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2025年塘沽一中高三毕业班第三次模拟考试
数 学
第I卷
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5.若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，
则( )
（A）29 （B）33 （C）31 （D）30
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．已知一系列样本点一个经验回归方程，若样本点与的残差相等，则
B．已知随机变量，若，则
C．将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则不同分配方法数是240
D．每人参加一次游戏，每轮游戏有三个题目，每个题目答对的概率均为且相互独立，若答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3
7．已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论：
① ②函数为偶函数
③ ④在上单调递增
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．③④ D．①④
8．如图1，在直角梯形中， ，为线段上的一点，，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体，如图2，则六面体的体积为（ ）

A． B． C． D．
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
第II卷
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
复数=(i是虚数单位),则复数的虚部为 ．
一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为 .
12．小糖、小依、小微、小来四位同学到塘一校园“海棠幽径”、“泰斗雕像”、“合欢树下”、“迎宾大道”4处景点追忆三年读书时光. 若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有小糖去了海棠幽径”，则 ， .
13. 已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 .
在边长为2的菱形中，，E是的中点，F是边上的一点，交于H．若F是的中点，，则 ；若F在边上（不含端点）运动，则的取值范围是 ．
15．设，函数恰有三个零点，则a的取值集合为 .
三. 解答题：本大题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分14分）
在中，角的对边分别为.设向量，，记.
(1)求函数的最大值；
(2)若=1,a=，求的面积.
17．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，其中是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面夹角的正弦值；
(3)求点到平面的距离；
18．椭圆C：，左、右顶点分别为，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点，长轴长为，面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆C交于两点 （在下方，在上方），线段的中点为，若射线与椭圆及直线分别交于 两点，且成等比数列. 求点到直线的距离的最大值;
19. 已知数列中，，，数列的前项和满足首项为的数列的前项和满足对任意正整数，，若，则有．
求数列、的通项公式；
；记，求数列的前项和．
若，其中，，记，求的最小值；
20．已知函数．
(1) 当时，求在x=1处的切线方程及函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同零点，，
①求实数a的取值范围；
②求证：．

2025年塘沽一中高三毕业班第三次模拟考试数学答案
一. 选择题：
1. A
2. C
3.B
4. C
5. D
6. D
7. B
8. D
9. D
二. 填空题
10.
11. 60
12.
13.
14.
15.
三. 解答题：
16. （1）因为，
所以
又因为，所以，
所以，
所以.
（2）知若，
因为，所以，
由正弦定理可得，则，
可得，即，
由（1）可得，则，
即，可得，
所以的面积
17. （1）连接交于点，连接，
因为分别为的中点，所以，
又平面，平面，
则平面；
（2）直线平面平面，
所以，且，
则以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系；
，，
所以，
设平面的法向量为，
由，得，
令，得，且，
所以，
直线与平面夹角的正弦值为；
（3）因为，
且平面的法向量为，
则点到平面的距离.
18. （1）, ,
椭圆的方程为.
（2）解：（i）联立方程组，整理得，
设，可得，
则，
因为点为的中点，所以，
射线斜率为
可得且射线的方程为，
联立方程组，解得，
因为成等比数列，知，可得，
故，可得，解得，
所以直线的方程为，所以直线恒过定点，
当直线时，可得，点到直线的距离的最大值为.

19. 解： ，，
两式相减得，
即数列为等差数列，首项，公差，
故数列的通项公式为．
在中，令，得，
即，，当时，也符合该式，故；
由（1）知 ，
令数列的前n项和为，数列的前n项和为，
则，
于是得，
两式相减得： ，
因此，，
，
数列的前项和.


，
当且仅当，即时，，
所以，的最小值为，此时；
20. （1）对函数求导，得．
当时，，
因为函数的定义域，
由，得，
由，得，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）由，得，
①函数有两个不同零点，
等价于方程有两个不同的实根．
设，即方程有两个不同的实根．
设，
，
再设，
所以函数在上单调递增，
注意到，
所以当时，，当时，．
所以在（0，1）上单调递减，在上单调递增．
当时，，
当时，，
当时，，
只需，
即所求．
②注意到，，要证，只需证．
由①知，，故有，即．
下面证明：．
设，
有，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，故有．
又，，且在上单调递减，所以，即得．
因此，结论得证．

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