图2-1-24
例15 （2024·浙江1月选考科目试题）如图2-1-
24甲所示，质量相等的小球和点光源，分别用
相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为
,竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为 ，小
球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测
小球影子的运动.以竖直向上为正方向，小球和
光源的振动图像如图乙所示，则( )
D
A.时刻小球向上运动 B. 时刻光源的加速度向上
C.时刻小球与影子相位差为 D.时刻影子的位移为
本题以质量相等的小球和光源小振幅运动时，观测小球影子的运动为素材，创设简
谐运动规律的学习探究问题情境，对考生的逻辑推理与论证能力有一定的要求，体
现了高考对科学思维的考查.
【解析】
考向2 考查简谐运动的多解问题
例16 （2023·山东卷，多选）如图2-1-25所示，沿水平方向做简谐运动的质点，依次
通过相距的、两点.已知质点在点的位移大小为振幅的一半，在 点的位移大小
是在点的倍，质点经过点时开始计时，时刻第二次经过 点，该振动的振幅和
周期可能是( )
图2-1-25
BC
A., B., C., D.,
本题以水平方向的简谐运动创设问题情境，考查振幅、位移、周期等相关量，且涉
及多解问题，对考生的推理能力、分析综合能力和应用数学处理物理问题的能力要
求较高.
信息提取析题意
表述 关键点
【解析】
考向3 考查简谐运动的函数表达式
图2-1-26
例17 （江苏高考题）如图2-1-26所示，半径为 的
圆盘边缘有一钉子，在水平光线下，圆盘的转轴
和钉子在右侧墙壁上形成影子和，以 为原点
在竖直方向上建立坐标系. 时从图示位置沿逆
时针方向匀速转动圆盘，角速度为 ，则 做简谐
运动的表达式为( )
B
A. B.
C. D.
本题情境新颖，要求考生对简谐运动的表达式有深刻的理解，并能运用数学思维分
析处理物理问题，既体现了对重要物理研究方法的考查，也体现了高考对核心素养
的要求.
【解析】由题图可知，影子做简谐运动的振幅为，以向上为正方向，设 的振动
方程为，由题图可知，当时，的位移为 ，代入振动方程解
得，则做简谐运动的表达式为 ，选项B正确，A、C、D错误.
新考法 图像创新
考法解读 通过简谐运动的位移随时间变化的图像图像 考查简谐运动的描述、
振动规律等属于常规考法，但高考往往另辟蹊径，通过创设全新情境、变换图像形
式等，考查考生的理解分析能力和信息获取能力，如2024年北京卷就考查了竖直方
向做简谐运动的手机的加速度随时间变化的图像，要求考生根据 图像分析手机
做简谐运动的规律.面对这类创新试题，我们应记住“万变不离其宗”，抓住简谐运动
的本质，立足课本知识，灵活运用所学的方法解决实际情境中的新问题.
例18 （2024·北京卷）图2-1-27甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置.手机加速
度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程
中加速度随时间 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示.下列说法正确的是( )
D
图2-1-27
A. 时，弹簧弹力为0
B. 时，手机位于平衡位置上方
C.从至 ，手机的动能增大
D.随 变化的关系式为
【解析】
考法创新 本题用手机自带的加速度传感器研究竖直弹簧振子的振动，创新之处是给
出了手机振动过程的图像，并非常见的 图像，需要考生灵活运用所学知识
从图像中提取关键信息，并与弹簧振子的运动过程建立联系.
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：15分钟
1.如图所示，弹簧振子在、两点间做无摩擦的往复运动， 是振子的平衡位置.则
振子从向 运动过程中( )
C
A.速度一直变小 B.振幅一直变小 C.加速度一直变小 D.为半次全振动
【解析】振子在由点运动到 点的过程中，弹簧的弹力做正功，振子的速度不断增
大，故A错误；振幅为振子离开平衡位置的最大距离，是定值，故B错误；根据
可知加速度大小与位移大小成正比，振子在由点运动到 点的过程中，位
移减小，加速度减小，故C正确；振子从向运动的过程为 次全振动，故D错误.
2.如图所示是某振子做简谐运动的振动图像，以下说法正确的是( )
B
A.因为振动图像可由实验直接得到，所以振动图像就是振子实际运
动的轨迹
B.振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动
的实际轨迹
C.振子在位置的位移就是曲线 的长度
D.振子运动到 点时的速度方向即该点的切线方向
【解析】振动图像表示振子位移随时间的变化规律，并不是振子实际运动的轨迹，B
正确，A、C错误点切线的方向不表示振子运动到 点时的速度方向，D错误.
3.新生活实际 ［鲁科版教材习题改编］钓鱼是很多人的爱好，
浮漂是钓鱼的重要工具之一，如图是某浮漂静止在静水中的示意
图，、、为浮漂上的三个点，此时点 恰好在水面上.用手
将浮漂向下压，使点 恰好到达水面后松手，浮漂会上下运动，
上升到最高处时，点 到达水面，浮漂的运动可看成简谐运动.下
列说法正确的是( )
D
A.一个周期内，点 只能到达水面一次
B.点 到达水面时，浮漂具有最大速度
C.点 到达水面时，浮漂具有最大加速度
D.点 从水面运动到最高点的过程中，速度一直减小
【解析】简谐运动具有对称性，一个周期内，点 能到达水面两次，选项A错误；点
到达水面时，浮漂运动到最低点，加速度最大，速度最小，选项B错误；点 到达
水面时，浮漂运动到平衡位置，加速度最小，速度最大，选项C错误；点 从水面，
即平衡位置运动到最高点的过程中，速度一直减小，选项D正确.
4.弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为，周期为 ，计时开始时具有正向
最大加速度，则它的振动方程是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 时刻振子具有正向最大加速度，说明此时振子的位移是负向最大，则
位移与时间的函数关系式中， ，且由题给条件可知简谐运
动的角频率，振幅 ，则位移与时间的函数
关系式为 ．选项B正确.
5.一根自由长度为的轻弹簧，下端固定，上端连一个质量为的物块，在 上
再放一个质量为的物块，系统静止后，弹簧长度为 ，如图所示.如果迅速向
上移去，物块 将在竖直方向做简谐运动，此后弹簧的最大长度是( )
C
A. B. C. D.
【解析】移去物块后物块在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是物块 的重力和
弹簧弹力大小相等的位置，由题中条件可得此时弹簧长度为.物块 刚开始运动
时弹簧长度为，由对称性可知此后弹簧的最大长度是 .选项C正确．
6.［人教版教材习题改编］如图甲所示为一弹簧振子的振动图像，规定向右的方向
为正方向，图乙中为平衡位置，、 为最大位移位置，试根据图像分析以下问题.
图甲
图乙
（1）如图甲所示的振子振动的起始位置是_______________,从起始位置开始，振子
向____（填“右”或“左”）运动.
平衡位置（）
右
【解析】由题图甲可知，起始位置位移为0，下一时刻位移为正，而位移是指由平衡
位置指向振子所在位置的有向线段，故起始位置应在平衡位置，从起始位置开始，
振子向右运动.
（2）图甲中的、、、、 各对应图乙中的哪个位置
对应___，对应___，对应___,对应___， 对应___.
【解析】、、三点位移为0，对应平衡位置， 点为正向最大位移处，对应位
置为，点为负向最大位移处，对应位置为 .
（3）在时，振子速度的方向与 时速度的方向______（填“相同”或“相
反”）.
相反
【解析】时，切线斜率为正，说明振子向正方向运动， 时，切线斜率为
负，说明振子向负方向运动，故两时刻速度方向相反.
（4）振子在前 内的位移等于___.
0
【解析】振子从平衡位置运动 ，恰好又回到平衡位置，故位移为0.
B 综合练丨选考通关
建议时间：25分钟
7.如图所示，一个弹簧振子在、之间做简谐运动.为平衡位置，、 是振动过程
中关于 对称的两个位置，下列说法正确的是( )
B
A.振子在从向 运动的过程中，动能先减小后增大
B.振子在、间与、 间的运动时间相等
C.振子运动到、 两位置时，位移相同
D.振子在从向 运动的过程中，加速度先增大后减小
【解析】振子在从向 运动的过程中，速度先增大后减小，即动能先增大后减小，
加速度先减小后增大，选项A、D错误；由对称性可知，振子在、间与、 间的
运动时间相等，振子运动到、 两位置时，位移等大反向，选项B正确，C错误.
8.（2025·上海闵行中学期中）如图甲所示为以点为平衡位置，在、 两点间做简
谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法正确的是
( )
D
A.在 时，弹簧振子的加速度为正向最大
B.从到 时间内，弹簧振子做加速度减小的减速运动
C.在 时，弹簧振子的位移最小
D.在与 两个时刻，振子的速度都为零
【解析】
9.新学习探索情境［链接教材第42页“发展空
间”］如图甲是演示简谐运动图像的装置.当
盛沙漏斗下面的薄木板 被匀速拉出时，摆
动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显
示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直
A
A. B. C. D.
【解析】由题图乙知,又故 ，A正确，B、C、D错误.
线代表时间轴.图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板和板 拉
动的速度和的关系为，则板、上曲线所代表的振动的周期和
的关系是 ( )
10.（2025·湖南长沙市长郡中学月考，多选）、 两个质点做简谐运动的振动图像
如图所示，下列说法正确的是( )
BC
A.、的振幅之比是
B.、的振动周期之比是
C.、在内经过的路程之比是
D.时，、的位移大小之比是
【解析】由振动图像可知的振幅为，的振幅为，则、 的振幅之比是
，故A错误；由振动图像可知的周期为，的周期为，则、 的周期
之比是，故B正确；在内完成一次全振动，则经过的路程为，
完成两次全振动，则经过的路程也为，故C正确；和 的振动方程分别为
,,则时，、 的位移分别为
,，则、的位移大小之比是 ，故D错误.
11.新生活实际 如图甲所示为儿童玩具弹簧木马.某同学坐上弹簧木马后，由同伴配
合启动.若只进行上下运动，忽略能量损失，木马和该同学组成的整体的运动可看作
简谐运动，此简谐运动的振动图像如图乙.下列判断正确的是( )
D
图甲
图乙
A. 时刻，该整体做简谐运动的位移最大，且处于超重状态
B.到 的时间内，该整体的速度先变小后变大
C.和 时刻，该整体的加速度相同
D. 时刻，该整体在平衡位置下方且向上振动
【解析】 时刻，该整体做简谐运动的位移最大，且加速度向下，处于失重状
态，选项A错误；到 的时间内，该整体由最高点到平衡位置，再到
最低点，因此整体的速度先变大后变小，选项B错误；和 时刻，该
整体的位移大小相等，方向相反，所以该整体的加速度大小相等，方向相反，选项C
错误； 时刻对应的位移为负值，且此后位移的绝对值减小，说明该整体在
时刻位于平衡位置下方，且向上振动，选项D正确.
12.根据如图所示的振动图像，回答下列问题.
（1）将位移随时间的变化规律写成 的形式，并指出振动的初相位
是多少.
【答案】
【解析】由题图可知，该简谐运动的振幅，周期 ，角频率
，时
则有
代入数据得初相位 .
（2）算出下列时刻振子相对平衡位置的位移.
; .
【答案】
【解析】时， ；
时， .
C 培优练丨能力提升
建议时间：8分钟
13.弹簧振子以点为平衡位置，在、两点间做简谐运动，在时，振子从 、
间的点以速度向点运动；在时，振子速度第一次变为；在
时，振子速度第二次变为 .
（1）求弹簧振子的振动周期 ；
【答案】
图甲
【解析】弹簧振子做简谐运动的示意图如图甲所示，由对称性可
得振子速度第二次变为时，振子运动到点相对于 点的对称
位置点，此时振子运动的时间为，故周期 .
（2）若、之间的距离为，求振子在 内通过的路程;
【答案】
【解析】若、之间的距离为，则振幅 ，又
,故振子在内通过的路程 .
（3）若、之间的距离为 ，从平衡位置开始计时，写出弹簧振子的振动方程，
并画出弹簧振子的振动图像.
【答案】 振动图像如图乙所示
【解析】从平衡位置开始计时，振动方程可写为，其中 ，
，即 .振动图像如图乙所示.
图乙

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