资源简介

4.2 一元线性回归模型 练习
一、选择题
1．已知具有线性相关性的变量x，y，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则( )
A.2.5 B.8 C.9.5 D.5
2．某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量、课程内容、学生感受、家长认可度等问题进行随机电话回访.某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表：
时长x（分钟） 10 12 14 15 19
评分y 60 m 75 90
根据散点图解题思路得知y与x具有线性相关关系且求得其回归方程为，则( )
A.61 B.63 C.65 D.67
3．某市2018年至2024年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表：
年份 2019 2024 2024 2024
年份代号x 1 2 3 4
年销量y 15 20 m 35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为( )
A.25 B.28 C.30 D.32
4．已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间x（分钟）与一个月内减轻的体重y（斤）的一组数据如表所示：
x 30 40 50 60 70
y 1.1 1.9 3.2 4 4.8
一个月内减轻的体重y与每天投入的体育锻炼时间x之间具有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是,据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时,该月内减轻的体重约为( )
A.6.8斤 B.6.9斤 C.7.0斤 D.7.1斤
5．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位:克）与心率f（单位:次/分钟）的对应数据.根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足（c，k为参数），令，，计算得到，.由最小二乘法得到经验回归方程为，则k的值为( )
A. B.0.4 C. D.0.2
6．某电脑公司有3名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表所示：
推销员编号 1 2 3
工作年限年 3 5 10
推销金额万元 2 3 4
由表中数据算出经验回归方程中的.若第4名推销员的工作年限为7年，则估计他的年推销金额为( )
A.3.08万元 B.3.14万元 C.3.21万元 D.3.27万元
7．已知变量x和y的统计数据如下表：
x 400 500 600 700 800
y 3 4 6 6 7
若x，y线性相关，且经验回归方程为，则据此可以预测当时，( )
A.18.2 B.19.2 C.20.2 D.21.2
8．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资,但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系,已知小孙的工作时间X（单位:小时）与工资Y（单位:元）之间的关系如表:
工作时间X 2 4 5 6 8
工资Y 30 40 50 m 70
若Y对X的线性回归方程为,则m的值为( )
A.56.5 B.58 C.60 D.62.5
二、多项选择题
9．使用经验回归方程进行预测时,下列结论正确的是( )
A.经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
B.经验回归方程一般都有时效性
C.解释变量的取值离样本数据的范围越远,经验回归方程的预报效果越好
D.经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值
10．由成对样本数据,且得到经验回归方程为,其中（单位：cm）为女生的身高,（单位：cm）为其父亲的身高,则( )
A.直线必经过点
B.直线至少经过点,且中的一点
C.已知父亲的身高为,其女儿身高的估计值为
D.两位父亲的身高相差,则他们女儿的身高相差
11．已知由样本数据组成的一个样本,得到经验回归方程为且,去除两个异常数据和后,得到的新的经验回归直线的斜率为3,则( )
A.相关变量x,y具有正相关关系
B.去除异常数据后,新的平均数
C.去除异常数据后的经验回归方程为
D.去除异常数据后,随值的增加,的值增加速度变大
三、填空题
12．已知一组数据（,2,3,…,n）大致呈线性分布,其回归直线方程为,则的最小值为=________.
13．商家为了解某品牌取暖器的月销售量Y（台）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温（） 10 7 4 1
月销售量（台） 26 37 55 82
由表中数据算出线性回归方程中的，当平均气温为时，此品牌取暖器的月销售量为__________台（结果保留整数）.
14．已知x，y的取值如下表所示，由散点图解题思路可知y与x线性相关，且回归直线方程为，那么表格中的数据m的值为_________.
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 m
15．用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则__________.
四、解答题
16．某公司为提升A款产品的核心竞争力,准备加大A款产品的研发投资,为确定投入A款产品的年研发费用,需了解年研发费用x (单位：万元)对年利润y (单位：万元)的影响.该公司统计了最近8年每年投入A款产品的年研发费用与年利润的数据,得到下图所示的散点图:
经数据解题思路知,y与x正线性相关,且相关程度较高.经计算得,,,,.
(1)建立y关于x的经验回归方程;
(2)若该公司对A款产品欲投入的年研发费用为30万元,根据(1)得到的经验回归方程,预测年利润为多少万元
附：,.
17．某研究性学习小组为研究两个变量x和y之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：
x 2 3 4 5 6
y 4 7 12 13 14
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)请估计时，对应的y值.
附：在经验回归方程中，，，其中，为样本平均值.
18．某工厂统计了某产品的原材料投入x（万元）与利润y（万元）间的几组数据如下：
原材料投入x（万元） 82 84 85 86 88
利润y（万元） 770 800 830 850 900
（1）根据经验可知原材料投入x（万元）与利润y（万元）间具有线性相关关系，求利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程；
（2）当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？
附：，.
19．假期中,来自沿海城市的小明和小强去四川旅游,他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高,气压也随之降低,包装袋内的气压大于外面气压,从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系.
海拔高度 10 50 100 500 1000
大气压 101.2 100.6 100.2 94.8 88.2
(1)利用线性回归解题思路求y与x之间的线性回归方程;（的值精确到0.001）
(2)小明和小强打算去九寨沟,可以利用(1)中的方程,估计九寨沟A景点（海拔2800m）的大气压.（精确到0.01）
附：①对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：,.
②参考数据：,.
20．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据,如下表所示.
平均气温 -3 -4 -5 -6 -7
销售额/万元 20 23 27 30 50
(1)根据以上数据,用最小二乘法求出回归方程；
(2)预测平均气温为时,该商品的销售额为多少万元.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，所以，
因为，所以，
因为回归直线经过样本中心点，
所以，
解得，
故选：C.
2．答案：C
解析：依题意，得，
，
将样本中心代入回归方程，
得，解得.
故选：C.
3．答案：C
解析：由已知得，回归直线方程为过样本点中心，
，即，
.
故选：C.
4．答案：A
解析：由表中数据可得
,
,
将代入得,解得,
即,
则当时,.
故选：A.
5．答案：A
解析：因为，两边取对数可得，
又，，
依题意回归直线方程必过样本中心点，
所以，解得，所以.
故选：A.
6．答案：D
解析：由题表中数据得，
由经验回归直线过点.
又，所以，
所以，则当时，3.27，
所以估计第4名推销员的年推销金额为3.27万元.
故选：D.
7．答案：B
解析：，，
因为在经验回归直线上，
所以，解得，即，
当时，.
故选：B.
8．答案：C
解析：由表格数据知:,,
由线性回归方程为,
,解得.
故选:C.
9．答案：AB
解析：对于A,经验回归方程只适用于所研究的样本的总体,A正确;
对于B,经验回归方程适用于有相关关系的两个变量,两者的变化可能会随时间的推移,
互相影响的情况不同,因此经验回归方程一般都有时效性,B正确;
对于C,解释变量的取值范围会影响经验回归方程的适用范围,
解释变量的取值离样本数据的范围越远,经验回归方程的预报效果越差,C错误;
对于D,经验回归方程得到的是响应变量的预报值,不是响应变量的精确值,D错误;
故选：AB.
10．答案：AC
解析：对于A：回归直线必经过样本中心点,故A正确;
对于B：回归直线可不过任意一点,且,故B错误;
对于C：已知父亲的身高为,其女儿身高的估计值为,故C正确;
对于D：两位父亲的身高相差,则他们女儿的身高的估计值相差,故D错误.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：回归直线经过,
且,
代入回归方程得:,
即,
所以当时,的最小值为.
故答案为:.
13．答案：90
解析：由题意可得，
，
可知点在回归方程上，其中，
即，解得，所以，
当时，.
故答案为：90.
14．答案：6.7
解析：，，
把的坐标代入回归直线方程得，
解得.
故答案为：6.7
15．答案：6
解析：因为线性回归方程为恒过，
因为所以，
即，
，
，
，
故答案为：6.
16．答案：(1)
(2)65万元
解析：(1),,
,,
,,
.
.
关于x的经验回归方程为.
(2)由(1)可得,.
当时,.
对A款产品投入30万元年研发费用,年利润约为65万元.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1），，
，
，所以回归方程为.
（2）时，.
18．答案：（1）
（2）原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160万元.
解析：（1）设利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程为，
由已知，
，
，
，
所以，，
所以利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程为；
（2）由（1）当时，，
所以当原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160万元.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由表中数据得,
,
又,
所以,
,
所以经验回归方程.
(2)当时,,
所以九寨沟在景点处（海拔）的大气压约为
20．答案：(1)
(2)56.8万元
解析：(1)由表中数据可知,,
,
,
故,,
故
(2)当时,万元.
故预测平均气温为时,该商品的销售额为56.8万元.

展开更多......

收起↑