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第二章 机械振动
第3节 单摆
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________ 1.理解单摆的结构，知道单
摆是理想化模型.
2.会分析单摆受到的回复
力，知道实际摆可以看成单
摆的条件.
3.通过实验掌握单摆的周期
公式，并能应用其解决实际
问题.
情境导学
伽利略看到吊灯不停地摆动，他用脉搏计量时间，仔细观察吊灯的摆动，终于
发现了吊灯摆动的规律.后来，惠更斯研究了单摆的振动，确定了单摆做简谐运动的
周期公式.
新知课丨必备知识解读
知识点1 单摆及其运动规律
图2-3-1
1 单摆
（1）定义
如图2-3-1所示，细线下面悬挂一个小球，若忽略细线长度的微小
变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置就叫作单摆.
（【说明】单摆是一个理想化模型：摆球是质点，摆线无形变、无质
量.）
. .
. .
. .
. .
（2）实际摆看成单摆的条件
形变要求 摆线的伸缩量可以忽略.
质量要求 摆线质量与摆球质量相比可以忽略.
长度要求 摆球的直径与摆线的长度相比可以忽略.
受力要求 忽略摆球摆动过程中所受空气阻力的作用.
2 单摆的回复力
图2-3-2
（1）来源
如图2-3-2所示，取摆球在运动过程中的任意一点 .设摆
球在点时细线与竖直方向的夹角为 ，摆球受两个力——沿
细线方向的拉力，竖直向下的重力.将重力 分解为沿圆弧
切线方向上的分量和沿摆线方向上的分量 ，则摆线的拉
力和 的合力提供了摆球绕悬点做圆周运动需要的向心力，
而重力沿圆弧切线方向的分力 ，近似指向平衡位置 ，它提供了摆球
振动的回复力.
. .
. .
. .
特别提醒 1.摆球做两个运动：一是在平衡位置两侧做往复运动，二是绕悬点做圆
周运动.
2.摆球的回复力来源于重力沿圆弧切线方向上的分力，而不是摆球所受到的合力.
（ 除最高点外（在最高点，摆球速度为零，所需向心力为零，此时回复力等于摆球
受到的合力））.
3.当摆球经过平衡位置时，回复力为零，而其所受合力不为零，此时合力提供摆球
做圆周运动的向心力.
. .
（2）特点
设单摆的摆长为，选取平衡位置为坐标原点，水平线为轴，当偏角 很小时
为 左右弧线与轴近似重合，则摆球偏离平衡位置的位移可用 表示，有
，由数学关系知.所以单摆的回复力为 ，负号表示回
复力与位移 的方向相反.
由于、、对同一个单摆都有确定的数值，可以用一个常量 表示，上式可
以写成 .
可见，在偏角较小的情况下，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成
正比，与弹簧振子受的回复力形式相同.所以，单摆在偏角很小（ 左右）
（单摆做简谐运动的条件 ）时的振动是简谐运动.
. .
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 （多选）单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是
( )
ABC
A.摆线质量不计 B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度小得多 D.只要是单摆的运动就是简谐运动
【解析】单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩，摆球直径
远小于摆线长度，A、B、C项正确．把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，
只有在满足上述条件，且摆动偏角很小 左右 的情况下才能视单摆的运动为简谐
运动，D项错误.
图2-3-3
例1-2 如图2-3-3所示， 点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质
点）拉至 点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平
面内的、之间来回摆动， 点为运动中的最低位置，则在摆动过程
中( )
D
A.摆球在点和 点处，速度为零，所受合力也为零
B.摆球在点和 点处，速度为零，回复力也为零
C.摆球在 点处，速度最大，回复力也最大
D.摆球在 点处，速度最大，细线拉力也最大
【解析】摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧做圆周运动，在最高点、 处速度
为零，所受合力不为零，A错误；在最低点 处速度最大，所需向心力最大，重力沿
细线方向的分力最大，细线的拉力最大，D正确；回复力 ，其中 为
摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点、 处回复力最大，
在最低点 处回复力为零，故B、C错误.
知识点2 通过实验探究单摆的周期和摆长的关系
1 探究影响单摆周期的因素
（1）猜想
单摆周期可能与摆球的质量、摆长及振幅（偏角为 左右）有关.
（2）实验方法
控制变量法.
. .
（3）实验过程
如图2-3-4所示，在两个铁架台的横梁上分别固定一个单摆，按照以下几种情况，
把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆的振动快慢.
图2-3-4
①两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同.
②两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同.
③两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同.
（4）结论
单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大，周期与摆球的质量
和振幅无关.
. .
2 探究单摆周期与摆长 的关系
（1）猜想
与 成正比；
与 成正比.
（2）测量单摆周期的方法
把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动.当摆球某次通过
平衡位置时开始计时，用停表记下摆球通过平衡位置次所用的时间 ，因为单摆完
成一个周期的振动，经过平衡位置两次，所以有
,
【说明】因摆球在平衡位置速度最大，计时误差小，一般选平衡位置为计时起点.
（3）实验过程
①测量摆长
用刻度尺量出悬线长度，用游标卡尺量出摆球的直径，则摆长 .
②改变单摆的摆长，测出不同摆长单摆的周期，记录在下表中.
实验次数 摆球直径
1
2
…
（4）作图
①以为纵轴，为横轴，根据表中数据，作出 图像.
②以为纵轴，为横轴，根据表中数据，作出 图像.
（5）结论
单摆的周期与摆长的二次方根成正比，即 .
学思用·典例详解
例2-3 （2024·辽宁大连期中）某兴趣小组做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验.
（1）摆线要选择细些的、伸缩性____些的，摆球要选择质量大些的、体积____些的.
（选填“大”或“小”）
小
小
【解析】摆线要选择细些的、伸缩性小些的；摆球要选择质量大些的、体积小些的.
（2）从摆球经过平衡位置开始计时，测出次全振动的时间为，则单摆的周期 为
__；用毫米刻度尺量出悬点到摆球的摆线长为，用游标卡尺测出摆球直径为 ，则
单摆的摆长 为______.
【解析】单摆的振动周期为 ，由于摆长为悬点到球心的距离，故摆长为
.
（3）实验测出不同摆长对应的多组数据，利用实验数据作出了、 、
图像，其中________图像最能直观反映周期与摆长的关系，由该图像可得到
单摆的周期与摆长的关系是______________________（用数学表达式表示）.
为比例系数
【解析】单摆的周期与摆长的二次方根成正比，因此 图像能直观反映周期与
摆长的关系；由于与成正比，因此单摆的周期与摆长的关系是
为比例系数 .
图2-3-5
（4）某同学根据实验数据作出的图像如图2-3-5所示．造
成图像不过坐标原点的原因可能是_____.
BC
A.摆长测量值偏大 B.摆长测量值偏小
C.周期测量值偏大 D.周期测量值偏小
【解析】若周期测量值准确，与过坐标原点的图像比较，
摆长测量值偏小，故B正确，A错误；若摆长测量值准确，
与过坐标原点的图像比较，周期的测量值偏大，故C正确，D错误.
知识点3 单摆做简谐运动的周期公式
1 单摆的周期公式
单摆做简谐运动的周期跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根
成反比，即

特别提醒 1.单摆的周期只与其摆长和当地的重力加速度有关，而与振幅和摆球质量
无关，它又叫作单摆的固有周期.单摆周期公式的成立条件为摆角在 左右.
2.周期为的单摆叫作秒摆.秒摆的摆长约为.
2 对公式中摆长 的理解
（1）如图2-3-6所示，实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆
球球心的长度，即,其中为摆线长, 为摆球直径.
图2-3-6
图2-3-7
（2）等效摆长:摆球的轨迹圆弧的圆心到摆球重心的距离.图2-3-7中甲、乙在垂
直纸面方向摆起来的效果是相同的，若不计小球半径，则甲摆的摆长为 ,这就
是等效摆长，其周期 .
3 对公式中重力加速度 的理解
中，应理解为等效重力加速度，实际中不一定为 ，而由单
摆所处的位置、摆球的受力情况及系统的加速度情况决定.
（1）若单摆系统只处在重力场中且星球相对于系统为惯性参考系, 由单摆所在
的空间位置决定.取，式中为摆球到星球重心的距离， 为星球的质量，可
见不同星球上 值不同.
（2）单摆处于超重、失重等非平衡状态时：
①如果单摆处在向上匀加速上升的航天飞机内，设加速度大小为 ，
此时摆球处于超重状态，则等效重力加速度 ．
②如果单摆处在向下匀加速运动的电梯内，设加速度大小为 ，此
时摆球处于失重状态，则等效重力加速度 ．
（3）还有其他力参与提供回复力的状态时：
如图2-3-8所示，若带电小球在电场强度方向竖直向下的匀强电场中做简谐运动，
其等效重力加速度的求法为：先求出单摆静止在平衡位置时摆球所受拉力 ，该
力为等效重力，再根据求出等效重力加速度，分析图2-3-8知， ,
则 .
图2-3-8
图2-3-9
特别提醒
对等效重力加速度的理解要点
等效重力加速度与单摆振动过程中回复力的来源有关.若摆球除
受到重力和拉力外还受到其他力，但其他力只沿圆弧半径方向，而沿
圆弧切线方向无分力，这种情况下单摆的周期不变.如图2-3-9所示，带电小球受到的
库仑力始终沿半径方向，会影响到摆球所受的向心力，但对摆球的回复力没有影响，
这时，单摆的周期与摆球不带电时相同.
深度理解
圆弧摆和圆锥摆
图2-3-10
1.圆弧摆
如图2-3-10所示,有一光滑圆弧曲面,在 处放一小球，圆弧
摆做简谐运动的条件:
（1）圆弧曲面光滑;
（2）小球直径和圆弧弧长远小于圆弧的半径 ;
（3）小球在曲面 上做往复运动.
圆弧摆周期 .
图2-3-11
2.圆锥摆
如图2-3-11所示，一根质量和伸长量均可忽略不计的细线，一
端固定在悬点上，另一端系一个摆球，摆球只受重力和拉力两个力,
两个力的合力提供摆球做圆周运动的向心力 .由
,解得周期
.
【注意】1.圆锥摆的摆球所受合外力 ，不可视为单摆.
2.同样的装置中摆球做单摆运动和做圆锥摆运动时周期不同，因此做单摆实验
时，需要保证摆球在同一竖直面内摆动.
学思用·典例详解
例3-4 ［教材第51页“自我评价”第4题改编］做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量
增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的 ，则单摆振动的( )
D
A.频率不变，振幅不变 B.频率改变，振幅变大
C.频率改变，振幅不变 D.频率不变，振幅变小
【解析】由单摆的周期公式 可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；
振幅是反映单摆运动过程中能量大小的物理量，由 可知，摆球经过平衡
位置时的动能不变，由机械能守恒定律可知，摆球质量增加，摆球所达到的最大位
移处距离最低点的高度减小，因此振幅变小，D正确.
例3-5 如图2-3-12所示，三根细线在点处打结，、 两端固定在同一水平面上相距
的两点，使三角形成直角三角形， ，已知线长为 ，
下端 系着一个直径不计的小球，下列说法正确的是( )
A
图2-3-12
A.让小球在纸面内小角度摆动，周期
B.让小球在垂直纸面方向小角度摆动，周期
C.让小球在纸面内小角度摆动，周期
D.让小球在垂直纸面方向小角度摆动，周期
点拨 单摆周期公式为，其中 为摆长.当小球在纸面内做小角度摆动时，轨
迹圆弧的圆心是 点；当小球在垂直纸面方向做小角度摆动时，轨迹圆弧的圆心在
、连线上且在 点正上方．
【解析】让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，摆球以点为圆心摆动，摆长为 ，
周期为 ；让小球在垂直纸面方向摆动，在摆角很小时，
摆球以的延长线与的交点为圆心摆动，摆长为 ，
周期为 ,故选项A正确.
图2-3-13
例3-6 如图2-3-13所示的几个相同的单摆在不同条件下，
关于它们的周期关系，下列选项判断正确的是( )
C
A. B.
C. D.
点拨 根据周期公式求周期 ,关键是要通过确定等效重力来确定等效重力加
速度.
【解析】题图（1）中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力 为等效
重力，则单摆的等效重力加速度 ；题图（2）中两个带电小球的斥力总
与摆球运动方向垂直，不影响回复力；题图（3）为标准单摆；题图（4）中摆球处
于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大， .由单摆做简谐运
动的周期公式,知 ，选项C正确.
解题课丨关键能力构建
题型1 单摆周期公式的理解及应用
图2-3-14
例7 ［鲁科版教材习题改编］如图2-3-14
甲所示，在 点用一定长度的摆线悬挂一
个摆球（可视为质点），在点的下方 点
处有一个钉子，现将摆球向左拉开一个很
小的角度， 时将摆球由静止释放，当
摆球运动到最低点时，摆线碰到钉子，此
时摆球继续向右摆动，设向右为正方向，摆球的振动图像如图乙所示，不计摆线和
钉子相碰时的能量损失，取 ，结果可用分式表示，求：
（1）单摆的振动周期；
【答案】
【解析】由图乙可知，单摆完成一次全振动的时间为 .
（2）钉子的位置点与悬点 的距离；
【答案】
【解析】由图乙可知，小球在左侧摆动时，单摆的周期为 ，由单摆周期
公式有
解得该单摆摆长为
小球在右侧绕着点摆动时，周期为，由单摆周期公式有
解得该单摆碰到钉子后的摆长为
故钉子的位置点与悬点的距离，代入数据得 .
（3）图乙中与 的比值.
【答案】
【解析】设单摆在左侧摆动最大偏角为，在右侧摆动最大偏角为 ，可得
，
由机械能守恒定律得
联立并代入数据解得 .
建构导图明思路
（2）
（3）
应用单摆周期公式求解问题的注意点
1.单摆在摆角小于 时做简谐运动，其位移—时间图像是正弦或余弦曲线.
2.由单摆的振动图像可知单摆周期，而单摆的周期与重力加速度及摆长有关，与振
幅无关.
3.摆球在摆动过程中，其位移、速度、加速度及、相对于平衡位置具有对称性.
4.单摆摆动具有周期性特点.
【学会了吗丨变式题】
图2-3-15
1.［人教版教材习题改编］（2025·湖北荆州中学月考，
多选）如图2-3-15所示为同一地点的两个单摆甲、乙的
振动图像，， ，下列说法正确的是
( )
BCD
A.甲单摆的摆长较大
B.甲摆的振幅比乙摆的大
C.甲摆的最大偏角约为
D.在 时有正向最大加速度的是乙摆
【解析】
题型2 等效摆长和等效重力加速度问题
图2-3-16
例8 （2025·湖南师范大学附属中学月考）如图2-3-16
甲所示，双线摆也是一种单摆，它的优点是可以把摆
球的运动轨迹约束在一个确定的平面上.现把双线摆的
其中一根悬线换成一根很轻的硬杆，组成一个“杆线
摆”，如图乙所示，“杆线摆”可以绕着固定轴 来回
摆动.轻杆水平，杆和线均长为，重力加速度为 ，摆
角很小时，“杆线摆”的周期为( )
A
A. B. C. D.
图2-3-17
【解析】如图2-3-17所示，小球绕 轴转动，相当于单摆在
倾角为 的光滑斜面上来回摆动，摆线为图中的虚线，等
效重力 ，“杆线摆”的等效摆
长为，则周期为 ，故
选A.
图2-3-18
例9 （2025·江苏徐州中学、宿迁一中、如东一中月考联考）如
图2-3-18所示，在倾角为 的斜面顶端固定一摆长为 的单摆，
单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为 ，
摆球的质量为,重力加速度大小为 ，则以下判断正确的是
( )
D
A.单摆在斜面上摆动的周期为
B.摆球经过平衡位置时的回复力大小为
C.若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将增大
D.若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小
建构导图明思路
［第1步：求不加电场时的等效重力加速度］
摆球静止在平衡位置时，所受摆线的拉力 ，则等效重力加速度
.
［第2步：求不加电场时单摆的周期］
单摆在斜面上摆动的周期 ，故A错误.
［第3步：根据简谐运动的特点判断回复力］
回复力大小与摆球偏离平衡位置的位移大小成正比，故摆球经过平衡位置时的回复
力大小为0，B错误.
图2-3-19
［第4步：求加电场时的重力加速度］
若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则摆球静止
在平衡位置时，受力分析如图2-3-19所示.
摆球所受摆线的拉力大小
等效重力加速度为 .
［第5步：求加电场时单摆的周期］
加电场时，单摆在斜面上摆动的周期
，故C错误，D正确.
等效摆长：摆球的轨迹圆弧的圆心到摆球重心的距离.
【学会了吗丨变式题】
图2-3-20
2.如图2-3-20所示，有一半径为的光滑小圆槽 固定在水平面上，
其中、两点连线与水平面夹角为 ，整个装置置于竖直
向下的电场强度为的匀强电场中，一个质量为 的小球
（可视为质点），带正电且带电荷量为.从 点由静止释放，重力
加速度为，则小球由运动到 的时间为( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为、两点连线与水平面夹角 ，故可以把小球的运动看作单摆的
运动，由单摆的周期公式可得，式中 为小球的等效重力加速度，又整个
装置置于竖直向下的电场强度为 的匀强电场中，由牛顿第二定律有
，解得，则小球由运动到 的时间为
，选项A、C、D错误，B正确.
提素养 深度学习
微专题 摆钟的快慢变化及调整方法
1 计时原理
摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用.摆钟每摆动一次（即完成一次全振动），摆
钟就会显示一定的时间，也就是走时准确的摆钟的周期.
2 摆钟快慢变化的原因
3 摆钟快慢调整的方法
（1）摆钟变快说明周期变小,应增大摆长.
（2）摆钟变慢说明周期变大,应减小摆长.
例10 ［人教版教材习题改编］惠更斯利用单摆的等时性原理制成了第一座摆钟.如
图2-3-21甲所示为日常生活中我们常见到的一种摆钟，图乙为摆钟的结构示意图，圆
盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动，摆钟的摆动可看作单摆运动，下列说
法正确的是( )
D
图2-3-21
A.在山脚走时准确的摆钟，在山顶仍能走时准确
B.若将摆钟的摆角由 增加到 ，摆钟摆动的周期将减小
C.对于走时准确的摆钟，若调节螺母向下移动，摆钟仍能走时
准确
D.将摆钟由赤道移到北极，摆钟的摆动周期减小
【解析】根据单摆的周期公式 可知，在山脚走时准确的摆钟，在山顶时由
于发生变化，摆钟将走时不准确，故A错误；将摆钟的摆角由 增加到 ，摆钟摆
动的周期不变，故B错误；对于走时准确的摆钟，若调节螺母向下移动，相当于改变
了摆长，摆钟不能走时准确，故C错误；将摆钟由赤道移到北极，重力加速度增大，
摆钟摆动的周期减小，故D正确.
例11 摆钟摆锤的运动可近似看成简谐运动，如果在同一地点，摆长为 的摆钟在一
段时间里快了，另一机械结构相同、摆长为 的摆钟在同样的一段时间里慢了
，则准确的摆钟的摆长 为多少？
【答案】
【解析】设标准摆钟周期为，摆长为、的摆钟周期分别为、 ,则有
，，
在相同时间内摆长为的摆钟比标准摆钟快，摆长为 的摆钟比标准摆钟慢
，设该相同时间为
相同时间内摆钟的走时之比等于频率之比，故有
联立解得 .
【学会了吗丨变式题】
3.有一单摆，在海平面上某一段时间内摆动了 次，在同一纬度某山顶上同样长的时
间内摆动了 次，由此可知，此山的高度与地球半径的比值是（忽略地球自转
的影响）( )
A
A. B. C. D.
【解析】根据知，，单摆在海平面上某一段时间内摆动了 次，在
同纬度某山顶上同样长的时间内摆动了 次，知单摆在海平面上的周期与在山
顶上的周期之比为 .则海平面的重力加速度与山顶的重力加速度之比
，设山的高度为，根据万有引力等于重力得 ，
，，解得 ，故选项A正确.
考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘 素养点击
基本考查点 单摆的周期公式、摆长及重 力加速度对周期的影响. 1.掌握单摆的运动能看成简谐运动的条
件，具备相关的物理观念.
2.知道影响单摆周期的因素，并能计算
单摆的周期，提升分析并解决物理问题
的能力.
3.知道等效重力加速度在计算单摆周期
时的应用，具备科学思维能力.
热点及难点 单摆的摆长、重力加速度的 变化引起周期的变化. 题型及难度 多以选择题形式出现，难度 偏易. 高考中地位 属于常考考点. 考向1 对等效摆长的理解
例12 （2024·浙江6月选考科目试题）如图2-3-22所示，不可伸长的光滑细线穿过质
量为的小铁球，两端、悬挂在倾角为 的固定斜杆上，间距为 .小球
平衡时， 端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于
悬挂点位于小球重垂线与交点的单摆，取 ，则( )
B
图2-3-22
A.若摆角变小，周期将变大
B.小球摆动周期约为
C.小球平衡时，受到端细线的拉力为
D.小球平衡时，受到端细线的拉力小于 端细线的拉力
本题考查单摆、共点力平衡等知识，要求考生掌握单摆的周期公式，并能求出单摆
的等效摆长，且会运用力学方法分析小球的平衡问题，体现了高考对物理观念和科
学思维的考查.
图2-3-23
【解析】单摆的周期 ，可知单摆的周期与摆角的大小无关，
故A错误；细线穿过小球，不打结，则线中拉力处处相等， 端细线
对小球的拉力等于 端细线对小球的拉力，平衡时对小球受力分析，
如图2-3-23所示，根据几何关系可知两段细线与竖直方向的夹角均
为 ，由平衡条件得 ，故C、
D错误；两段细线的夹角等于 ，根据几何关系可知，等效摆长
，
小球摆动周期，解得 ，故B正确.
考向2 单摆的振动图像问题
图2-3-24
例14 （2024·甘肃卷）如图2-3-24为某单摆的振动图像，
重力加速度取 ，下列说法正确的是( )
C
A.摆长为 ，起始时刻速度最大
B.摆长为 ，起始时刻速度为零
C.摆长为，、 点的速度相同
D.摆长为，、 点的速度相同
本题以单摆的振动图像为背景命题，要求考生会读图，能从图像中获取解题所需信
息，并能根据单摆的振动图像计算其摆长和最大偏角.
【解析】
新考法 实验创新
考法解读 单摆是简谐运动的典型模型之一，也是丰富学生运动与相互作用观念的重
要知识载体.依据单摆模型可设计多种科学探究问题，例如，可以设计探究单摆的周
期与摆长之间的关系，也可以考查根据单摆周期公式测量重力加速度，除常规实验
外，还可以将实际生活中的小幅摆动问题与单摆模型类比，迁移单摆模型的相关原
理，设计创新实验.
图2-3-25
例14 （2024· 黑吉辽卷）图2-3-25（a）为一套
半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积
木直径不同.某同学通过实验探究这套积木小幅
摆动时周期与外径 之间的关系.
（1）用刻度尺测量不同颜色积木的外径 ,其中
对蓝色积木的某次测量如图（b）所示，从图中
读出_________________________ .
均正确
（2）将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点 ,将积木
的右端按下后释放,如图（c）所示.当积木左端某次与 点等高时记为第0次并开始计
时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了____个周期.
10
（3）换用其他积木重复上述操作,测得多组数据.为了探究与 之间的函数关系，可
用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究,数据如下表所示:
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
2.197 … 1.792
根据表中数据绘制出图像如图2-3-26所示,则与 的近似关系为___.
图2-3-26
A
A. B. C. D.
（4）请写出一条提高该实验精度的改进措施:_________________________________
__________________________________________________________________.
用游标卡尺测量外径、换用更光滑的硬质水平桌面、增加所测周期数、适当减小摆动的幅度（写出一条即可）
【解析】
关键信息 物理量及其关系
图2-3-25（b）
关键信息 物理量及其关系
图2-3-26
续表
考法创新 本题以一套半圆拱形七色彩虹积木为素材，创设了探究积木小幅摆动的周
期与外径关系的科学探究问题情境，考查考生的实验探究能力和模型迁移能力，突
出了对创新性的考查.第（3）问结合函数图像考查考生利用数学知识解决物理问题
的能力，突出了不同学科知识的融合；第（4）问设计了一个提高实验精度的开放性
问题，考查考生对实验的分析、改进能力，鼓励考生从多角度思考问题.
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：15分钟
1.要将秒摆的周期变为 ，下列措施可行的是( )
C
A.只将摆球质量变为原来的 B.只将振幅变为原来的2倍
C.只将摆长变为原来的4倍 D.只将摆长变为原来的16倍
【解析】单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，故A、B错误；对秒摆，有
，对周期为的单摆，有，联立解得 ，故C
正确，D错误.
2.［链接教材第42页“发展空间”］在盛沙的漏斗下方放一木板，让漏斗在纸面内摆
动起来，假设漏斗中细沙匀速流出，经过一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，
不考虑空气阻力，则沙堆的剖面（纸面内）应是下列选项中的( )
B
A. B. C. D.
【解析】不考虑空气阻力，漏斗在从最左端向最右端运动和从最右端向最左端运动
的过程中，到达中间位置时运动速度最快，漏到木板上的细沙最少，从中间到两端
运动时漏斗运动的速度逐渐变慢，故漏到木板上的细沙越来越多，B正确.
3.［教材第54页“自我评价”第3题改编］细长轻绳下端拴一小球构成单摆，
在悬挂点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉子 ，如图所示，现将单
摆向左侧拉开一个小角度，然后无初速度释放，对于以后的运动，下列
说法正确的是( )
B
A.摆球往返运动一次的周期和无钉子时的相同
B.摆球在左、右两侧上升的最大高度一样
C.摆球在平衡位置左右两侧经过的最大弧长相等
D.摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍
【解析】摆线被钉子挡住前的周期 ，挡住后的周期变为
，故A错误；根据机械能守恒定律可知，摆球在左、
右两侧上升的最大高度一样，故B正确；假若无钉子时，摆球摆至
右侧最高点 ，与初始释放位置对称，若有钉子，摆球摆至右侧最
高点，、在同一水平线上，如图所示，由几何关系知 ，但是 ，
故D错误；由几何关系知，摆球在平衡位置右侧的最大弧长小于左侧的，故C错误.
4.新航天科技 ［人教版教材习题改编］自从“玉兔二号”探测器到达月球工作并拍回
一系列珍贵的月球表面照片以后，中国人对月球的向往又进一步加深了，希望能够
早日登上月球.假设某宇航员成功登上月球并把地球上的摆钟带到了月球表面.已知月
球表面的重力加速度约为地球表面的 ，现要使该摆钟在月球上的周期与地球上周期
相同，下列办法可行的是( )
C
A.将摆球的质量增加为原来的6倍 B.将摆球的质量减小为原来的
C.将摆长减小为原来的 D.将摆长增长为原来的6倍
【解析】已知月球表面的重力加速度约为地球表面的 ，根据单摆的周期公式
可知，要使该单摆在月球上与在地球上周期相同，必须将摆长缩短为原来
的 ，单摆的周期与摆球的质量无关，选项C正确.
5.（2025·山东泰安质检）一细线一端固定，另一端系一密度为
的小球，组成一个单摆，其周期为 .现
将此单摆倒置于水中，将细线拉开一个小角度，使单摆做简谐运动，
如图所示.已知水的密度为 ，水对小球的阻力可忽略，
则单摆在水中做简谐运动的周期为( )
D
A. B. C. D.
【解析】单摆的周期，设小球在水中的等效重力加速度为 ，则有
，又，，联立并代入数据解得 ，选项
D正确.
B 综合练丨选考通关
建议时间：25分钟
6.新学习探索情境［链接教材第42页“发展空间”］如图甲所示装置为一个除去了柱
塞的注射器被细线悬挂于铁架上，注射器内装上墨汁，当注射器摆动时，沿着垂直
于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样.两位同学分别使用该装置
来研究单摆的运动.得到了如图乙中、 所示的两条图线（图中网格线尺寸相同）.下
列关于两图线的分析正确的是( )
D
A.对应单摆振动的振幅比 的大
B.对应单摆振动的周期比 的大
C.对应木板运动的速度比 的小
D.两单摆摆到最低点时的加速度大小相等
【解析】由题图乙可知，和 对应单摆摆动的振幅相同，故A错误；两次实验单摆
摆长相同，则由单摆的周期公式 可知，两摆的周期相同，故B错误；由题
图乙可知，设对应的木板运动时间为，则对应的木板运动时间为，由
可知，对应的木板运动速度比 对应的木板运动速度大，故C错误；两摆振幅相同，
根据机械能守恒定律可知两摆摆到最低点时的速度大小相等，根据牛顿第二定律可
得，解得单摆摆到最低点时的加速度大小 ，所以两摆摆到最低点时
的加速度大小相等，故D正确.
7.［人教版教材习题改编］如图所示，光滑圆槽的半径 远大于小球运动的弧长.甲、
乙、丙三个小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低
点远些，丙球在槽的圆心处.则以下关于它们第一次到达点 的先后顺序的说法正确
的是( )
B
A.乙先到，然后甲到，丙最后到 B.丙先到，然后甲、乙同时到
C.丙先到，然后乙到，甲最后到 D.甲、乙、丙同时到
【解析】对于丙球，根据自由落体运动规律有，解得 ；对于甲、
乙两球，由于光滑圆槽的半径 远大于小球运动的弧长，故可将它们的运动视为做简
谐运动的单摆的运动，其运动周期为，甲、乙两球第一次到达点 时均运
动周期，则 .所以丙先到，然后甲、乙同时到，故B正确，A、
C、D错误.
8.如图所示，两根轻质细线分别连接两个可视为质点的小球，小球甲在竖直面内摆
动，摆线的最大摆角为，小球乙在水平面内绕 点做匀速圆周运动，连接
小球乙的细线与竖直方向的夹角始终为 ，两小球运动的周期恰好相等，下列说法
正确的是( )
D
A.两根细线的长度相等
B.两小球的质量一定相等
C.两小球的机械能一定相等
D.连接甲、乙两球的细线长度之比为
【解析】设两小球运动的周期为，小球甲做简谐运动，周期为 ，乙做匀
速圆周运动，由合力提供向心力和牛顿第二定律有 ，可得
，可得连接甲、乙两球的细线长度之比为 ，故A错误，
D正确；两小球的运动周期与质量无关，由题给信息不能判断两球的质量关系，也
就不能判断两球的机械能关系，故B、C错误.
9.在探究单摆运动的实验中：
（1）如图甲是用力传感器对单摆振动过程
进行测量的装置图，图乙是与力传感器连
接的计算机屏幕所显示的 图像
（、、重力加速度 均为已知量），
根据图乙的信息可得，从 时刻开始摆
0.5
1.6
【解析】摆球在最低点时速度最大，摆线上拉力最大，故从 时刻开始摆球第一
次摆到最低点的时刻为 .
两次拉力最大的时间间隔为半个周期，所以周期为 .
球第一次摆到最低点的时刻为____，周期为____.
（2）单摆振动的回复力是___.
B
A.摆球所受的重力
B.摆球重力在垂直摆线方向上的分力
C.摆线对摆球的拉力
D.摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
【解析】单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向的分力，故B正确，A、C、
D错误.
（3）下列说法正确的是_____.
BC
A.用米尺量得细线长度，则摆长为
B.若增加摆球的质量，摆球的周期不变
C.根据题中所给的信息可以求出摆球的质量
D.让摆球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，可以根据单摆周期公式计算得到
重力加速度
【解析】摆长应为摆线长度加上摆球半径，故A错误；单摆周期公式 ，周
期与摆球质量无关，故B正确；设单摆的最大偏角为 ，摆长为 ,则摆球在最高点时
摆线上的拉力为 ，摆球从最高点运动到最低点的过程中，机械能守
恒，重力势能转化为动能，有 ,摆球在最低点时，重力和细线
拉力的合力提供向心力，则 ,联立解得摆球质量 ，
故C正确；让摆球在水平面内做圆周运动，此为圆锥摆模型，摆球所做的运动不是简
谐运动，不能使用单摆的周期公式计算得到重力加速度，故D错误.
10.如图所示，场强方向水平向左的匀强电场中有一半径较大的光滑
绝缘圆弧轨道，轨道上有一带电荷量为、质量为 的小球
（可视为质点），小球能静止于处.已知电场强度大小 ，轨
道半径为，重力加速度为 .
（1）当小球静止时，求小球对轨道的压力大小.
【答案】
【解析】对带电小球受力分析可得，小球静止时轨道对小球的支持力大小为
解得
根据牛顿第三定律可得，小球静止时对轨道的压力大小为
.
（2）若使小球在轨道上偏离 处少许，求释放后小球运动的周期.
【答案】
【解析】若使小球在轨道上偏离 处少许，小球的运动可视为单摆的简谐运动，等效
重力加速度
根据单摆的周期公式可得
.
11.［人教版教材习题改编］如图甲所示是一个单摆振动的情形， 是它的平衡位
置，、 是摆球所能到达的最高位置．设摆球向右运动的方向为正方向．图乙所示
是这个单摆的振动图像．根据图像回答：（取,当地的重力加速度 取
）
图甲
图乙
（1）单摆振动的频率是多大
【答案】
【解析】由题图乙可知，则 .
（2）单摆的摆长是多少？
【答案】
【解析】由，得 .
（3）如果摆球在处时绳上拉力，在处时绳上拉力 ，则摆
球质量是多少？
【答案】
【解析】设摆线偏离平衡位置的角度为 ，则摆球在 点时，沿绳子方向受力平衡，
有
在点，有
从点到 点，根据机械能守恒定律有
联立可得摆球质量 .
C 培优练丨能力提升
建议时间：8分钟
12.如图所示为理想单摆，摆角 足够小，可认为单摆做简谐运动,其平衡
位置记为 点.
（1）若已知摆球的质量为，摆长为，在摆角很小时，摆球对于 点的
位移的大小与 角对应的弧长、弦长都近似相等，即近似满足．
请推导得出摆球在任意位置处的回复力与位移的比例常数 的表达式.
【答案】
【解析】摆球在位移为 处的受力示意图如图所示.
在摆角很小时，有
在摆球位移为时，回复力
即比例常数 .
（2）若仅知道单摆的振幅及摆球所受回复力与位移的比例常数 ，已知摆球在位
移处的势能,求摆球在振动位移为时的动能（用和 表示）.
【答案】
【解析】摆球在位移处的势能
摆球在最大位移处的动能为零，依据能量守恒定律有
则 .

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