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浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷
一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
4．将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
5．当，且时，函数与图象的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知直线，（其中），当时，直线与直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上位置关系都有可能
8．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（ ）
A．31 B．33 C．41 D．133
二、多选题
9．设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限
D．若，则的最小值是
10．记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B．角的最大值为
C． D．的取值范围是
11．已知，若，则下列选项正确的是（ ）
A．有两个极值点 B．当时，
C．当时， D．对任意的实数，
三、填空题
12．已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ．
13．已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 ．
14．如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则 ．
四、解答题
15．某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和PM2.5年均浓度（μg/m ）的关系，随机抽取10个城市数据如下：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300
PM2.5年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500
可得．
（1）求绿化覆盖率与PM2.5浓度的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）求关于的经验回归方程（精确到0.01），并估计使得PM2.5年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）．
参考数据与公式：
16．已知数列满足：，且．
（1）求的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和．
17．已知直线与双曲线交于两点．
（1）若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围；
（2）若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值．
18．已知是异面直线的公垂线段，且，直线上有两个不同的动点，直线上有两个不同的动点．
（1）若，，求二面角的余弦值；
（2）若分别为的中点．是否存在点使得同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由．
19．给定实数，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有个绝对值的算式：，其中每个绝对值里都有两个空格“□”，所有的空格“□”都尚未填数．每一回合，先由甲选取区间中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由乙将其填在某个空格之中．这样个回合之后所有的空格均填了数，的值也随之确定．若，则甲胜，否则乙胜．
（1）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由；
（2）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由．
参考答案
1．D
2．D
3．B
4．A
5．B
6．A
7．C
8．C
9．AD
10．ABD
11．ABD
12．
13．
14．
15．（1）因，，
故
.
即绿化覆盖率与PM2.5浓度的样本相关系数约为.
（2）因，
则，故，
依题意由，可得，
即使得PM2.5年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率约为.
16．（1）由，即，则为等差数列，
又，则数列的公差为，故.
（2）由题设，则，
故，
所以，记，
所以，
两式相减，得，
所以，
所以.
17．（1）若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时，
若与双曲线交于右支两点，则，解得，
综上可知：
（2）时，双曲线方程为：，渐近线，垂直，
易知四边形为矩形，
若的斜率不存在，由，可设，
代入，可得：，不妨取，
则，渐近线的距离为，
所以，
若的斜率存在，
设直线AB的方程为，
联立方程得，
整理为： ①
故 ②
③
由，
平方得
将式②、③代入得 ④
设，于是， ⑤
. ⑥
因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形，
其面积S等于点P到渐近线距离的乘积，
于是：
将式⑤、⑥代入上式得
由式④代入化简得，因为，
所以且，
所以
综上四边形的面积的最大值为.
18．（1），故以M为原点建立空间直接坐标系，
，，，，
直线与轴平行，所以直线的一个方向向量为，，
，所以，又，
所以就是所二面角求角，
，
所以二面角的余弦值为.
（2）
设，，，，
分别为的中点，，，，又，
，
，
当时，，
当时，，
故无解，
所以不存在点使得同时成立.
19．（1），时甲有获胜策略，理由如下：
甲有策略使得，
甲先选0（选1亦可），乙第一步选择无实际意义，，
甲再选1，若乙将其与0填在同一个绝对值中，甲再选0、1，可使，
若乙将其填在另一个绝对值中，甲再选，则某个绝对值得到，最后一个数甲可以使另一个绝对值为1，此时，
乙有策略使得，
若甲的前两个数相差不超过，乙将其填在同一个绝对值中，这样一个绝对值不超过，另一个绝对值不超过1，从而，
若甲的前两个数相差超过，乙将其填在不同绝对值中，设且，，从而，
甲的第三个数必定满足且，或且，从而乙可以使得一个绝对值不超过，另一个绝对值总不超过1，故乙可以使得，
综上，甲有获胜策略的是不超过的所有实数；
（2），时甲有获胜策略，理由如下：
甲有策略使得，
甲依次选0、1，若乙填在同一个绝对值中，由的讨论知甲可以使得，
若乙填在不同绝对值中，甲再选，乙若填在和0或1同一个绝对值中，由的讨论知甲可以使得，若乙填在第三个绝对值中，则，
甲选，若乙放在第一个绝对值中，甲选0、0，则，
若乙放在第二个绝对值中，甲选1、1，则，
若乙放在第三个绝对值中，由的讨论知甲可以使得前两个绝对值之和不小于，故，
乙有策略使得，
若甲的前两个数差不超过，则将数填在同一个绝对值中，甲选了第三个数，
若三个数中有两个数的差不超过，乙将这两个数放在同一个绝对值中，再由的讨论知乙可以使得，
若甲的前三个数两两相差均大于，则乙将三个数填在不同绝对值中，
现假设，，，，
由对称性，不妨设，甲的第四个数为，
情形一：若，乙将与放在同一个绝对值中，由于，，
而前两个绝对值不超过，为；
情形二：若，乙将与放在同一个绝对值中，则，
剩下，由的讨论知乙可以使得剩下两个绝对值之和不超过，从而；
情形三：若，乙将与放在同一个绝对值中，由于，，
剩下，同情形二可知乙可以使得；
最后注意到，上述三种情形包括了的所有可能性（有可能会重叠，此时可以任意选择某个情形），
综上，甲有获胜策略的是不超过的所有实数.

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