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四川省江油中学2024 2025学年高三下学期三诊考前热身训练（4月）数学试题
一、单选题
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若实数数列：，a，b，m，7成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
4．直三棱柱中，分别是和的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与圆相交于A，两点，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的部分图象如图所示，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A．考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B．考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C．分数在区间内的频率为0.2
D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
10．已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
11．设计一个实用的门把手，其轴截面轮廓可以看作图中的曲线的一部分，则（ ）
A．点在上
B．将在轴上方的部分看作函数的图象，则是的极小值点
C．在点处作的切线，其与的交点的横、纵坐标均为有理数
D．在轴左侧的部分到坐标原点的距离均大于
三、填空题
12．的展开式中含的项的系数是 ．
13．通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为 ℃时的蒸发速度为1.6升/小时．
14．已知半径为1的球内切于上、下底面半径分别为，的圆台，若，则圆台表面积的最小值为 .
四、解答题
15．某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善．据统计，该校2018年到2024年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如下：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号x 1 2 3 4 5 6 7
不低于600分的人数y（单位：人） 29 33 36 44 48 52 59
（1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2025年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数；
（2）今有A、B、C三位同学报考该校，已知A、B被录取的概率均为，C被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X表示此3人中被录取的人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：．
参考数据：，．
16．记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，.
（1）求；
（2）若，求线段的长.
17．已知数列满足，（），记．
（1）求证：是等比数列；
（2）设，数列的前n项和为.
(ⅰ)求．
(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
18．已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当时，设的两个零点为，求证：．
19．如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为．
①若，求直线与平面所成角的正弦值；
②证明：三棱锥的体积为定值．
参考答案
1．D
2．D
3．D
4．C
5．B
6．B
7．A
8．C
9．BC
10．ABC
11．ACD
12．
13．40
14．
15．（1）根据表中数据，计算可得，，
，
又，，
则，
关于的回归直线方程为，
令，可得，
即该高校年所招的学生高考成绩不低于分的人数预测值为人；
（2）由条件可知，的所有可能取值为，
，
，
，
，
的分布列如下表所示：
.
16．（1）因为，
由正弦定理可得，即.
由余弦定理可得，又，所以.
在中，由正弦定理可得，
所以.
（2）在中，由正弦定理可得，
又，所以.
因为，所以为锐角，则为钝角，
所以.
在中，由余弦定理可得，
即，
即，解得(负值舍去).
故线段的长为3.
17．（1），
，又，
所以，
又， ，
数列中任意一项不为0，，
数列是首项为2， 公比为2的等比数列，则. .
（2）(ⅰ) 由第（1）问知， ，则，设数列的前项和为，
所以①，②，
所以①-②可得：
，
所以. .
(ⅱ)由，得，化简得.
当为奇数时，有，即，而，所以；
当为偶数时，有，而，所以.
综上，的取值范围为.
18．（1）因为函数，
所以，当时，，
则，即，，
故当时，曲线在处的切线方程为.
（2）由，
则，
当时，，在上，
所以在递减；
当，，
令，则；
令，则，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）当时，，
由（2）知在上单调递增，在上单调递减，
又，是的一个较小的零点，不妨设，
要证，只需证，
因为，且在上单调递减，
从而只需证即可.
，
令，
，在上单调递增.
，即，即.
19．（1）当时，，所以点的坐标为，
因为，所以，
解得，
所以抛物线的方程为．
（2）①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为，
联立
所以点的坐标分别为．
过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，
当二面角的大小为时，点，即，
所以，
设平面的法向量为，
则即解得取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
②由题意得．
，
当时，，
当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为，
设点的坐标分别为，
联立得，
则，
因为，所以，得，
所以，
，
综上所述，三棱锥的体积为定值．

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