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第二章 机械振动
第2节 简谐运动的回复力及能量
______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 1.会分析弹簧振子的受力情
况，理解回复力的概念.
2.认识简谐运动中位移、速
度、加速度、回复力的变
化关系，完善运动与相互
作用观念.
3.理解水平弹簧振子的能量
转化情况，完善能量观念.
情境导学
弹簧是减震器的关键组件，它能够吸收和分散来自外部的振动和冲击的能量.上
图是汽车减震器，其中的弹簧可看作一个储能元件，储能的同时还可以把影响车辆
乘坐舒适度和操控稳定性的不利能量消耗掉.
新知课丨必备知识解读
知识点1 回复力
定义 当振动物体偏离平衡位置时，会受到一个指向平衡位置的力，这个力叫
作回复力.
公式
大小 与位移大小成正比.
方向 总是指向平衡位置.
来源 回复力可以由某一个力提供，也可能是几个力的合力，还可能是某一个
力的分力.
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举例分析 情境 图示 回复力
水平弹簧振子 ______________________________________________________ （【说明】水平杆光 滑，弹簧的质量忽略不 计.） 由弹簧弹力提供回复力.
续表
举例分析 竖直弹簧振子 ____________________ 由弹簧弹力和重力的合力提供
回复力.
__________________________________________ （【说明】水平面光 滑.）
续表
学思用·典例详解
例1-1 （多选）如图2-2-1所示，小球在光滑水平杆上的、 两点之间做往复运动，
平衡位置为 点，下列说法正确的是( )
AD
图2-2-1
A.小球在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.小球在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由点向 点运动的过程中，回复力逐渐增大
D.小球由点向 点运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置
【解析】回复力不是做简谐运动的物体受到的具体的力，小球受重力、支持力和弹
簧弹力，弹簧弹力提供回复力，故A正确，B错误;回复力的大小与位移的大小成正比，
小球由点向 点运动的过程中位移在减小，则回复力逐渐减小,故C错误；回复力的
方向总是指向平衡位置，故D正确.
知识点2 简谐运动中的能量转化
图2-2-2
1 弹簧振子的状态与能量的关系
（1）振子的动能
由 可知，因为振子的速度在不断变化，所以
动能也在不断变化.
（2）振子的势能
弹簧的弹性势能与形变量有关，因为弹簧形变量在不
断变化，所以势能也在不断变化.
（3）振子在不同位置的动能和势能
以水平弹簧振子为例，如图2-2-2所示，设弹簧振子在任意时刻（或任意位置）
的动能为，势能为 ，则动能和势能的变化如下表所示.
振子位置
振子速度 零 增大 最大 减小 零
动能 零 增大 最大 减小 零
弹簧形变量 最大 减小 零 增大 最大
弹性势能 最大 减小 零 增大 最大
特别提醒 1.在一个振动周期内，动能和势能完成两次周期性变化.
2.振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能.
2 弹簧振子的能量变化规律
（1）振动系统的总机械能等于弹簧的势能与振子的动能之和，振动过程就是动
能和势能相互转化的过程.
（2）在动能与势能转化的过程中，机械能守恒.
深度理解 1.从力的角度分析，简谐运动没有摩擦阻力.
2.从能量转化角度分析，简谐运动没有机械能损失（理想化的运动模型.），一
旦供给系统一定的能量，使它开始振动，它就以一定的振幅永不停息地持续振动.
3 决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关.对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，
系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小.
. .
学思用·典例详解
例2-2 把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水
平方向做简谐运动，它围绕平衡位置在、 间振动，如图2-2-3，下列结论正确的
是( )
C
图2-2-3
A.小球在 位置时，动能最小，加速度最小
B.小球在 位置时，动能最大，加速度最大
C.从经到 的过程中，回复力先做正功后做负功
D.从到 的过程中，振动的能量不断减小
【解析】 .
选项 分析 正误
A 小球经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置时 动能最大，回复力为零，加速度为零.
B
C √
D 小球的动能和弹簧的弹性势能相互转化，且总量保持不变，即振动 的能量保持不变.
释疑惑 重难拓展
知识点3 弹簧振子在一个周期内的运动规律
1 情境分析
如图2-2-4所示，振子以点为平衡位置在、之间做简谐运动.
图2-2-4
2 描述简谐运动的物理量及其变化规律
当振子离开平衡位置的距离从零向最大值变化时，回复力、加速度、速度、动能、
弹性势能等都由距离为零时对应的值向距离最大时对应的值变化，反之亦然.在回复力
的作用下，振子在振动过程中离开平衡位置的距离、加速度、速度、动能、弹性势能
等在每个周期里完全重复.它们在一个周期内的不同位置，变化规律如下表所示：
振子位置
位移 方向 正 正 — 负 负 负 — 正
大小 最大 减小 零 增大 最大 减小 零 增大
回复力 方向 负 负 — 正 正 正 — 负
大小 最大 减小 零 增大 最大 减小 零 增大
加速度 方向 负 负 — 正 正 正 — 负
大小 最大 减小 零 增大 最大 减小 零 增大
速度 方向 — 负 负 负 — 正 正 正
大小 零 增大 最大 减小 零 增大 最大 减小
动能 零 增大 最大 减小 零 增大 最大 减小
弹性势能 最大 减小 零 增大 最大 减小 零 增大
从表格中可以得出：
（1）弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程.
（2）在最大位移处，势能最大（弹簧形变量最大），动能为零.
（3）在平衡位置处，动能最大（回复力为零，速度最大），势能为零.
知识点4 简谐运动的对称性和周期性
1 简谐运动的对称性
时间的对称
速度的对称
位移和加速度的 对称
动能、势能、机 械能的对称
续表
2 简谐运动的周期性
做简谐运动的物体，每隔一段时间总重复之前的运动，即运动具有周期性，其
运动周期由振动系统本身的性质决定.根据其周期性可作出如下判断.
（1）若,则、两时刻振动物体在同一位置，运动
情况相同.
（2）若,则、两时刻，描述物体运动的物理
量、、、均大小相等、方向相反.
（3）若或,则当
时刻物体到达最大位移处时,时刻物体到达平衡位置;当时刻物体到达平衡位置
时,时刻物体到达最大位移处;当时刻物体在其他位置时,时刻物体到达何处要视
具体情况而定.
学思用·典例详解
例4-3 如图2-2-5所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距
的、两点，历时，过点后再经过 ，质点以大小相等、方向相反的速
度再次通过点，点为 的中点,则质点两次经过动能最大位置的时间间隔为
( )
图2-2-5
B
A. B. C. D.
建构导图明思路
【解析】质点在平衡位置动能最大，质点以同样的速度通过、 两点，则可判定这
两点关于平衡位置点对称，所以质点由点到点的时间与由点到 点的时间相
等, .因过点后再经过 质点以方向相反、大小相同的速度
再次通过点，则.质点振动的周期 ,质点从
离开点到再次回到点历时 ，选项B正确，A、C、D错误.
方法技巧
处理简谐运动周期性和对称性问题的思路：先根据初位置及运动的周期性明确做简
谐运动的物体的具体位置，再根据简谐运动的对称性判断各物理量的变化情况.
探考法 教材深挖
深挖点 简谐运动的判断方法
链接教材第47页“发展空间”，证明浮体做简谐运动
1 简谐运动的特征
（1）动力学特征
①回复力.
②加速度.
（2）运动学特征:.
（3）能量特征:振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大,振动系统的机械能越大.
2 简谐运动的判断方法
（1）运动学方法判断
找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图像
图像是一条正弦曲线，就可以判定此振动为简谐运动（通常很少应用这个方
法）.
. .
. .
（2）动力学方法判断
找出回复力与位移的关系，若满足（或 ），就可以判定此振
动为简谐运动.此方法既简单又常用，具体步骤如下：
①质点静止时的位置即平衡位置，规定正方向;
②在振动过程中任选一位置（偏离平衡位置的位移为 ），对质点进行受力分析;
③把力沿振动方向进行分解，求出振动方向上的合力，即回复力;
④判定回复力与位移的关系是否符合 .
. .
. .
特别提醒
公式的两个注意点
1.公式中的是回复力与位移的比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，
由振动系统自身决定.
2.“”是做简谐运动的物体独有的受力特征：如果是简谐运动，受力特点
一定是；如果运动物体受力具有的特点，则该物体一定做简谐运动.
这也是判断物体是否做简谐运动的动力学依据.
明考向·出题考法
例4 新 学习探索情境一质量为、某一面的面积为 的正方体木块，放在水面上静
止（平衡），如图2-2-6所示，现用力向下将其压入水中一段深度后撤掉外力，木块
在水中上下振动,不计各种阻力.
图2-2-6
（1）试分析木块上下振动的回复力的来源；
（2）试证明该木块的振动是简谐运动.
【答案】见解析
图2-2-7
【解析】（1）木块上下振动的回复力是重力和浮力的合力.
（2）以木块为研究对象，取竖直向下为正方向，设静止时木块浸入
水中的深度为，当木块又被压入水中的深度为 后，撤去外力瞬间
木块的受力如图2-2-7所示，则
①
又 ②
联立①②式可得
又木块静止时，有
所以
即
所以木块的振动是简谐运动.
解题课丨关键能力构建
题型1 判断物体是否做简谐运动
例5 （安徽高考题）如图2-2-8示，质量为、倾角为 的斜面体（斜面光滑且足够
长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为 ，斜面顶端与劲度系数
为、自然长度为的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为 的物块.压缩弹簧
使其长度为 时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于
静止状态.重力加速度为 .
图2-2-8
（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
【答案】
【解析】设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为，由 ，解得
此时弹簧的长度为 .
（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用 表示物
块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
【答案】见解析
【解析】当物块的位移为时，弹簧伸长量为 ，物块在沿斜面方向上所受合力
为,由（1）知，
可得 ，满足简谐运动的回复力特征
由此可知物块做简谐运动.
（3）求弹簧的最大伸长量.
【答案】
【解析】压缩弹簧为时释放物块，此时物块距平衡位置的距离为 ,物块做简
谐运动的振幅为 ,由简谐运动的对称性可知，弹簧的最大伸长量为
.
物体是否做简谐运动的判断方法
【学会了吗丨变式题】
图2-2-9
1.如图2-2-9所示，质量为 的物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系
数分别为和，且, ，两弹簧均处于原长状态.规
定向右为正方向，现向右拉动物体，然后释放，物体在、 间
振动（弹簧始终在弹性限度内）， 为平衡位置（不计阻力）,物
体位移为 ,则下列判断正确的是( )
A
A.物体做简谐运动, B.物体做简谐运动，
C.回复力 D.回复力
【解析】物体离开点时所受的指向点的力 ，符合简谐
运动的回复力的特点，因此物体以点为平衡位置做简谐运动，所以 ，故A
正确，B、C、D错误.
题型2 简谐运动中的功与能量问题求解
图2-2-10
例6 （2025·江苏无锡期中）光滑斜面上有一物块 被平行于斜面
的轻质弹簧拉住并静止于点，如图2-2-10所示，现将 沿斜面拉
到点无初速度释放，物块在、 之间做简谐运动，则下列说法
错误的是( )
B
A.在弹簧的弹性限度范围内， 越长，振动能量越大
B.物块 在运动过程中机械能守恒
C.物块在点时，物块 与弹簧组成的系统的势能最大
D.物块在 点时机械能最小
建构导图明思路
解答本题要抓住三个关键点：
【解析】 越长，振动的幅度越大，故振动的能量越大，A正确；在运动过程中，
物块和弹簧组成的系统的机械能守恒，由于弹簧的弹性势能是变化的，故物块 的
机械能不守恒，B错误；物块和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块在 点时，动
能为零，故物块 与弹簧构成的系统的势能（重力势能和弹性势能之和）最大，C正
确；物块和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块在 点时，弹簧的伸长量最大，
弹簧的弹性势能最大，物块 的机械能最小，故D正确.
做简谐运动的物体的能量转化规律
1.简谐运动的能量一般是振动系统的机械能，振动过程就是动能和势能相互转化的
过程.
2.同一简谐运动中的能量大小由振幅决定，若振幅不变，则振动系统的能量不变.回
复力做正功时，系统的动能增大而势能减小.
3.简谐运动的过程是能量转化的过程，如果没有外界阻力，在动能与势能转化的过
程中，机械能守恒.以沿水平方向振动的弹簧振子为例，总机械能任意位置的动能
势能平衡位置的动能最大位移处的势能.
【学会了吗丨变式题】
2.如图2-2-11甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,周期 ,从最低点向上运动时
开始计时,振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
D
图2-2-11
A. 时,振子的加速度为正，速度也为正
B. 时,系统的弹性势能最大，重力势能最小
C. 时,系统的弹性势能为零，重力势能最小
D. 时,系统的弹性势能最大，重力势能最小
【解析】从题图乙中可知在 时振子在平衡位置上方，向下振动，故加速度
向下，速度向下，两者都为负，A错误. 时，振子在正向最大位移处，即最高
点，故振子的重力势能最大，B错误. 时，振子在平衡位置，位移为零，但不
在最低点，所以重力势能不是最小，C错误. 时，振子在最低点，重力势能最
小，处于负向最大位移处，弹簧伸长量最大，且大于振子在正向最大位移处的弹簧
的压缩量，故弹性势能最大，D正确.
考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 回复力的概念、简谐运动的能量. 1.理解回复力的来源、作用、变
化规律.
2.掌握简谐运动中各物理量在振
动过程中的变化规律.
3.熟练掌握简谐运动中的时间对
称性、空间对称性、速度和加速
度的对称性及能量变化的对称性
等特点.
热点及难点 简谐运动的图像问题和能量问题. 题型及难度 多以选择题、填空题的形式出 现，有时也会以计算题形式出 现，难度中等. 高考中地位 在高考中出现频率较高. 考向1 描述简谐运动的物理量
图2-2-12
例7 （全国卷Ⅱ高考题）如图2-2-12所示，一轻弹簧一端固
定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由、 两个
小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振
幅为，周期为．当物块向右通过平衡位置时，、 之间
的粘胶脱开；此后小物块振动的振幅和周期分别为和，则___（填“ ”“ ”
或“”），___（填“ ”“ ”或“ ”）.
本题考查考生对描述简谐运动的物理量和能量守恒的理解.
【解析】物块向右通过平衡位置时，小物块、脱离， 向右做匀速直线运动，振
动系统的总能量由减小为，故此后振幅变小，即 ；另外
由于振动系统质量减小，运动惯性也减小，此后振动状态更容易发生改变，即振动
周期变小，有 .
考向2 简谐运动综合问题的分析与求解
图2-2-13
例8 （2022·湖南卷，多选）下端附着重物的粗细均匀木
棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向
做频率为 的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向
上随河水做匀速直线运动，如图2-2-13（a）所示．以木
ABD
A.从到 的过程中，木棒的动能先增大后减小
B.从到 的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C.和 时，木棒的速度大小相等，方向相反
D.木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为
棒所受浮力为纵轴，木棒水平位移为横轴建立直角坐标系，浮力随水平位移 的
变化如图（b）所示．已知河水密度为 ，木棒横截面积为 ，重力加速度大小为
． 下列说法正确的是( )
信息提取析题意
题给信息 说明
木棒在水平方向上随河水做匀速 直线运动.
木棒运动到最低点，在向下的最大位移处.
木棒运动到最高点，在向上的最大位移处.
【解析】
命题 探源 本题以木棒在水面上的简谐运动为素材创设研究简谐运动规律的学习探索情 境，类似情境在教材中也有体现，如教材第47页“发展空间”中的“实验室”， 要求证明柱状浮体在液体中的振动是简谐运动. 素养 探源 核心 素养 考查方式
物理 观念 本题通过联系实际的问题情境，主要考查了简谐运动、运动的合成与
分解等知识点，考查考生的运动观念和能量观念.
科学 思维
【类题链接丨变式题】
类题 变角度·竖直方向变为水平方向（2022·浙江6月选考科目试题）如图2-2-14所示，
一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距
．套在杆上的小球从中点以初速度向右运动，小球将做周期为 的往复运动，则
( )
B
图2-2-14
A.小球做简谐运动
B.小球动能的变化周期为
C.两根弹簧的总弹性势能的变化周期为
D.小球的初速度为时，其运动周期为
【解析】由于小球在两弹簧之间做匀速运动，受力大小与位移大小不成正比，小球
做的不是简谐运动，A错误．小球从杆中点出发到第一次回到杆中点的过程，初、
末动能相等，则小球动能的变化周期为 ，分析可知两根弹簧的总弹性势能的变化周
期也为，B正确，C错误．小球的初速度为 时，在细杆上匀速运动的时间等于初速
度为时的2倍，小球从接触弹簧到速度减到零的时间等于初速度为 时小球从接触弹
簧到速度减为零的时间 【点拨】弹簧振子做简谐运动的周期由振动系统的性质决定
,故小球接触弹簧过程中所用时间与初速度无关.，故初速度为 时的运
动周期小于 ，D错误.
. .
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：10分钟
1.做简谐运动的物体每次经过同一位置时具有的相同物理量是( )
C
A.位移、速度和加速度 B.速度、位移和动能
C.加速度、位移和动能 D.回复力、位移和速度
【解析】做简谐运动的物体，每次通过同一位置时，速度可能有两种方向，而速度
是矢量，所以速度不一定相同．根据简谐运动的特征可知，， ，
物体每次通过同一位置时，位移一定相同，回复力和加速度也一定相同．动能是标
量，经过同一位置时，物体的速度大小相同，动能相同，故C项正确.
2.做简谐运动的物体，其回复力和位移的关系是下列图中的( )
B
A. B. C. D.
【解析】由可知，回复力的大小与位移 的大小成正比，方向与位移方向
相反，故选项B正确.
3.一物体做简谐运动，周期为，振幅为，现使其振幅变为 ，其他条件不变，则
物体振动的( )
C
A.周期将变为原来的2倍 B.周期将变为原来的二分之一
C.周期不变 D.一个周期内通过的路程不变
【解析】做简谐运动的物体，其周期是由振动系统的性质决定的，与振动的振幅无
关,所以使其振幅变为 ，其他条件不变，则物体振动的周期不变，故A、B错误，C
正确；做简谐运动的物体，一个周期内通过的路程是4倍振幅，使其振幅变为 ，
其他条件不变，则物体一个周期内通过的路程是原来的2倍，故D错误.
4.一质点做简谐运动，其振动图像如图所示，在 时间内质点的运动情况是
( )
B
A.沿轴负方向运动，位移不断增大 B.沿 轴正方向运动，速度不断减小
C.动能不断增大，系统的势能不断减小 D.动能不断减小，加速度不断减小
【解析】由题图可知，在 时间内，质点正在由平衡位置向正向最大位移处
运动，所以速度方向沿 轴正方向，且不断减小，动能减小，系统的势能增大；由于
质点位移增大，所以其所受回复力增大，加速度也增大.选项B正确.
5.在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的质量是 ，当它运动到平衡位置左侧
处时，受到的回复力大小是，当它运动到平衡位置右侧 处时，它的加速
度( )
D
A.大小为，方向水平向右 B.大小为 ，方向水平向左
C.大小为，方向水平向右 D.大小为 ，方向水平向左
【解析】以水平向右为正方向，当弹簧振子运动到平衡位置左侧 处时，回复力
为，，当它运动到平衡位置右侧 处时，回复力为
，，又因，可得 ，故加速度
，即加速度大小为 ，方向水平向左，选项D正确.
B 综合练丨选考通关
建议时间：25分钟
6.如图所示，水平轻弹簧左端固定在墙壁上，
右端与一质量为 的物块相连，物块可在光
滑水平面上做简谐运动，振幅为 .在运动过
程中将一质量为 的小物体轻放在物块上，
第一次是当物块运动到平衡位置时将小物体
B
A. B. C. D.
放到物块上面，第二次是当物块运动到最大位移处时将小物体放到物块上面，观察
到第一次放后振幅为，第二次放后振幅为 ，则( )
【解析】第一次是当物块运动到平衡位置处时将一质量为 的小物体轻放在物块上，
设此时物块的速度为 ,由于小物体轻放到物块上时水平方向的速度可以看作是0，由
动量守恒定律得，所以 ，此过程中系统的动能变化量
，可知当物块运动到平衡位置 处时，
将一质量为 的小物体轻放在物块上的过程中，物块和小物体组成的系统的机械能
有一定的损失；当物块运动到最大位移处，将一质量为 的小物体轻放在物块上时，
由于二者水平方向的速度都是0，所以物块和小物体组成的系统的机械能没有损失，
振幅不变.由以上分析可知，第一种情况系统的机械能小，所以第一种情况下系统振
动的振幅小于第二种情况下系统振动的振幅.选项B正确.
7.（多选）如图所示，在倾角为 的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物
体和，它们的质量均为，弹簧的劲度系数为， 为一固定的挡板.现让一质量为
的物体从距离长度为的位置处由静止释放，和 相碰后立即粘为一体，之后
在斜面上做简谐运动,在简谐运动过程中，物体对的最小压力为 ，则
( )
BD
A.、做简谐运动的振幅为 B.、做简谐运动的振幅为
C.对的最大压力为 D.对的最大压力为
【解析】当弹簧弹力等于、的重力沿斜面方向向下的分力时，、 处于平衡状
态，由 可知，平衡时弹簧的形变量为 ，弹簧处于压缩
状态，当对的压力最小时，对受力分析，则有 ，此时
弹簧伸长量最大，、在最大位移处，形变量为 ，故简谐运动的振幅为
，A错误，B正确；当、 运动到最低点时，弹簧的弹力最
大，对的压力最大，此时弹簧的形变量为 ，弹力大小为
，故此时对的压力大小为 ，
C错误，D正确.
8.（多选）如图所示，两木块、质量分别为、，用劲度系数为 的轻弹簧连在
一起，放在水平地面上，在木块正上方高度处有一与A完全相同的木块 ，现由静
止释放，释放后自由下落与 发生碰撞并粘在一起向下运动，之后在竖直方向做
简谐运动．在、一起运动过程中，木块 刚好不离开地面，弹簧始终在弹性限度
内，忽略空气阻力，重力加速度为 ．以下说法正确的是( )
AC
A.碰后瞬间、一起向下运动的速度大小为
B.在振动过程中，、 组成的系统机械能守恒
C.、做简谐运动的振幅为
D.、做简谐运动的过程中，弹簧的最大弹性势能为
【解析】做自由落体运动，与碰撞前速度为 ，碰撞过程中动量守恒，
则有，可得，故A正确；在振动过程中，由于弹簧弹力对 、
做功，所以、组成的系统机械能不守恒，故B错误；、 振动过程中达到平衡
位置时，有，可得，而由于恰好不离开地面，则有 ，
可得，故振幅为，C正确；、 做简谐运动的过程中，
弹簧压缩到最短的时候，弹簧弹性势能最大，弹簧压缩到最短时的压缩量为
，设、碰撞后瞬间弹簧的弹性势能为 ，此时弹簧的压缩
量，、 和弹簧组成的系统机械能守恒，可得
，故D错误.
9.新 学习探索情境装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲
所示.把玻璃管向下缓慢按压 后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖
直方向上的简谐运动，测得振动周期为 .以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，
其振动图像如图乙所示，其中 为振幅.对于玻璃管，下列说法正确的是( )
A
A.位移满足函数式
B.回复力是浮力
C.在 时间内,位移减小,速度减小,加
速度增大
D.振动过程中玻璃管的机械能守恒
【解析】振动周期为，则角频率为，依题意， ，
时，，结合 时刻玻璃管振动的方向向下，可知
， 则玻璃管的振动方程为 ，故A正确；回复力由浮
力和重力的合力提供，故B错误；由题图乙可知，在 时间内，位移减小，根据
易知加速度减小，该段时间内玻璃管向着平衡位置做加速运动，所以速度
增大，故C错误；玻璃管在做简谐运动过程中，水的浮力对玻璃管做功，所以玻璃管
的机械能不守恒，故D错误.
10.［教材第47页“自我评价”第5题改编］物理学中，牛顿运动定律揭示
了力和运动有着密切的关系，而做功既是力的空间累积效果，又是能量
转化的量度.因此在研究某些运动时，可以先分析研究对象的受力，进而
研究其能量问题.已知重力加速度为 ,在下述情境中，均不计空气阻力.
（1）劲度系数为 的轻质弹簧上端固定，下端连一可视为质点的小物块，
若以小物块受力平衡的位置为坐标原点 ，建立正方向竖直向下的坐标
【答案】见解析
轴，如图所示，为小物块由平衡位置向下发生的位移.请表示出小物块的合力 与位
移 的关系式，并据此证明小物块的运动是简谐运动；
图甲
【解析】设小物块的质量为,位于平衡位置时弹簧的伸长量为 ，则有
当小物块相对于平衡位置向下的位移为 时，受力如图甲所示
合力
其中
解得合力
即小物块所受合力大小与位移大小成正比，合力方向与位移方向相反，由此
得证小物块的运动是简谐运动.
（2）请你结合小物块的受力特点和求解变力做功的方法，求出小物块从平衡位置开
始发生位移的过程中动能变化量 ；
【答案】
图乙
【解析】由（1）知合力与位移 的关系图线如图乙所示
小物块由平衡位置到位移为的运动过程中合力 做的功等于
图线与坐标轴所围图形的面积
故
由动能定理得 .
（3）系统的总势能 为重力势能与弹性势能之和，若取平衡位置为系统总势能的零
势能参考点，请结合能量守恒的思想写出小物块位移为时系统总势能 的表达式；
【答案】
【解析】由题意知小物块与弹簧组成的系统机械能守恒，依据机械能守恒定律有
解得 .
（4）已知此简谐运动的振幅为，求小物块在振动位移为时的动能（用和 表
示）.
【答案】
【解析】小物块运动到平衡位置点下方处时，系统的势能为
小物块在最大位移处的动能为零，此时系统的势能为
系统振动的全过程能量守恒，依据能量守恒定律有
可得 .
C 培优练丨能力提升
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11.新 知识综合 （江苏高考题）如图所示，带电荷量分别为和 的小球
、固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距．若杆上套一带电小环 ，带电体
、和 均可视为点电荷．
（1）求小环 的平衡位置．
【答案】在、连线的延长线上距离为 处
【解析】对进行受力分析，根据共点力平衡条件得、 对它的库仑力大小相等、
方向相反，所以小环的平衡位置应该在、连线的延长线上，设在、 连线的
延长线上距离为处达到平衡，带电荷量为 ，由库仑定律及平衡条件得
解得（舍去）；
所以小环的平衡位置在、连线延长线上距离为 处.
（2）若小环带电荷量为，将小环拉离平衡位置一小位移 后静止释放，
试判断小环 能否回到平衡位置．（回答“能”或“不能”即可）
【答案】不能
【解析】不能，若小环带电荷量为，将小环拉离平衡位置一小位移 后
静止释放，由于受到的电场力的合力背离平衡位置，所以 将由静止开始背离平衡
位置做加速运动，不能回到平衡位置.
（3）若小环带电荷量为，将小环拉离平衡位置一小位移 后静止释放，
试证明小环将做简谐运动．（提示：当时，则 ）
【答案】见解析
【解析】小环带电荷量为，其平衡位置不变，拉离平衡位置一小位移
后， 受力为
所以小环 将做简谐运动.

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